2x 8x 6, si x 1. 2x 8x 6, si x 1

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1 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II.- FUNCIONES ELEMENTALES 65, si 4 1 Consideremos la función f() 11, si 4 5 Represente gráficamente la función f() e indique dónde alcanza su máimo y su mínimo absolutos. Cuál es el valor del máimo? Y del mínimo? (Propuesto PAU Andalucía 1) Solución parcial : Comprobar una vez hecha la gráfica que el máimo es (, 4) y el mínimo (5,1) 1, si 1 Represente gráficamente la función real de variable real f(). 1, si 1 (Propuesto PAU Andalucía 9) 86, si 1 Represente la gráfica de f(). (Propuesto PAU Andalucía 7) 8 6, si 1 1, si 1 4 Consideremos la función f(). a) Determine la monotonía de f. 1, si 1 b) Represente gráficamente esta función. (Propuesto PAU Andalucía 6) Solución parcial : Comprobar, unavez hecha la gráfica, que f es creciente en (, ) y decreciente en (, ) 5 El beneficio esperado de una empresa, en millones de euros, en los próimos ocho años viene t 7t, si t5 dado por la función B definida por B(t) donde t indica el tiempo 1, si 5 t8 transcurrido en años. a) Represente gráficamente la función B y eplique cómo es la evolución del beneficio esperado durante esos 8 años b) Calcule cuándo el beneficio esperado es de 11,5 millones de euros. (Propuesto PAU Andalucía 6) Solución parcial : Comprobar, una vez hecha la gráfica, que a) El beneficio aumenta hasta los,5 años, luego disminuye hasta los 5 años y se mantiene cons tante hasta los 8 años b) A los,5 años y a los 4,5 años 1, si 6 Dibuje la gráfica de f() y estudie su monotonía. (Propuesto PAU Andalucía 5) 1, si Solución parcial : Comprobar unavez hecha la gráfica que f es creciente en (, ) y decreciente en (, ), si 1 7 Sea la función f() 4, si 1 a) Estudie la monotonía, determine sus etremos y analice su curvatura. b) Represente la gráfica de la función. (Propuesto PAU Andalucía 4) Solución parcial : Comprobar una vez hecha la gráfica que f es creciente en (, ) y decrecienteen (, ) (, ) el máimo relativo es (, ) y el mínimo relativo (, ) ; esconveaen(,1) y cóncavaen(1, ) 5, si 8 Represente gráficamente f() 61, si 5. (Propuesto PAU Andalucía ) 415, si 5 - Página 1 -

2 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II, si 4 9 Dibuje la gráfica de la función f(). (Propuesto PAU Andalucía ) 1, si 1, si 1 1 Represente gráficamente la función f(), si 1 y, a la vista de su gráfica, 8, si determine sus máimos y mínimos relativos, así como el crecimiento y decrecimiento. (Propuesto PAU Andalucía 1999) Solución parcial : Comprobar una vez hecha la gráfica que el máimo relativo es (4,16) y el mínimo relativo ( 1, ); f es creciente en el int ervalo ( 1, ) (, 4) y decreciente en (, 1) (4, ) 11 Represente gráficamente, si f() 4, si 4. (Propuesto PAU Andalucía 1998) ( 4) 1, si 4 e, si 1 Represéntela gráficamente f(). (Propuesto PAU Andalucía 1998), si.- LÍMITES Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 1 Una empresa quiere invertir en productos financieros un mínimo de un millón de euros y un máimo de seis millones de euros. La rentabilidad que obtiene viene dada en función de la cantidad, si 1 invertida,, por la siguiente epresión: R() donde tanto, como R(), 1 16, si 6 están epresadas en millones de euros. a) Estudie la continuidad de la función R. b) Esboce la gráfica de la función. c) Qué cantidad debe invertir para obtener la máima rentabilidad y a cuánto asciende ésta? Para qué valores de la rentabilidad es positiva? (Propuesto PAU Andalucía 17) Solución parcial :a) continua en todo R c)5 millones de con una rentabilidad de 9 millones de ;Larentabilidad es positivapara 14 Determine el valor de a para que sea continua en = 1 la función a, si 1 f() 1. (Propuesto PAU Andalucía 15) Solución : a 4 6, si 1 (1), si 1 15 Sea la función f() 4. Determine sus asíntotas, en caso de que eistan., si 1 (Propuesto PAU Andalucía 14) Solución : AH.. en es la recta y ; No hay AH.. en ; Tampoco hay AO.. en ; no hay AV.. 16 En una empresa de montajes el número de montajes diarios realizados por un trabajador 11t17 depende de los días trabajados según la función M(t), t 1, donde t es el número de días t1 trabajados. a) Cuántos montajes realiza el primer día? Cuántos días necesitará para realizar cinco montajes diarios? b) Qué ocurriría con el número de montajes diarios si trabajara indefinidamente? (Propuesto PAU Andalucía 1) Solución : a) montajes b) tendería a 5,5 montajes - Página -

3 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II 17 Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próimos 1 años att, si t 6 viene dado por la función B(t), siendo t el tiempo transcurrido en años. t, si 6 t1 a) Calcule el valor del parámetro a para que B sea una función continua. b) Para a = 8 represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o decrecerá. c) Para a = 8 indique en qué momento se obtiene el máimo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor. (Propuesto PAU Andalucía 1) Solución parcial : a) a 8 b) Crece de a 4 años y de 6 a 1 años decrece de los 4 a los 6 años c) A los 4 años y es de 16 millones de 18 En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en km, 11t viene dada por la función f(t), siendo t el tiempo transcurrido desde que empezamos a t observarla. a) Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla? b) Tiene algún límite la etensión de la superficie de la mancha? (Propuesto PAU Andalucía 1) Solución : a)1 km b)11 km 4 19 Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes, y las asíntotas de la función f() 1 (Propuesto PAU Andalucía 11) 1 Solución :(, ) ; La AH.. en es la recta y ; La AV.. es la recta, si Halle las ecuaciones de las asíntotas de la función f()., si (Propuesto PAU Andalucía 11) Solución :(, ) ; La AH.. en es la recta y ; Las AV.. son las rectas, 1 Calcule el valor de a para que 1, si 1 f() a, si 1 (Propuesto PAU Andalucía 11) 8 15, si sea continua en = 1. 5 Solución : a e, si Sea la función definida de la forma f(). Es f continua en =? 1, si Es continua en su dominio? (Propuesto PAU Andalucía 8) Solución : Sí Se considera la función f(), si 1. Determine si eisten asíntotas y obtenga sus, si ecuaciones. (Propuesto PAU Andalucía 7) Solución : No hay AH.. en, no tiene tampoco AO.. ; La AH.. en es la recta y ; La AV.. es la recta 1 - Página -

4 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II k, si 1 4 Sea la función f(). Para k =, calcule lim f() 1, si (Propuesto PAU Andalucía 7) Solución : lim f ( ) 1 ; lim f ( ) y lim f() a, si 5 Dada la función f() a, si, si (a R). Calcule el valor de a para que f sea continua en =. (Propuesto PAU Andalucía 1) Solución : a a, si 1 6 Dada la función f(), si 1 1. Calcule el valor de a para que f sea continua L(), si 1 en = 1. (Propuesto PAU Andalucía ) Solución : a e, si Sea la función f(), si 1 1. Estudie su continuidad. 1 ln(), si 1 (Propuesto PAU Andalucía 1999) Solución : continua en R 1 8 Calcule m para que la función 6, si f() ln(1) m, si sea continua. Solución : m 6 9 Estudie la continuidad de la función f, determine sus asíntotas y la posición de la gráfica respecto de ellas: a) f() 1 a) Continua sólo en R 1, 1 A.O.en : y, (la gráfica está por encima de la asíntota en y por debajo en ) 1 1 lim f() lim f() 1 1 A.V. : 1 : A.V. : 1 : 1 1 lim f() lim f() 1 1. b) f() ( 1) b ) C o n tin u a só lo en R A.O. en : y 4, (la g ráfica está p o r en cim a d e la asín to ta en 9 lim f( ) y p o r d eb a jo en ) A.V.: : 9 lim f( ) c) f() c) Continua sólo en R, 1 A.H.en : y, (la gráfica está por encim a de la asíntota en y por debajo en ) 7 lim f() lim f() 1 A.V.: : A.V.: 1 : 7 lim f() lim f() 1 - Página 4 -

5 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II d) ( ) f() d) Continua sólo en R ( ), A.H.en : y 1, (la gráfica está por debajo de la asíntota en y por encim a en ) 9 1 lim f() lim f() A.V.: : A.V.: : 9 1 lim f() lim f() e) f() 4 e) Continua sólo en R A.H.en : y, (la gráfica está por debajo de la asíntota en y por encima en ) 4 lim f() A.V.: : 4 lim f() f) f() ( 1) 1 f) Continua todo R. Luego, no hay A.V. A.H.en : y 1, (la gráfica está por encima de la asíntota en ) g) 4 1, si f() 1, si 1 g) Continua sólo en R, A.H.en : y, (la gráfica está por encima de la asíntota en ) A.H.en : y 1, (la gráfica está por encima de la asíntota en ) 4 lim f() A.V.: : 4 lim f() h) e, si f( ), si 4 h) C o ntinua só lo en R 1, A.H.en : y, (la g ráfica está p o r encim a d e la asínto ta en ) A.H.en : y, (la g ráfica está p o r encim a d e la asínto ta en ) 6 1 lim f( ) lim f( ) 1 A.V.: 1 : A.V.: : 6 lim f( ) 1 lim f( ) 1 i), si 1 f(), si i ) C o n tin u a s ó lo e n R 1, A.O. e n : y 8, (la g rá fic a e s tá p o r e n c im a d e la a s ín to ta e n ) A.H. e n : y 1, (la g rá fic a e s tá p o r d e b a jo d e la a s ín to ta e n ) lim f ( ) 1 A.V. : 1 : lim f ( ) 1 - Página 5 -