DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

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1 DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE [4.] Estudiar la derivabilidad de la función los puntos en los que esté definida. 3 f( ) y obtener f ( ) en En primer lugar observamos que el dominio de la función es todo. Además, si f es derivable por ser un polinomio y si también lo es por ser un cociente de funciones derivables. El único punto dudoso es el en el que la función cambia de epresión analítica. Estudiaremos la derivabilidad calculando las derivadas laterales: 3 ( h) f( h) f() 3 hh h f () lim lim lim lim h0 h h0 h h0 h h0 f( h) f() () lim lim h h f lim lim h0 h h0 h h0 h( h) h0 h Como: f() f() f es derivable en siendo f () También se podría hacer hallando las derivadas de las dos funciones y viendo si coinciden en 3 f f () () Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

2 EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL Resulta: f ( ) Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

3 DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE [4.] Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones: a) f ( ) 0 b) f( ) e 0 0 a) D( f) / 0 [, ) 0 Se puede poner: f( ) 0 Estudiamos en 0 ya que en los demás puntos es derivable por ser producto de funciones derivables. f(0 h) f(0) h h 0 f (0) lim lim lim h0 h h0 h h0 h f(0 h) f(0) h h 0 f (0) lim lim lim h0 h h0 h h0 h Como: f(0) f(0) f no es derivable en 0 Por lo tanto, f es derivable en (,0) (0, ). En la siguiente gráfica se observa que 0 es un punto anguloso. Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 3

4 EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL b) f( ) e D= Si 0, Para el estudio en f es una función derivable por ser un cociente de funciones derivables. 0 hallamos las derivadas laterales. h 0 f(0 h) f(0) f lim e h lim h0 h 0 h 0 h h e h h 0 f(0 h) f(0) h f (0) lim lim e lim h0 h 0 h 0 h h e h 0 Por lo tanto, como f(0) f(0) 0 f no es derivable en 0. 4 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

5 DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE [4.3] Según cierta teoría médica el peligro de un virus se mide en función del tiempo que lleva en el o rganismo mediante la siguiente epresión [ Pt () representa el peligro para un tiempo de t minutos]: t si 0 t 5 Pt () 50t 6.5 si t 5 0.5t 5 a) Estudiar la continuidad del peligro como función del tiempo. b) El peligro del virus crece a medida que permanece más tiempo en el organismo? c) Por mucho tiempo que lleve en el organismo, puede superar el virus una peligrosidad de 95? y de 00? a) Se trata de una función definida a tramos. En el interior del primer intervalo, la función es continua (es una parábola). En el interior del segundo intervalo, la función también es continua, puesto que el valor que anularía el denominador 0.5t 5 0 t 0 se encuentra fuera del intervalo. Bastará con analizar el punto de unión t 5 : lim Pt ( ) lim t 5 t5 t lim Pt ( ) lim 50t t5 t5 0.5 t La función eiste en t 5, su valor es P(5) 5 5, y coincide con el valor de los límites laterales que son iguales. Por ello, la función es continua en todo su dominio. b) Se trata de analizar el crecimiento de la función. Para ello analizaremos el signo de la primera derivada: Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 5

6 EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL tramo : P( t) t P( t) 0 t(0,5) 8.5 tramo : P( t) P( t) 0 t(5, ) (0.5t 5) Por lo tanto, el peligro del virus crece a medida que permanece más tiempo en el organismo. t c) Se trata de determinar la tendencia de la función cuando : 50t lim 00 t 0.5t Por tanto el virus puede llegar a superar la peligrosidad de 95, pero no llegará a alcanzar una peligrosidad de 00. La función presenta una asíntota horizontal Pt ( ) 00 6 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

7 DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE [4.4] Dada la circunferencia y r proba r que y y 3/ r D y r yy0 y y 3/ 3/ 3/ 3/ y y r r y y y y y d y y y y ( y ) r y y y y y y d y 3 3 r y 3 r / y y 3 3/ 3 3 y y r / y r [4.5] Sea la función definida por ( y) sen y. Obtener dy d. Utilizando la derivación logarítmica: y y y sen ( ) sen ln( ) ln y cos ln( y) sen ( y y) ln y y y y y cos ln( y) sen sen ln y y y y sen sen y ln y cos ln( y ) y y dy y sen y ln y cos ln( y) d sen Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 7

8 EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL [4.6] Usando derivación implícita, hallar la pendiente de la recta tangente a la curva: en el punto de abscisa y 4y 0 y ordenada positiva. Calculemos la ordenada para : y 8y0 y y50 y 5 Puesto que la ordenada debe ser positiva, el punto en cuestión es el (,3) D 4 erivando implícitamente la ecuación de la curva: yy y 0 (,3) Sustituyendo las coordenadas del punto en la epresión de la derivada: 3 y4y0 y() 0 La ecuación de la recta tangente es: y y y( )( ) y30 ( ) 0 y Se trata, por tanto, de una recta paralela al eje de abscisas. 8 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

9 DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE 44y [4.7] Justificar que 0 es una recta tangente a la parábola p aralela a la cuerda que une los p untos de la parábola A(0, 3); B(3, 0). y 3, La función y Lagrange en el intervalo 3 es continua y derivable en todo [0,3]:. Si se aplica el teorema de T. Lagrange 3 y y f( b) f( a) 0 ( 3) f(), c c(, a b): c c3 y354 ba 30 Luego en 3, 54 M la tangente es paralela a la cuerda AB. Su ecuación es: y y() c y()( c c) y543 44y 0 El ejercicio se ilustra con la figura. Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 9

10 EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL [4.8] Hallar la derivada n-ésima de la función y (Indicación: descomponer previamente en fracciones simples) y ( )( 6) A B A( 6) B( ) ( )( 6) 6 ( )( 6) 6: 4B A/4 A ( 6) B ( ) : 4A B/4 ( n) n Por lo tanto: y 0 D 4 6 Consideremos la función g ( ) a a. Derivándola sucesivamente: g ( a) ( )!( a) 3 3 ( ) ( )!( ) g a a g 6( a) ( ) 3!( a) Por inducción: g ( ) n!( a ) ( n ) n ( n ) Luego: y ( ) ( n) n n! 4 ( ) ( 6) n n 0 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

11 DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE y argth [4.9] Siendo, obtener una relación entre y, y, y ( n) ( n) ( n) y(0). Calcular. Derivando: y y y argth ( ) Aplicando el operador D (n-) veces y teniendo en cuenta la regla de Leibniz: n n n D ( ) y D [] D ( ) y 0 n n n 0 ( n) ( n) ( n3) ( y ) ( ) ( y ) ( y ) 0 La fórmula de recurrencia pedida es: Con 0 se tiene: ( n) ( n) ( n) ( ) y ( n) y ( n)( n ) y 0 ( n) ( n ) ( n) ( n) y (0) ( n)( n) y (0) 0 y (0) ( n)( n ) y (0) n y(0) y(0) Para 3 : Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

12 EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL ln [4.0] Para la función y se pide: a) Determinar su dominio de definición. b) Probar que satisface a la ecuación diferencial y y 0 ( n) ( n) ( n) c) Demostrar la relación recurrente entre las derivadas y, y, y : y (n) y n y ( n ) ( n) ( n) 0 d) Aplicar la relación anterior para calcular las primeras derivadas de en y 0 e) Justificar la aproimación: y 3 5 a) Dominio de definición 0 0 se cumple R D R b) Probar que satisface a la ecuación diferencial y y 0 y y D y ln y y 0 c) Relación recurrente entre las derivadas ( n) ( n) ( n) y, y, y : Se deriva (n) veces la ecuación diferencial. De acuerdo con la fórmula de Leibniz: n ( n) n ( n) n ( n) n ( n) n ( n) y y y y y ( n) ( n) ( n) ( n) ( n) y ny n( n ) y y ny 0 y ( n)y n y ( n ) ( n) ( n) 0 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

13 d) Cálculo de las primeras derivadas de y en 0 DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Para 0: y (0) (0) 0 n n y. Además: y(0) 0; (0) ( n) ( ) y Dando val ores a ( n) en la relación recurrente: n y(0) y (0) 0 y (0) 0 n y(0) 4 y(0) 0 y(0) 4 IV IV n3 y (0) 9 y(0) 0 y (0) 0 n4 V y (0) 6 y(0) 0 V y (0) e) Basta aplicar la fórmula de Maclaurin 3 n ( n) (0) (0) (0) (0) (0) y y y y y y R!! 3! n! n y y 3! 5! 3 5 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 3

14 EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL [4.] a) Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la función: y ln paralelas a la recta 4y 0 b) Desarrollar en potencias de ( ) el polinomio 4 P ( ) y y ( ) ( ) a) ln ln ln( ) 4y0 y m Como las rectas tangentes a la función deben ser paralelas a esa recta de pendiente m, se tiene: m m 0 ( ) 4 l 8 3 y n y ln Luego las dos rectas tangentes tienen de ecuaciones: y ln ( ) 4 y ln ( ) 4 4 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

15 DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE b) Se aplica la fórmula de Taylor para polinomios (en este caso n 4 ): IV P() P() P() 3 P () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) 4 P P!! 3! 4! 4 P ( ) P() 0 3 P( ) 4 P() 4 P( ) P() P( ) 4 P() 4 IV IV P ( ) 4 P () ( ) ( ) ( ) ( ) 4( ) 6( ) 4( ) ( )!! 3! 4! 3 4 [4.] Determinar la recta que pasa por el punto y forma con los ejes coordenados un triángulo de área mínima. (,3) Ecuación canónica de la recta: y a b y b Por pasar por el punto : (,3) 3 a b 3 b 3a b bab3 aa( b3) a ab b 3 a b b ( 3) 6 ( ) b b b b b A ab b A b b3 b3 ( b3) ( b3) Puntos críticos: A 0 b 6b0 b( b6) 0 A b30 b3 b 0 b 6 Dos de esos puntos críticos ( b 0 y b 3 ) se desechan por consideraciones geométricas. Vamos analizar el único punto crítico restante mediante el criterio de la variación de la primera derivada: ( )( ) b(3,6) : A( b) ( ) (decrec.) ( ) ( )( ) b(6, ) : A( b) ( ) (crec.) ( ) [Mínimo en b 6 ; a 4 ] Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 5

16 EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL y Luego la ecuación de la recta pedida es: 4 6 [4.3] Hallar los puntos críticos y los etremos locales de las funciones: a) f( ) b) f( ) a) Podemos epresar 0 f( ) 0 Se obtiene para la derivada: ( ) 0 ( ) ( ) f( ) 0 0 () ( ) No hay más puntos críticos que el (0,0) puesto que f( ) 0 Como: f( ) 0 si 0 f es decreciente en (,0) f ( ) 0 si 0 f es creciente en (0, + ) y como f es una función continua en podemos decir que en el punto (0,0) hay un mínimo absoluto. 6 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

17 b) f( ) D( f) ( 0, ) ( ) '( ) f DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE f '( ) 0 D No hay puntos críticos Y como f '( ) 0 la función no tiene etremos [4.4] Hallar los puntos críticos y clasificar los etremos absolutos de la función: 3 f( ) en el intervalo, f( ) si 0 si 0 si 0 f ( ) 0 si 0 Como 3, f '( ) 0, los puntos críticos son 0 y Estudiamos ahora el signo de la derivada primera Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 7

18 EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL f ( ) 0 0 f creciente f ( ) 0 0 f decreciente 3 f ( ) 0 f creciente Teniendo en cuenta que f es continua y estudiando los valores en los etremos del intervalo se tiene que: 5 5, y, mínimo local , y, máimo local 4 4 0, y (0, ) máimo absoluto, y (,) mínimo absoluto 8 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao