Funciones elementales más importantes

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1 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 7.- LÍMITES CONTINUIDAD DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES.- FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS. FUNCIONES ELEMENTALES Definición de función Una función real de variable real es una forma de hacerle corresponder a un número real un único número real y, que se representa por f(). Si llamamos f a la función, se suele representar así: f: R R, y = f() Se llama imagen de un valor dado, al valor obtenido al sustituir en la fórmula el valor de. Ejemplo: Si f es la función dada por la epresión f() =, la imagen de = 4 es f(4) =.4 = 4 El dominio de definición, D(f), es el conjunto de valores de para los que se puede calcular f(). Continuidad de una función Monotonía y etremos de una función Funciones elementales más importantes Lineales Afines Constantes Cuadráticas v b ( v, v) v = y a y v = f( v) - Página -

2 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 7.- LÍMITES CONTINUIDAD DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES y = sen y = cos y = tg -π -π/ -π -π/ π/ π π/ π X -π -π/ -π -π/ π/ π π/ π X X -π/ -π -π/ π/ π π/ LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONTINUIDAD Cálculo de límites puntuales con tabla de valores o usando la gráfica, si < Sea, por ejemplo f() =, si >,8,9,99 si < f() = 4,6 4,8 4,98 f() = 5 si > f() =,,, f() = f() f() f() En general, Si f() = f() = L f() = L Si f() f() f() f() y f() se llaman límites laterales Si f() viene dada por la fórmula, para calcular Cálculo de límites puntuales usando la fórmula Por ejemplo, f(), se sustituye por a, es decir = = f() = f(a). * Si la función es constante entonces el límite es el mismo número. Por ejemplo, * Si la función es definida a trozos y a es el punto donde cambia de epresión la función, tenemos calcular los límites laterales y ver si ambos coinciden. = - Página -

3 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 7.- LÍMITES CONTINUIDAD DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Reglas para el cálculo de límites a = a = = = = Indeterminación,si a> a. = =.. = Indet er minación,si a < a a,si a> a, si a< = = =± = = = = Indet er minación Indet er minación,si a<,si a>,sia> Sia>, a = = = = Indeterminación = Indeterminación = Indeterminación,si < a< Ejercicio Halla f ( ), si 4, si < f ( ) = (6), si > Resolución de indeterminaciones en límites puntuales! = =± "# $%& %' # ()*#! % )()(#,-.&%- (&%'(%- / Ejercicio Calcula: a) ( ) ( ) 4 π b) sen p() = 789:;< ;= 649 >?4@9A ; B>?<C=4D>9 5CE FC549C64CE G E; E46F54B4?> ;5 B>?<C=7H > A q() Ejercicio Calcula: a) c) b) d) tg 4 e) ( ) a a a Algunas veces aparece la indeterminación I I utiliza la epresión conjugada. en epresiones radicales. Para resolver esta indeterminación se Ejercicio 4 Determina: a) a b) a a Calcula los siguientes límites: a) ( 6 ) Practica tú: b) ( ) 5 c) d) e) 8 f) g) h) i) j) f( ), si < 5, si f ( ) = 5 k) f( ), si 5, si < f( ) = 67, si > 5 5, si > Sol.:a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) (los límites laterales son 6 y ) k) - Página -

4 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 7.- LÍMITES CONTINUIDAD DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Halla los siguientes límites: a) b) c) 5 5 d) e) f) 4 4 g) h) i) j) Sol.:a) b) (los límites laterales son e ) c) d) e) f) g) 4 7 h) (los límites laterales son y) i) j) 4 Estudio de la continuidad a partir del límite puntual f(a) Una f() es continua en el punto = a si se cumple f() = f() = f(a) a Tipos de discontinuidades Discontinuidad asintótica o de salto infinito Se da cuando f() =± y/o Ejemplos: f() =±. f() = f() = L f() = f() = f() = f() = a ( f(a) ) ( f(a) ) (f(a) = b ) En todos los casos, se dice que la asíntota vertical es la recta de ecuación A.V. : = a - Página 4 -

5 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 7.- LÍMITES CONTINUIDAD DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Discontinuidad de salto finito Se da cuando f() = b, Ejemplos: f() = c, pero b c f() = b f() = c f() = b f() = c f() = b f() = c (f(a) = c ) ( f(a) ) (f(a) = d ) Se da cuando Discontinuidad evitable f() = b, pero b f(a) Ejemplos: f() = b f() = b - Página 5 - f() = b f() = b (f(a) = c) ( f(a) ) k Ejercicio 5 Sea f la función definida por f( ) = para a y /. ( a)() Halla a y k sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, ) y que la recta = es una asíntota de dicha gráfica. Ejercicio 6 Estudia la continuidad de la siguiente función, clasificando sus posibles discontinuidades: f ( ) = Ejercicio 7 Sea f: R R la función definida por f( ) e a, si = si>, (a) Halla el valor de a sabiendo que f es continua. (b) Esboza la gráfica de f. Ejercicio 8 Si f: R R es la función continua definida por real. Determina a., si < a f( ) =, donde a es un número 5 7, si a

6 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 7.- LÍMITES CONTINUIDAD DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES ln si > Ejercicio 9 Se define la función f del modo siguiente: f() = a b si Encontrar los valores de a y b para que la función sea continua y su gráfica pase por el origen de coordenadas Practica tú: e si< Sea la función f( ) = a si con a un parámetro real. Se pide: 5 si> a) Determinar, razonadamente, el valor del parámetro a para que f() sea continua en =. Sol.:a= b) Para qué valores del parámetro a es continua f() en =? Razonar la respuesta. Sol.: a, porque a, f tiene una discontinuidad asintótica en = 4 Se sabe que la función f : (, ) R definida por 4 si < < f ( ) = a es continua en (, ). Halla el valor de a. Sol.:a= si b si 5 Sea la función f ( ) = 4 si< < donde b es un parámetro real. Se pide: 8 si Calcular el valor del parámetro b para que f() sea continua en = y en =. Sol.: b= 6 6 Calcula los valores de a y de b para que la siguiente función sea continua: y dibuja su gráfica para dichos valores. Sol.:Sólo voy a dar los valores de a y b: a=, b= <, si f( ) = a b, si <, si Concepto de límite en JK L f() =,,7, MK f() =.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN EL INFINITO Concepto de límite en f() = 7 f() = X X - Página 6 -

7 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 7.- LÍMITES CONTINUIDAD DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Límite en el infinito de una función polinómica Para calcular p() se multiplica y divide por la mayor potencia de ± Ejemplo: N O PQR S TU VU WX= [\ ]\ ^ c _`a b \ = ef gf h c ijk l f = Z \ d c c c f f f p q m rst u v w = z{ o n m } ~ =} = w w y,si a Regla general: p() a a. a., siendo a el término de mayor grado dep() n n > n = = = =, si a < Análogamente: p() = a Límite en el infinito de una función racional Al calcular el límite de una función racional llegamos a una indeterminación. Para resolver esta indeterminación podemos dividir numerador y denominador entre la potencia de con mayor eponente n Ejemplo: ˆ ˆ Š = Š = Š = = = ƒ Œ ƒ Œ ƒ Œ ˆ ˆ ˆ ˆ También se puede resolver así: Regla general: Ž Ž = š š = =, si m < n a m, si m = n p() a b = = q() n b a.( ± ), si m > n b m n siendo a, b los términos de mayor grado de los polinomios Aná logamente: p() = q() m a n b žÿ œ Ÿ Resolución de indeterminaciones con epresiones con radicales en límites en el infinito Para resolver indeterminaciones con epresiones radicales se suele dividir numerador y denominador entre la potencia de con mayor eponente entendiendo que si está dentro de un radical su eponente es el que lleva dividido entre el índice del radical. Cuando lleguemos a la indeterminación ó con epresiones radicales se suele usar la epresión conjugada. Ejercicio Calcula los límites: a) b) 4 4 π d) e) sen f) - Página 7 - ( ) c) log( 6) log( 5) 5 5 g) ( )

8 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 7.- LÍMITES CONTINUIDAD DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Practica tú: 7 Calcula los siguientes límites: a) ( ) b) ( ) e) j) 6 5 f) g) 4 c) 4 6 h) m) ( ) i) 4 d) 5 4 ( ) k) l) Sol.:a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) Asíntotas en el infinito Si f() = L f() tiene una en ± de ecuación: ± asíntotahorizontal ª «Análogamente podemos hablar de asíntotas horizontales en n) ( ) X Por ejemplo, la función representada tiene una asíntota horizontal en, que es la recta de ecuación A.H.: y = f() Si = m y [ f() m] = n f() tiene una en ± de ecuación: ± ± asíntotaoblicua ± ² ³ µ - Página 8 -

9 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 7.- LÍMITES CONTINUIDAD DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Asíntotas en el infinito de las funciones racionales Si m < n A.H: y= a Si m = n A.H: y= p() Sea f() = b q() p() r() Si m n=, se epresa = c() A.O: y= c() q() q() En otro caso,no hay asíntotas m n a, b son los términos de mayor grado de los polinomios p() y q(),respectivamente Posición de la gráfica respecto de la asíntota - La gráfica está por encima de la asíntota en cuando y gráfica > y asíntota, o sea cuando y gráfica y asíntota >. Por ejemplo, la función f() tiene asíntota horizontal en A.H.: y =. Observa que y gráfica y asíntota = f() > - La gráfica está por debajo de la asíntota en cuando y gráfica < y asíntota, o sea cuando y gráfica y asíntota <. Por ejemplo, la función f() tiene asíntota oblicua en A.O.: y=. Observa que y gráfica y asíntota = f() < Análogamente podemos hablar de la posición entre gráfica y asíntota en Ejercicio Sea f la función definida por f( ) = para y. ( )( ) (a) Calcula el dominio y las asíntotas de la gráfica de f. (b) Calcula, si eiste, algún punto de la gráfica de f donde ésta corta a Ia asíntota horizontal. - Página 9 -

10 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 7.- LÍMITES CONTINUIDAD DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Ejercicio Considera las tres funciones cuyas epresiones respectivas vienen dadas, para, por / f( ) =, g( ) = e y h( ) = ln (a) Halla las ecuaciones de las asíntotas de las gráficas de f, g y h. (b) Identifica, entre las que siguen, la gráfica de cada función, justificando la respuesta. Ejercicio Estudia las asíntotas y la continuidad de la función f ( ) = e m Ejercicio 4 Sea g la función definida por g( ) = para n. ( n) a) Halla m y n sabiendo que la recta y = 4 es una asíntota de la gráfica de g. b) Determina si la gráfica de g es simétrica respecto al origen. Ejercicio 5 Considera la función f definida para por f( ) =. (a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. (b) Estudia la posición relativa de la gráfica de f respecto de sus asíntotas. Ejercicio 6 Calcula las asíntotas de la gráfica de f( ) = e Practica tú: 4 8 Determina el dominio de definición y las asíntotas de la función y= () Sol.: D(f) = R {} A.V.: = ; A.O.: y= a b 9 Sea f la función definida como f( ) = para a. a Calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (, ) y tenga una asíntota oblicua con pendiente 4. Sol.:a= 4 b= a, si 8 Se sabe que la función f : [, ) R definida por f( ) = es continua en [, )., si > 8 4 (a) Halla el valor de a. Sol.:a= 8 (b) Calcula la asíntota oblicua Sol.: A.O.: y= 4 Dada la función f definida para por f( ) =, determina: ( ) (a) Las asíntotas de la gráfica de f. Sol.:A.V.: = ; A.O.: y= (b) El punto de corte de dicha gráfica con su asíntota oblicua. 8 Sol.: P(, ) 5 8 Sea f : R R la función definida por f( ) = (a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados. 8 Sol.: P(, ), Q(, 8) (b) Halla las asíntotas de la gráfica de f. Sol.: A.V. No hay; A.H.: y= 5 - Página -

11 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 7.- LÍMITES CONTINUIDAD DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 4.- TEOREMAS EN FUNCIONES CONTINUAS Teorema de Bolzano Si f() es una función continua en el intervalo [a, b] de forma que f(a) y f(b) tienen distinto signo, entonces eiste al menos un punto c del intervalo (a, b) para el que f(c) = El teorema de Bolzano dice que la gráfica de la función f() corta al eje X por lo menos en un punto c en el intervalo (a, b), es decir, la ecuación f() = tiene por lo menos una solución en el intervalo (a, b). Ejercicio 7 Demuestra que la funciónf() = 4 corta al eje de abscisas en el intervalo [, ]. Se puede decir lo mismo de la función f() =? Ejercicio 8 Comprobar que la ecuación 4 = tiene alguna raíz real. Aproimar su valor hasta las centésimas. Ejercicio 9 Comprobar si la ecuación =.sen cos tiene solución en [ π π] - Página -,. Ejercicio Probar que la ecuación e = tiene al menos una raíz positiva y otra negativa. π 4π Ejercicio Consideremos la función f()=. Comprobar que f > y f < ; comprobar que sen π 4π no eiste α, tal que f ( α ) =. Razona que no contradice el teorema de Bolzano Ejercicio Se piden los valores de los parámetros a y b para que la función cumpla el teorema de Bolzano cos π< f() = a si < <. Hallar así mismo el punto interior al intervalo b si π Ejercicio Supongamos que f es una función continua en [, ] y que < f() < para todo perteneciente a [, ]. Probar que debe haber un número c en (, ) tal que f(c) = c Indicación: Utilizar el teorema de Bolzano aplicado a la función g()= f() Ejercicio 4 Probar que las gráficas de las funciones f( ) = Ln y g( ) = e se cortan en algún punto y localizarlo aproimadamente. Practica tú: Podemos afirmar que f( ) = 5 toma el valor en algún punto del intervalo [, ]? Sol.: No 4 Comprobar que la ecuación = tiene al menos una solución real en el intervalo [, ]. 5 Prueba que las ecuaciones siguientes tienen al menos una raíz real: a) 5= b) 5 = 6 Demostrar si la función f()= 5 tiene al menos una raíz en (, ). 7 Probar que eiste al menos una raíz de la ecuación sen = 8 La ecuación = tiene alguna solución en el intervalo [, ]. Razónese por qué.

12 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 7.- LÍMITES CONTINUIDAD DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 9 Probar que las ecuaciones cos =, π = e tienen al menos una raíz real. Probar que la ecuación = tiene una única raíz en [,]. Demostrar que la ecuación.ln = tiene raíz en [,5; ] Demostrar que la ecuación = 6 tiene raíz real. 5 π Probar que la función f() = alcanza el valor en el intervalo,. Razonar la respuesta y sen resolver en caso de ser posible. π sen si < 4 Sea la función f() = Para qué valores de a se puede aplicar el teorema de Bolzano a si π π a dicha función en el intervalo, π? Sol.:a= 5 Se puede aplicar el teorema de Bolzano a la función f( ) = en el intervalo [, π]? Sol.:No cos Teorema de Weierstrass Si una función f() está definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f() alcanza al menos un máimo y un mínimo absolutos en el intervalo [a, b]. Es decir: hay al menos dos puntos, pertenecientes a [a, b] donde f alcanza valores etremos absolutos: El teorema de Weierstrass no nos indica donde se encuentran el máimo y el mínimo, sólo afirma que eisten. Ejercicio 5 Para cada una de las funciones siguientes, indicar si se puede aplicar el teorema de Weierstrass a) f( ) = en [,] b) f( ) = en [, 5 ] c) f ( ) = en (, ), si < a Ejercicio 6 Determina el valor de a para que a la función f ( ) = se le pueda aplicar el 5 7, si a teorema de Weierstrass en el intervalo [a, a ] a, si Ejercicio 7 Determina el valor de a para que a la función f ( ) = se le pueda aplicar el, si> teorema de Weierstrass en el intervalo [, ] Practica tú: 6 Para cada una de las funciones siguientes, indicar si se puede aplicar el teorema de Weierstrass a) f( ) = en [, 5] Sol.:Si b) f( ) = en [, ] Sol.:No c) f ( ) = en [, ] Sol.:No 4, si < < 7 Determina el valor de a para que a la función f( ) = a se le pueda aplicar el, si teorema de Weierstrass en el intervalo [, ] Sol.:a= - Página -