PRUEBAS DE SELECTIVIDAD. Función real de variable real. Continuidad.

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María del Rosario Castilla Ortiz de Zárate
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1 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II IES Salvador Serrano - DtoMatemáticas (Daniel García) 01 / 13 PRUEBAS DE SELECTIVIDAD Función real de variable real Continuidad EJERCICIO 1- Se sabe que la epreón que representa el número medio de clientes N( t ) que acude un día a una cadena de almacenes, en función del número de horas t que llevan abiertos, es: ( ) = a t + b t, 0 t 8, a, b R N t Sabiendo que el máimo de clientes que han acudido ese día ha do de 160 y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule a y b EJERCICIO - Las funciones I( t) t + 51t y G( t) = t 3t + 96 con 0 t 18 = representan, respectivamente, los ingresos y gastos de una empresa, en miles de euros, en función de los años, t, transcurridos desde su inicio y en los últimos 18 años a) Para qué valores de t, desde su entrada en funcionamiento, los ingresos coincidieron con los gastos? b) Determine la función que refleje los beneficios (ingresos menos gastos) en función de t y represéntela gráficamente c) Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueron máimos? Calcule el valor de ese beneficio EJER CICIO 3- Sea la función f( ) < 4 Estudie la continuidad de f 10 EJERCICIO 4- Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil, se ha observado que el consumo de gasolina, c(), epresado en litros, viene dado por la función c( ) , = endo la velocidad en km/h y a) Determine el consumo de gasolina a las velocidades de 50 km/h y 150 km/h b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función c() c) A qué velocidades de ese intervalo se obtiene el mínimo consumo y el máimo consumo y cuáles son éstos? EJERCICIO 5- Sea la función ( ) 0 f = + Estudie la continuidad de f > 0 - EJERCICIO 6- Sea la función f( ) sea continua a 4 - Halle el valor de a para que dicha función > 1 / 5

t Sabiendo que el máimo de clientes que han acudido ese día ha do de 160 y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule a y b EJERCICIO - Las funciones I( t) t + 51t y G( t) = t 3t + 96 con 0

2 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II IES Salvador Serrano - DtoMatemáticas (Daniel García) 01 / 13 EJERCICIO 7- Un banco lanza al mercado un plan de inverón cuya rentabilidad R(), en miles de euros, viene dada en función de la cantidad,, que se invierte, también en miles de euros, por la guiente epreón: R( ) = , con 0 a) Calcule la rentabilidad para una inverón de euros b) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máima rentabilidad c) Qué rentabilidad máima se obtendría? EJERCICIO 8- Sea la función f( ) 1 a a < 3 > 3 a) Calcule el valor de a para que f sea continua en = 1 b) Para a = estudie la continuidad de f EJERCICIO 9- El beneficio, en miles de euros, alcanzado en una tienda de ropa el pasado año, viene dado por la función B(t) epresada a continuación ( ) B t 1 t t + 5 = 8 `t t 6, t es el tiempo transcurrido en meses 6 < t 1 a) Cuándo fue mínimo el beneficio? Cuál fue dicho beneficio? b) Represente gráficamente la función B(t) Cuándo fue máimo el beneficio? A cuánto ascendió? EJERCICIO 10- Dada la función f() = + a + b, determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 3) y alcanza un etremo en = a EJERCICIO 11- Sea la función f() b > a) Calcule a y b para que la función sea continua en todo su dominio y presente un mínimo en = 1 b) Represente gráficamente la función para a = 15 y b = 05 EJERCICIO 1- Sea P(t) el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de t 0 t 5 enfermedad transcurrido un tiempo t, medido en meses: P( t) 100t - t > 5 50 a) Estudie la continuidad de la función P b) Estudie la monotonía de dicha función e interprete la evolución del porcentaje de células afectadas c) En algún momento el porcentaje de células afectadas podría valer 50? / 5

100000 euros b) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máima rentabilidad c) Qué rentabilidad máima se obtendría?

3 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II IES Salvador Serrano - DtoMatemáticas (Daniel García) 01 / 13 a + 3 EJERCICIO 13- Sea la función f() Determine los valores de a y b, para que la b 4 > función f sea continua en = EJERCICIO 14- Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próimos 10 at t 0 t 6 años viene dado por la función B(t), endo t el tiempo transcurrido en años t 6 < t 10 a) Calcule el valor del parámetro a para que B sea una función continua b) Para a = 8 represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o decrecerá c) Para a = 8 indique en qué momento se obtiene el máimo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor EJERCICIO 15- Determine los valores que han de tomar a y b para que derivable en R EJERCICIO 16- Sea la función definida por f( ) > 4 + a 7 f() 4 b < < 4 Estudie su continuidad EJERCICIO 17- Un depóto lleno de agua se vacía por un sumidero que tiene en la parte baja El volumen de agua en m 3 que hay en cada momento en el depóto, desde que empieza a vaciarse, viene dado por la función V( t) a) Cuál es la capacidad del depóto? b) Cuánto tiempo tarda en vaciarse? t = 8 t +, donde t es el tiempo en minutos 3 c) Represente gráficamente la función V sea EJERCICIO 18- Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes La epreón que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, t, que lleva N t = 4t t abierto el consultorio es ( ) a) A qué hora el número de pacientes es máimo? Cuál es ese máimo? b) Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes, a qué hora cerrará? c) Represente gráficamente N( t) 4t t, con N( t) 0 = EJERCICIO 19- Sea la función f( ) continua en = 1 a a Calcule el valor de a para que f sea > 1 3 / 5

transcurrido en años t 6 < t 10 a) Calcule el valor del parámetro a para que B sea una función continua b) Para a = 8 represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o

4 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II IES Salvador Serrano - DtoMatemáticas (Daniel García) 01 / 13 EJERCICIO 0- En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inverón en publicidad, y han llegado a la concluón de que el beneficio obtenido, en miles de euros, viene dado por la epreón B( ) =, endo la inverón en publicidad, en miles de, en el intervalo [0, 10] a) Para qué valores de la inverón la empresa tiene pérdidas? b) Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio poble? c) Cuál es el beneficio no se invierte nada en publicidad? Hay algún otro valor de la inverón para el cual se obtiene el mismo beneficio? a) Estudie la continuidad de la función EJERICIO 1- Sea la función f( ) b) Represéntela gráficamente 1 > 1 EJERICICIO - Sean las funciones: f ( ) < 1, h( ) < 1 Estudie la continuidad de f y h en = 0 EJERICICIO 3- El gerente de una empresa sabe que los beneficios de la misma, f ( ), dependen de la inverón,, según la función f( ) = + ( es la cantidad invertida, en millones de euros) a) Determine los valores de la inverón para los que la función beneficio es no negativa b) Halle el valor de la inverón para el cual el beneficio es máimo A cuánto asciende éste? c) Entre qué valores ha de estar comprendida la inverón para que el beneficio sea creciente, sabiendo que éste es no negativo? EJERCICIO 4- Sea la función f ( ) EJERCICIO 5- Sea la función f( ) Estudie su continuidad > 0 < 0 Analice la continuidad en su dominio 0 EJERCICIO 6- Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función: ( ) 0t + 4t + 5, 0 t 5 C t = (t = años transcurridos desde el año 000) a) En qué año se alcanzará un máimo en el nivel de contaminación? b) En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero? 4 / 5

a) Para qué valores de la inverón la empresa tiene pérdidas? b) Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio poble?

5 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II IES Salvador Serrano - DtoMatemáticas (Daniel García) 01 / 13 EJERCICIO 7- Un almacenista de frutas ha estimado que el beneficio que le produce cada kilogramo (kg) de fresas depende del precio de venta de acuerdo con la función B( ) = + 4 3, endo ( ) B el beneficio por kg y el precio de cada kg, ambos epresados en euros a) Entre qué precios se producen beneficios para el almacenista? b) Qué precio maimiza los beneficios? c) Si tiene en el almacén kg de fresas, cuál será el beneficio total máimo que podrá obtener? EJERCICIO 8- Sea la función f( ) Estudie la continuidad de la función f > 1 EJERCICIO 9- Sea la función real de variable real f ( ) a) Represente gráficamente la función b) Estudie la continuidad de la función < 1 1 e EJERCICIO 30- Sea la función f : R R definida mediante f( ) Es f continua en = 0? Es continua en su dominio? > 0 EJERCICIO 31- Sea la función definida de la forma f( ) estudie su continuidad 1 10 < Halle el dominio de f y Alcaudete, 09 de diciembre de 01 5 / 5

producen beneficios para el almacenista? b) Qué precio maimiza los beneficios? c) Si tiene en el almacén 10000 kg de fresas, cuál será el beneficio total máimo que podrá obtener?

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