Límites y continuidad

Transcripción

1 Estudio de la continuidad de la función en el punto = : Comprobemos, como primera medida, que la función está definida en =. Para =, tenemos que determinar f() = + = 6 + = 8, luego eiste. Calculamos, entonces los ites laterales de la función para =. Limite por la izquierda: 8 Limite por la derecha: 6 8 Los ites laterales, eisten, son finitos y coinciden. Veamos si coincide, el ite de la función con el valor de la función en =. f() = 8 = f ( ) Luego, como se cumplen las tres condiciones, la función es continua en =... Propiedades de las funciones continuas Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, eponenciales, logarítmicas y trigonométricas serán siempre continuas en su dominio. Por lo tanto, presentarán discontinuidades en aquellos puntos en los que no esté definida y, por lo tanto, no pertenezcan a su dominio. Operaciones de funciones continuas Sean las funciones f() y g() continuas en el punto = a, entonces podemos afirmar que: f() + g() es continua en = a. f ( ) g ( ) f() g() es continua en = a. f(g()) es continua en = a, si f es continua en g(. Actividades resueltas es continua en = a, si g( 0. Las funciones polinómicas son funciones continuas en todo. Basta comprobar que la función f() =, la función f() = a son funciones continuas para comprobar que cualquier función polinómica es suma y producto de estas funciones. Las funciones racionales son continuas en todo salvo para los valores que anulan al denominador. Estudia la continuidad de f ( ). 4 En efecto, las funciones racionales son cociente de funciones polinómicas, que son continuas en toda la recta real. La función f ( ) es continua en {, }, pues el denominador se anula en 4 dichos valores. Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:

2 4.. Tipos de discontinuidad Eisten varios tipos de discontinuidades de las funciones, que se epresan en el cuadro siguiente: EVITABLES (Eisten los ites laterales y son finitos e iguales) INEVITABLES Los ites laterales no eisten, bien porque alguno es infinito o porque son distintos, o alguno de los ites laterales no eiste. No eiste imagen f( en el punto La imagen f( eiste pero no coincide con los ites laterales De primera especie De segunda especie De salto finito (Límites laterales finitos pero distintos) De salto infinito (Alguno (o los dos) ites laterales son infinitos) No eiste alguno de los ites laterales. Las discontinuidades evitables, se llaman así porque se pueden solventar mediante la redefinición de la función en el punto, bien porque no estuviera definida, bien porque no coincidiera la imagen con los ites laterales, que eisten, coinciden y son finitos. Las discontinuidades inevitables vienen dadas porque: los ites laterales eisten, son finitos y no coinciden (de primera especie de salto finito). Salto es igual a f ( ) f ( ) a a eisten pero alguno es infinito (de primera especie de salto infinito). Salto infinito. o no eiste alguno de los ites laterales o los dos (de segunda especie). Discontinuidad evitable Discontinuidad de primera especie salto finito f ( ) si si Discontinuidad de primera especie salto infinito f ( ) si si Discontinuidad de segunda especie 0 f ( ) sen si 0 si 0 f ( ) si 0 si 0 Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:

3 9 RESUMEN Ejemplos Definición de ite f ( ) L Para todo > 0, eiste un > 0 tal que, a siempre que a <, se cumple f() L <. Límite lateral a la derecha Límite lateral a la izquierda f ( ) L el valor de f() cuando tiende a a, a siempre que se cumpla la condición > a f ( ) L el valor de f() cuando tiende a a, a siempre que se cumpla la condición < a La función si f ( ) si tiene de ite lateral a la izquierda 8, y de ite lateral a la derecha también 8, pues Eistencia de ite a f ( ) a f () a f ( ) L La función tiene ite en = f ( ) si si Asíntotas Si f ( ) K hay una asíntota horizontal y = K. Si a f ( ) hay una asíntota vertical = a. f ( ) asíntota horizontal, y = 0 y asíntota vertical = 0 Propiedades de los ites Continuidad de una función en un punto ( f ( ) g ( )) f ( ) g ( ) a a a ( f ( ) g ( )) f ( ) g ( ) a a ( K f ( )) K f ( ) a a a f ( ) f ( ) a ( ) si g( 0. a g ( ) g ( ) a Una función f() es continua en el punto = a, si para cualquier > 0, eiste un > 0 tal que siempre que a <, se cumple quef() f( <. La función continua en = f ( ) si si es Propiedades de las funciones continuas Tipos de discontinuidad La suma y el producto de funciones continuas es una función continua. El cociente de funciones continuas es una función continua si no se anual el denominador. Evitable. De primera especie de salto finito. De primera especie de salto infinito. De segunda especie Los polinomios son funciones continuas en f ( ) es continua en {0} f ( ) si evitable en = si f ( ) de primera especie con salto infinito en = 0 Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:

4 0 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Límites. Calcula los ites siguientes: c) d) e) f) g) Calcula los ites siguientes: c) d) 4 e) 4 f) g) h) Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:

5 . Determina las asíntotas de las funciones siguientes: f ( ) 5 f ( ) 4 c) 5 6 f ( ) 4 d) 5 f ( ) e) 5 f ( ) ( ) f) 5 5 f ( ) ( ) g) 5 f ( ) ln ( ) h) f ( ) 5 ( ) Continuidad 4. Estudia la continuidad de las funciones siguientes, indicando en cada caso el tipo de discontinuidad. f ( ) 4 log 0 g ( ) 0 c) h( ) 5 5. Estudia la continuidad de las funciones siguientes, indicando en cada caso el tipo de discontinuidad. ( ) f 5 g( ) c) h ( ) 6. Estudia la continuidad de las funciones siguientes, indicando en cada caso el tipo de discontinuidad f ( ) g( ) 4 c) h ( ) 7. Estudia la continuidad de las funciones siguientes, indicando en cada caso el tipo de discontinuidad. f ( ) 6 g ( ) c) 4 h( ) 8. Estudia la continuidad de las funciones siguientes, indicando en cada caso el tipo de discontinuidad. Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:

6 4 ( ) ln 5 f ( ) ln g c) h ( ) 9 ln 9. Estudia la continuidad de las funciones siguientes, indicando en cada caso el tipo de discontinuidad. 9 ( 7 5 g ( ) e h ( ) d) f ) e 0. Dada la función f ( ) e Estudia su continuidad 0 0. Dada la función f ( ) k Determina el valor de k para que la función sea continua en toda la recta real. Dada la función f ( ) 5 Estudia su continuidad 4. Dada la función f ( ) 4 Estudia su continuidad 4. Esboza la gráfica de la función discontinuidad. 5. Esboza la gráfica de la función discontinuidad. f ( ) indicando sus asíntotas y sus puntos de 5 f ( ) indicando sus asíntotas y sus puntos de 5 Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7: