TEMA 9: FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD

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1 º CONCEPTOS PREVIOS Ejercicio º Valor absoluto a,b, TEMA 9: FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD º Intervalos: a, b, a, b, a, b Semirrectas:, a, -,a, a,, a, Representa gráficamente las siguientes funciones, indicando dominio e imagen: a) a (=+ Da =, b) a (=+ Da =, a ( d) a ( e) a ( ) f) a 6( g) a 7( h) 8 ) i) a 9( j) ) a ( l) a ( m) a( log n) a ( log ( ) ñ) a (= -ln(-+ o) a6 ( / p) a7 ( / q) a8 ( / º FUNCIONES a( º- Definición de función real de variable real,9 a Da 8= - Definición Función real de variable real Sean X e Y conjuntos de números reales, diremos que la correspondencia f de X en Y es una función real de variable real, si a cada elemento X le asignamos un único elemento Y El conjunto X se llama dominio de f (X=D(f)) El conjunto Y se llama recorrido o imagen de f (Y=I(f)=R(f)) Ejercicio Pon un ejemplo de correspondencia que sea función otro que no sea Importante: a i( es la regla de la función i Cuando de una función sólo te dan la regla, el dominio es el máimo conjunto donde la regla tiene sentido º- Operaciones con funciones - Suma: (f+g)(=f(+ Producto: (fg)(=f( Cociente: (f/g)(=f(/ Los dominios de las funciones resultantes de las operaciones anteriores, son el resultado de la intersección de los dominios de las funciones f g En el caso del cociente, ha que ecluir además los valores que anulan el denominador Ejercicio Dadas las funciones f ( ( Responde: a) Calcula: (f+g)(, (fg)( (f/g)( b) Determina: D(f+g), D(fg) D(f/g) - Otra operación es la composición de funciones Dadas las funciones f(, se define ( f g)( como f(), se lee g compuesta con f

2 Ejemplo: g: 6 f: f g De ese modo: f ) f ( )) f () 8 f ) f ( )) f ( ) 9 : Ejercicio En cada caso calcula a) ( b) f g, g f f g ( f ( f ( g ( º- Función inversa de una función, D( f g ) D( g f ) - Definición Diremos que f - es la función inversa de la función f si Ejemplo: f f ( f f ( f : f : 6 6 Ejercicio Comprueba en el ejemplo anterior que f - es la inversa de f Ejercicio 6 Pon un ejemplo de función que no tenga inversa Ejercicio 7 Observa que los valores de en la f - coinciden con los valores de de la función f a la inversa Teniendo en cuenta dicho hecho, dadas las funciones: a (, a ( a (, responde: a) Halla para cada una su función inversa b) Representa en un mismo eje de coordenadas cada función con su inversa Qué observas en cada caso? º LÍMITE DE UNA FUNCIÓN º- Límite de una función - Definición intuitiva Límite de una función Dado o L números reales, e =f( una función real de variable real, diremos que el límite cuando tiende a o de la función f vale L, si a medida que nos acercamos a o por números del eje OX, maores o menores (nunca iguales), los valores en el eje OY asociados a los mismos, sobre la gráfica de la función f(, se van aproimando cada vez más a L Ejercicio 8 Pon ejemplos de funciones que tengan límite en ejemplo que no lo tenga Realiza un esbozo gráfico de las mismas - Definición formal Límite de una función Diremos que la función f( tiene límite L cuando tiende a si tal que si entonces f ( L NOTACIÓN: El límite cuando tiende a o de la función =f( es L, lo representaremos matemáticamente como: f ( L ) o

3 - Resultado Si eiste el f ( vale L entonces f ( f ( L Donde f ( respectivamente f ( o o son los límites laterales, por la izquierda por la derecha Ejercicio 9 Dada la función f ( Represéntala gráficamente responde: a) Calcula f(), f() f(/) b) De eistir los siguientes límites halla su valor: f (, f ( f ( Ejercicio Dada la función g ( Represéntala gráficamente responde: a) Calcula f(), f() f(-7) b) De eistir los siguientes límites halla su valor: f (, f ( 7 f ( Ejercicio Dada la función h(=-7, Dh= Ejercicio Da la regla de una función f( en los siguientes casos: a) f()= f ( b) No eiste f() eiste f ( f (, represéntala halla, de eistir, h( Eiste f(), no eiste ), f ( ( ) f - Propiedades de los límites Sean f ( A B Entonces: a ) a ) P ) f ( A P ) f ( A B a f ( A P ) Si B distinto de entonces P ) B P ) a n n B a f ( A P 6) a f ( A a indeterminado a f ( A B, siempre que A B no sea º- Límite en el infinito - Definición intuitiva Límite de una función en Dado L número real, e =f( una función real de variable real, diremos que el límite cuando tiende a de la función f vale L, si a medida que toma valores cada vez maores, los valores en el eje OY asociados a los mismos, sobre la gráfica de la función f(, se van aproimando cada vez más a L Dado L número real, e =f( una función real de variable real, diremos que el límite cuando tiende a de la función f vale L, si a medida que toma valores cada vez menores, los valores en el eje OY asociados a los mismos, sobre la gráfica de la función f(, se van aproimando cada vez más a L - Definición formal Límite de una función en Diremos que el límite cuando tiende a de la función f vale L, si tal que si entonces f ( L

4 Diremos que el límite cuando tiende a - entonces f ( L de la función f vale L si tal que si NOTACIÓN: El límite cuando tiende a representaremos matemáticamente como: f ( f( tiene la asíntota horizontal =L ) Ejercicio Da la regla de una función en los siguientes casos: de la función =f( es L, lo L En cuo caso, diremos además, que a) b) d) e) - Operaciones con, Concepto de indeterminación SUMA Y RESTA PRODUCTO COCIENTE POTENCIA ( ) ( ) ( ) ( ) Si Si Si > Si << Si > Si < NOTA: Como su propio nombre indica, algo indeterminado, es algo que a priori es desconocido, de hecho, cuando aprendamos a resolver indeterminaciones veremos que puede resultar cualquier tipo de resultado º- f ( ) - Definición intuitiva f ( ) Dado o L números reales, e =f( una función real de variable real, diremos que el límite cuando tiende a o de la función f vale, si a medida que nos acercamos a o por números del eje OX, maores o menores (nunca iguales), los valores en el eje OY asociado a dichos valores, sobre la gráfica de la función f(, se hacen cada vez más grandes Análogamente se define f ( asíntota vertical = Cuando eiste el ) f (, se tiene además, que la función =f( presenta la Ejercicio Calcula los siguientes límites, dando la asíntota, de eistir, correspondiente

5 a) e) i) b) d) f) ln( ) g) ln( h) j) ) l) º CONTINUIDAD º- Función continua en =a - Definición Función continua en =a Diremos que la función f es continua en =a si a f ( f ( a) Si una función f no es continua en =a, se dice que es discontinua en dicho valor Una función será continua en un intervalo abierto (a,b) si es continua en todos sus elementos Ejercicio Representa la función f responde justificando las respuestas: f ( ln( ) Para a) Es continua en =, =, = o =? b) Da su intervalo de continuidad Presenta alguna asíntota la función anterior? d) Calcula, f ( Ejercicio 6 a) Completa con evitable o no evitable: En el ejercicio anterior la función presenta una discontinuidad de tipo en = de tipo en = b) Completa: Una función f presenta una discontinuidad evitable en =a si pero no coincide con o la función Ejercicio 7 Dada la función g (, determina el valor de a para que g sea a continua en todo R Para el resto de los valores de a, qué tipo de discontinuidad presenta la función? Ejercicio 8 Completa: Para que una función f sea continua en =a, la función tiene que estar en =a, también tiene que eistir el coincidir el valor de dicho con º- Funciones continuas en su dominio a) Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio, es decir, en R b) Las funciones racionales (f(=p(/q( con p( q( polinomios) son continuas en todo su dominio Las funciones radicales son continuas en todo su dominio d) Las funciones trigonométricas son continuas en todo su dominio e) Las funciones log a a son continuas en todo su dominio Ejercicio 9 Da el máimo conjunto donde las siguientes funciones sean continuas

6 a(= - - b(= 6 c(= log ( 7) d(= Ejercicio Calcula los siguientes límites justificando las respuestas: e(= 7 f(=e + 6 a) b) º- Teoremas d) e - Teorema Si es un número real f, g son continuas en =c, las siguientes funciones son también continuas en c a) f b) fg d) f/g con Ejercicio Dadas las funciones f(=e -6 = - Calcula: f ( a) f() ) b) f ( 7 d) f ( Ejercicio Calcula los siguientes límites justificando las respuestas: 7 a) log 7( ) b) log 7( 8 - Teorema Si g es continua en c f es continua en, la función compuesta (fog)(=f() es continua en c f g Ejercicio Calcula los siguientes límites justificando las respuestas: 7 a) log b) e Ejercicio Dada las funciones f(= + -, = h ( Responde justificando las respuestas: a) Calcula f ( Cuánto vale f (? b) Calcula Cuánto vale? Es continua la función h en =? En caso de haber discontinuidad qué tipo de discontinuidad es? m Ejercicio Calcula el valor de m para que la función sea continua en m todo R º CÁLCULO DE LÍMITES INDETERMINACIONES º- Indeterminaciones introducción Ejercicio 6 Calcula los siguientes límites: a) e) b) f) e d) g) h) e 6

7 º- Indeterminación Ejercicio 7 Calcula los siguientes límites: a) b) 6 d) 6 - Resultado Dada la función racional º Caso: Si grad p(>grad q( entonces L= º Caso: Si grad p(<grad q( entonces L= p( q( º Caso: Si grad p(=grad q(=m entonces L= p(, con L, se tiene que: q( términos de maor grado de los polinomios p( q( respectivamente a b m m, donde a m b m son los coeficientes de los Ejercicio 8 Calcula los siguientes límites: a) b) 6 6 d) e) f) 9 9 Ejercicio 9 Calcula los siguientes límites: a) b) d) e) f) º- Indeterminación Ejercicio Calcula los siguientes límites: a) b) 8 6 d) e) f) Ejercicio Dadas las funciones f ( g ( Responde: a) Halla el dominio de f de g b) Calcula d) Qué relación ha entre f g? d) Represéntalas gráficamente Ejercicio Halla el valor de que hace g (, continua en = º- Indeterminación del tipo Ejercicio Calcula los siguientes límites: b) a) 7

8 d) e) b c Ejercicio Sea f ( a, donde a, b c son números reales Calcula dicha función si cumple i), ii) iii): i) f ( ii) El punto (,/) es de la gráfica iii) La gráfica de f corta al eje Y en el punto de ordenada = Ejercicio Calcula los siguientes límites a) b) 6º ASÍNTOTAS 6º- Asíntotas verticales Sea a un número real, la recta vertical =a es una asíntota vertical de la función f(, si eiste alguno de los siguientes límites: a f ( o a f ( o a f ( o a f ( Ejercicio 6 Pon ejemplos de funciones en los siguientes casos: a) Para el caso a f (, una función logarítmica con asíntota = b) Para el caso a f (, una función logarítmica con asíntota = - Para el caso a f (, una función racional con asíntota = - 6º- Asíntotas horizontales Sea b un número real, la recta horizontal =b es una asíntota horizontal de la función f(, si se verifica que f ( b o f ( b ) ) Ejercicio 7 Pon ejemplos de funciones en los siguientes casos: a) Para el caso f ( b, una función eponencial con asíntota = ) f ( f ( f ( b) Para el caso b, una función eponencial con asíntota = - Para el caso b, una función racional con asíntota = 6º- Asíntotas oblicuas La asíntota no horizontal =m+n, m, es una asíntota oblicua de la función f( si se f ( m n f ( m n verifica que o si Para el cálculo de las asíntotas oblicuas en el caso f ( m n siguiente proceso: f ( º Paso: Se calcula m, con m º Paso: Se calcula ( f ( m n ) Análogamente para el caso f ( m n se sigue el 8

9 Ejercicio 8 Calcula las asíntotas oblicuas de las siguientes funciones: b( Ejercicio 9 Calcula las asíntotas de las siguientes funciones: a( a ( 9 b( c ( d( ( ) e f ( Ejercicio Qué tienen que verificar las funciones racionales para tener asíntota oblicua? 7º TEOREMAS DEL CÁLCULO 7º- Definición de función continua en un intervalo cerrado acotado - Definición f( continua en (a,b) Diremos que f( es continua en (a,b) si es continua en todos los números de dicho intervalo Es decir, que para cualquier se tiene que f ( f ( f ( c c c a, b a,b - Definición f( continua en Diremos que f( es continua en si: a) f( es continua en (a,b) b) f ( f ( a) a b f ( f ( b) 7º- Teorema de Bolzano Si f( es continua en a,b a,b 7º- Teorema de los valores intermedios f(a)f(b)< entonces eiste c a, b a,b tal que f(= Si f( es continua en a, b entonces f toma todos los valores entre f(a) f(b) 7º- Teorema de Weierstrass Sea f continua en a, b entonces: a) Eiste a, b tal que ( ) f ( b) Eiste ' a, b tal que ( ') f ( f para cualquier a, b f para cualquier a, b Por tanto, (,f( )) es un máimo absoluto de f en a, b (,f( )) es un mínimo absoluto de f en a, b Ejercicio Demuestra que las curvas f(=sen =/ se cortan en algún punto del intervalo, / 9