PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 009 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 3, Ejercicio, Opción A Reserva 3, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 si 0 Sea la unción ( ) si 0 a) Analice la continuidad y derivabilidad de la unción en su dominio. b) Determine la asíntota horizontal, si la tiene. c) Determine la asíntota vertical, si la tiene. SOCIALES II JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A a) La unción es continua y derivable para 0 ; la unción derivable para 0. Vamos a estudiar si la unción ( ) es continua y derivable en 0. es, también, continua y lim ( ) 0 0 (0) lim ( ) 0 0 lim 0 0 si 0 Calculamos la unción derivada: '( ) si 0 ( ) Continua en 0 y como: '(0 ) '(0 ) '(0 ) '(0 ) Es derivable en 0 Luego la unción () es continua y derivable en. b) Vamos a ver si tiene asíntota horizontal lim lim lim y es asíntota horizontal c) Asíntota vertical no tiene.

3 Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la unción: C( t) 0't 4t 5 0 t 5 (t = años transcurridos desde el año 000) a) En qué año se alcanzará un máimo en el nivel de contaminación?. b) En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero?. c) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráica de la unción Ct () en t 8. Interprete el resultado anterior relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento. SOCIALES II. 009 JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B La unción es una parábola cuyo dibujo es: a) El máimo nivel de contaminación se alcanza parat 0, es decir, el año 00. b) El nivel de contaminación cero se alcanza parat 5, es decir, el año 05. c) Para t 8 C(8) 44'. Calculamos la derivada para hallar la pendiente. C '( t) 0'4t 4 m C '(8) 0'8 Luego, la recta tangente es: y 44' 0'8( 8) y 0'8 37'8

4 a) Halle las unciones derivadas de las unciones deinidas por las siguientes epresiones: 3 ln( ) 3 ( ) ( 3) ; g( ) ; h( ) e 3 b) Determine el dominio y las asíntotas de la unción m ( ) 4 SOCIALES II. 009 RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A a) '( ) 3 ( 3) 4 ( 3) ln ( ) ln ( ) g'( ) h e e e b) D '( ) 3 ( 3 ) Verticales: La recta a es una asíntota vertical si lim ( ) lim ( ) 4 a 4 Horizontales: La recta y Oblicuas: No tiene. b es una asíntota horizontal si 3 lim ( ) b lim y 4

5 si 0 a) Sea unción ( ) si 0 Estudie su continuidad y su derivabilidad. b) Se consideran las unciones: 3 g( ) ( ), h( ). Halle sus unciones derivadas. SOCIALES II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Estudiamos la continuidad en 0. ) (0) ) 3) lim ( ) lim ( ) 0 lim (0) lim ( ) Luego, es continua. Calculamos la unción derivada: si 0 '( ) si 0 ( ) '(0 ) '(0 ) '(0 ) No derivable en 0 '(0 ) b) g '( ) 3 ( ) 6 ( ) ln ( ) ln ( ) h'( ) ( )

6 Un almacenista de rutas ha estimado que el beneicio que le produce cada kilogramo (Kg) de resas depende del precio de venta de acuerdo con la unción B( ) 4 3 siendo B ( ) el beneicio por Kg y el precio de cada Kg, ambos epresados en euros. a) Entre qué precios se producen beneicios para el almacenista?. b) Qué precio maimiza los beneicios?. c) Si tiene en el almacén Kg de resas, cuál será el beneicio total máimo que podrá obtener?. SOCIALES II. 009 RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Calculamos los puntos de corte con el eje X ; Luego, se producen beneicios para y 3 b) Calculamos la derivada. c) B '( ) 4 0 Luego, para, se produce el máimo beneicio B()

7 3 si Sea unción ( ) 6 8 si a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la unción. b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráica de la unción en el punto de abscisa 3. SOCIALES II RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Estudiamos la continuidad en. ) () 3 lim (3 ) 3 ) lim ( ) 3 lim ) () lim ( ) 3 Luego, es continua en. 3 ln 3 si Calculamos la unción derivada: '( ) 6 si '( ) 3ln 3 '( ) '( ) No derivable en '( ) 4 b) La ecuación de la recta tangente es: y (3) '(3) ( 3) (3) '(3) 0 Sustituyendo, tenemos: y ( ) 0 ( 3) y

8 3 Sea la unción ( ). a) Calcule los puntos de corte de la gráica con los ejes, su monotonía y etremos relativos, si los tuviese. b) Determine su curvatura y punto de inleión. c) Halle los puntos de la gráica en los que la recta tangente tiene de pendiente 3. SOCIALES II. 009 RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN A 3 a) Corte con el eje X y 0 0 (, 0) Corte con el eje Y 0 y (0, ) Calculamos la derivada de la unción y la igualamos a cero. '( ) Luego la unción es creciente en su dominio.,0 0, Signo ' + + Función C C b) Calculamos la segunda derivada de la unción y la igualamos a cero. '( ) 6 0 0,0 0, Signo '' + Función Cn C Luego, la unción es cóncava en,0 y convea en 0,. Tiene un punto de inleión en0,. c). Luego, los puntos son:,0 y, '( ) 3 3

9 si Sea unción real de variable real ( ) si a) Represente gráicamente la unción. b) Estudie la continuidad de la unción. c) Estudie la derivabilidad de la unción. SOCIALES II RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) La gráica de la unción es: b) ) () 0 ) 3) lim ( ) 0 lim ( ) 0 lim 0 () lim ( ) 0 Luego, es continua en. c) Calculamos la unción derivada: si '( ) si '( ) '( ) '( ) '( ) No derivable en

10 Sea la unción ( ) a) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráica de la unción en el punto (0,) b) Estudie la monotonía de. c) Halle las asíntotas, los puntos de corte con los ejes y represente gráicamente la unción. SOCIALES II. 009 RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A a) La recta tangente en 0 es y (0) '(0) ( 0) '( ) '(0) ( ) Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y ( 0) y b) Calculamos la derivada de la unción y la igualamos a cero. '( ) ( ),, Signo ' + + Función C C No tiene solución Luego la unción es creciente en su dominio. c) Verticales: La recta = a es una asíntota vertical si lim ( ) lim ( ) a Horizontales: La recta y = b es una asíntota horizontal si lim ( ) b lim y Oblicuas: No tiene. Corte con el eje X y 0 0 (, 0) Corte con el eje Y 0 y (0,)

11 e si 0 Sea unción : deinida mediante ( ) 3 si 0 a) Es continua en 0?. Es continua en su dominio?. b) Es derivable en 0?. Es derivable en su dominio?. c) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráica de la unción en el punto de abscisa. SOCIALES II RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Estudiamos la continuidad en 0. ) (0) lim ( e ) 0 ) lim ( ) 3 0 lim 0 3) (0) lim ( ) 0 Luego, es continua en 0 y es continua en su dominio. b) Calculamos la unción derivada: e si 0 '( ) 3 si 0 '(0 ) '(0 ) '(0 ) '(0 ) es derivable en 0 y es derivable en su dominio. b) La ecuación de la recta tangente es: y () '() ( ) () '() Sustituyendo, tenemos: y ( ) y

12 La unción derivada de una unción viene dada por '( ) 3 9 a) Obtenga los intervalos de monotonía de la unción y los valores de en los que dicha unción alcanza sus etremos locales. b) Determine los intervalos de concavidad y conveidad de la unción. c) Sabiendo que la gráica de pasa por el punto (,5), calcule la ecuación de la recta tangente a la gráica de en dicho punto. SOCIALES II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Igualamos a cero la primera derivada. '( ) ; 3 (,) (,3) (3, ) Signo '( ) + + Función C D C b) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero. ''( ) 6 0 Máimo mínimo 3 (,) (, ) Signo ''( ) + Función Cn C c) La recta tangente en (,5) es y 5 '() ( ) '() Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y 5 3 ( ) 3 y 0

13 3 Sea la unción ( ) a b a) Determine el valor de los parámetros a y b sabiendo que la unción tiene un máimo en y que (). b) Para ab, halle la ecuación de la recta tangente a la gráica de en el punto de abscisa 0. SOCIALES II SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Calculamos la derivada de 3 ( ) a b. a b '( ) 3 () a b Máimo en '() 0 3a b 0 Resolviendo el sistema ormado por las dos ecuaciones sale: a 3 ; b 4 b) La recta tangente en 0 es y (0) '(0) ( 0) (0) 0 '(0) Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y 0 ( 0) y