5.3 Dominios de funciones: Polinómicas: Dom f(x): R La X puede tomar cualquier valor entre (, + )

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1 Tema 5: Funciones. Dominio, Límites, Asíntotas y Continuidad de Funciones 5.1 Concepto de Dominio de una función Función: es una regla que asigna a cada número real X un único número real Y. X Dom R Dom R f() y = f() Ejemplos: f() = + ; y = ; f() = ; y = + ; f() = 1 + La X es la variable independiente La Y es la variable dependiente, ya que depende del valor de X. f() es único para cada valor de X Dom Las dos de la izquierda no son funciones, la de la derecha sí. En una función, una línea vertical no puede cortar a la gráfica en dos puntos distintos ; y = Dominio: Es el conjunto de valores que puede tomar la variable X. Dom f() Imagen ó Recorrido: Es el conjunto de valores que puede tomar la variable Y. Dom f(): R Dom f(): R Dom f(): R Dom f(): R {1} Dom f(): R {} 5. Funciones a trozos Función a trozos: Es aquella en la que la regla que asigna a cada número real X un único número real Y, es diferente dependiendo del tramo en el que se encuentre la X. 1 si 0 f() = { 1 si > 0 +1 si 0 f() = 4 si 0 < 4 { 1 4 si > 4 f() = { + + si si 0 < 1 Dom f(): (-1, + ) Dom f(): R {1} Dom f(): R Dom f(): R 5. Dominios de funciones: Polinómicas: Dom f(): R La X puede tomar cualquier valor entre (, + ) Ejemplos: f() = f() = f() = 1 Dom f(): R Función racional: es el cociente de dos funciones polinómicas. El cociente no eistirá para los valores que hagan que el denominador valga 0. Dom f(): R {valores que anulen denominador} Igualamos el denominador a cero, para ver qué valores anulan el denominador, y resolvemos la ecuación. f() = 1 1 = 0 = 1 Dom f(): R {1} Función de proporcionalidad Inversa f() = k f() = 1 = 0 Dom f(): R {0} Función eponencial: es un número real elevado a una función f() = a g() El dominio será semejante al de la función del eponente. Ejemplos: f() = e +1 ó f() = + Dom f(): R ya que el eponente es un polinomio. f() = 1 Dom f() es el dominio de 1 Dom f(): R {0}

2 Función trigonométricas: o Función seno: f() = sen g() El dominio será semejante al de la función g(). o Función coseno: f() = cos g() El dominio será semejante al de la función g(). o Función tangente: f() = tg(g) = f() = sen f() = cos 1 Ej: f() = tg = sen g() cos g() sen g() cos g() Dom f() es el dominio de Dom f(): R El cos g() debe ser distinto de 0 y g() debe eistir. Dom f() es el dominio de 1 Dom f(): R {0} R Dom f() es el dominio de { Dom f(): R {90} cos 0 90 n Función irracional : f() = g() o Con n impar: El dominio será el de g(). f() = 1 Dom f() es el dominio de 1 Dom f(): R o Con n par: f() no puede ser negativa. Tiene que ser nula o positiva g() 0. Resolvemos la inecuación g() 0. Vemos para qué valores se anula la función y damos valores a ambos lados, para ver cuándo es positiva y cuando es negativa. Si no podemos anular la función es que siempre es positiva o siempre es negativa. Damos cualquier valor y si es positiva la función para ese valor, siempre será positiva, en caso contrario siempre será negativa. f() = 1 g() 0 g() = 0 1 = 0 = 1 = ±1 Dom f(): 1] ᴜ [1, ) 1 1 Función logarítmica: f() = log a g() g() no puede ser nula ni negativa. Tiene que ser positiva g() > 0. Si g() es nula o negativa el logaritmo no se puede realizar. No eistirá la función para esos valores. Eiste solamente para aquellos valores en los que g () es positiva, o sea cuando la función está por encima del eje de las X. Resolvemos la inecuación g() > 0. f () es negativa o nula, el logaritmo no puede realizarse, no eistirá el logaritmo. Por lo tanto resolvemos la inecuación f () > 0. Vemos para qué valores se anula la función y damos valores a ambos lados, para ver cuándo es positiva y cuando es negativa. Si no podemos anular la función es que siempre es positiva o siempre es negativa. Damos cualquier valor y si es positiva la función para ese valor, siempre será positiva, en caso contrario siempre será negativa. f () = log( + 1) g() > 0 g() = 0 1 = 0 = 1 Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera = = 1 Siempre + Dom f(): R Función a trozos: Se debe analizar qué ocurre en cada intervalo (el dominio de cada rama). Se realizará la unión de cada dominio, para dar el dominio de toda la función. f() = { si 0 si > 0 { = 0 = 1 Rama = 0 = Rama Dom f() R { 1} Ejercicio 1: Halla el dominio de: a) g() = b) f() = + 4 g) f() = +5 l) B() = { e si 1 +1 si > 1 c) y = d) f() = 1 +1 e) f() = f) f() = + 1 h) f() = ln( + ) i) f() = (ln ) + j) f() = e 4+5 k) f() = e 1 sen t si t < 0 m) B(t) = { t si t 0 t 1 n) B(t) = { t+ t si t 0 si t > 0

3 5.4 Esbozos de funciones. f() = f() = f() = f() = f() = + f() = f() = f() = + f() = 1 f() = 1 f() = f() = ln f() = e f() = e f() = sen f() = cos f() = tg

4 5.5 Límites de una función en un punto. o Veamos en esta gráfica los siguientes puntos: f(a): Es el valor de Y cuando la X vale a. f(1) = f() = f() = 4 f(4) = f(5) = f(): El límite de la función cuando X tiende a a por la izquierda. a Queremos saber a qué valor se aproima la Y cuando la X se aproima cada vez más a a por su izquierda, o sea, con valores menores que a. f() = f() = f() = 4 1 f(): El límite de la función cuando X tiende a a por la derecha. a + f() =,5 4 f() = 5 Queremos saber a qué valor se aproima la Y cuando la X se aproima cada vez más a a por su derecha, o sea, con valores mayores que a. f() = f() = f() = 5,5 f() =, Límites laterales: A hallar estos dos límites anteriores se les llama hallar los límites laterales. f() = f(): El límite de la función cuando X tiende a a. a Queremos saber a qué valor se aproima la Y cuando la X se aproima cada vez más a a. Pero como hemos visto a la a nos podemos aproimar de formas distintas, por la izquierda y por la derecha. Sólo eistirá el límite cuando ambos límites laterales coincidan. f() = f() = f() = f() =,5 f() = Por lo tanto, se puede afirmar que f() = b, solamente cuando ambos límites laterales coinciden con b, y a quiere decir que cuando X tome valores próimos al número a, tanto mayores como menores, los valores de Y se aproimarán al número b. Discontinuidad de f() en = a: Se dice que una función no es continua en un punto (en = a) cuando no eiste f(a), o no eiste el límite cuando X tiende a a (no coinciden los laterales), o no coinciden ambos. En la gráfica la función no es continua en: =, =, = 4, = 5 Diremos que la función de la gráfica es continua en R {,, 4, 5} o Veamos en una función analítica: En una función deberemos de ir sustituyendo los valores para ver qué ocurre. Sea la función f() = + f(a): Es sustituir en la función el valor a y ver cuánto da. f( ) = 0 f(0) = f() = 5 a Hay que sustituir en la función varios valores menores que a, pero cada vez acercándonos más a a por su izquierda, y ver a qué se va acercando el valor de la Y. Para ver f() hallaremos f(,01) = 0,01 f(,001) = 0,001 f(,0001) = 0,0001 Para ver f() hallaremos 0 f( 0,01) = 1,99 f( 0,001) = 1,999 f( 0,0001) = 1, Para ver f() hallaremos f(,99) = 4,99 f(,999) = 4,999 f(,9999) = 4,9999 a + f() = 5 f() Hay que sustituir en la función varios valores menores que a, pero cada vez acercándonos más a a por su izquierda, y ver a qué se va acercando el valor de la Y. Para ver f() hallaremos + f( 1,99) = 0,01 f( 1,999) = 0,001 f( 1,9999) = 0, Para ver f() hallaremos 0 f(0,01) =,01 f(0,001) =,001 f(0,0001) =, Para ver + f() = 5 + f() hallaremos f(,01) = 5,01 f(,001) = 5,001 f(,0001) = 5,0001

5 5.6 Cálculo de límites. En el apartado anterior se ha calculado el valor del límite de una función en un punto, dando valores aproimados a la variable independiente y utilizando una tabla y una calculadora como herramientas. Sin embargo en muchas ocasiones el cálculo se puede realizar de una forma más directa y rápida. Para calcular f() = b se sustituye la X por el valor al que se aproima. Si el resultado es b, ya tenemos el límite a de X cuando tiende al número a. En estos casos se obtienen epresiones y resultados que tienen sentido en R, y los +8 límites se llaman determinados. = 4+8 = 1 = En qué casos no es válida esta regla para hallar f()? a o En los puntos que no pertenecen al dominio de la función. Allí no podremos sustituir ese valor. Domf(): R {} en = tendremos que hallar los límites laterales o En los puntos que están en el límite del dominio de la función. Domf(): R [5, + ) en = 5 tendremos que hallar los límites laterales o En las funciones a trozos, en los puntos que aparecen en las ramas. 5 si 0 f() = { en = 0 tendremos que hallar los límites laterales. + si > 0 Ejercicio : Calcula el f() y f(a) Coinciden? Qué significa? a a) f() = en = b) g() = +10 en = si 0 d) f() = { 1 si > 0 +1 en = 0 e) f() = { + si < 1 si 1 1 en = 1 f) g() = { si si > 1 en = 0 g) g() = { e si si > 1 en = 5.7 Límites Infinitos. A veces nos encontramos que los límites laterales tienden a + ó a a) f() = + y f() = a + a b) f() = y f() = + a + 1 Calcula Ejercicio : Calcula los siguientes límites: 1 a) b) 1 a = { 1 = c) 0 c) h() = +1 1 en = 1 si 0 h) h() = { e si > 0 en = i) h() { + si 0 si > 0 en = Límites en el infinito En ocasiones interesa considerar el comportamiento de una función cuando la variable independiente tiende, no a un valor concreto, sino a valores muy grandes, tanto positivos como negativos. En estos casos se habla: f() + f() si X toma valores muy grandes positivos a) f() = l, si X toma valores muy grandes positivos, f() se va aproimando a l. + f() =, si X toma valores muy grandes positivos, f() toma valores muy grandes. b) + si X toma valores muy grandes negativos f(),9-10,99-100, , ,01 100,1 10 a) f() = l, si X toma valores muy grandes negativos, f() se va aproimando a l. b) f() =, si X toma valores muy grandes negativos, f() toma valores muy grandes.

6 Ejercicio 4: Calcula los siguientes límites: a) 5 + b) + c) Indeterminaciones. Estas epresiones no son indeterminaciones. Epresiones indeterminadas Indeterminaciones: Son los casos en que la solución no tiene sentido en R. Hay que seguir operando hasta encontrar la solución. Pero siempre podremos hallarlo por límites laterales con la calculadora y una tabla. a) Limites de funciones racionales en el infinito : P() Para calcular el = L siendo P() y Q() polinomios, hay que comparar los grados de P Y Q. Q() - Si el grado P > grado de Q L = + - Si el grado P < grado de Q L = 0 - Si el grado P = grado Q L = a n b n Ejemplos: 5 5 = + Lim = b) Límites de funciones racionales de la forma k con k 0: 0 Se calculan los límites laterales, dando ± = = 4 { 0 +1 = c) Límites de funciones racionales de la forma : 0 Se factoriza el numerador y el denominador y se simplifica donde a n y b n son los coeficientes de mayor grado de P y Q = 0 (+) (+) = + = = + + Ejercicio 5: Calcula los siguientes límites: 5 a) e) 1 +1 b) + c) d) f) f() = { + si < 0 1 si 0 1 g) f() = si < 1 ± { si 1 1 h) i) 4

7 5.10 Asíntotas ASINTOTA es la recta a la cual se aproima la función sin llegar a tocarla Asíntotas de funciones Polinómicas: Las funciones polinómicas no tienen asíntotas. Asíntotas de funciones racionales: a) Asíntota Vertical: La recta = a es asíntota vertical si f() = ± a Condición: Serán aquellos puntos que no pertenecen al dominio, los que anulan el denominador. Forma de hallarla: 1º) Las A. Verticales serán los valores que anulan el denominador. º) Se hallan los límites laterales y tienen que ser cada uno + ó - b) Asíntota Horizontal: Son de la forma y = k, siendo k = f() Condición: El grado del numerador tiene que ser que el denominador. Forma de hallarla: Se halla f() = k y = k + Sólo se hacen en +, ya que si la hiciéramos en, daría lo mismo. Ejemplos: c) Asíntota Oblicua: Son de la forma y = m + n, siendo { n = f() m = (f() m) Condición: El grado del numerador es un grado superior al del denominador Si la función tiene asíntota horizontal, no tendrá asíntota oblicua. Forma de hallarla: Se halla m y n. - f () + 1No tiene asíntotas, por ser polinómica. - f () + No tiene asíntotas, por ser polinómica. - f () +1 Asíntota Vertical: Dom (f()) = {} f() = ± = es la asíntota vertical. Asíntota Horizontal: + +1 = 1 1 = 1 +1 f() = = = Indeterminación Criterio de los grados + + y = 1 es la asíntota horizontal. No tiene oblicua. - f () 1 1 Asíntota Vertical: Dom (f()) = {1} f() = ± = 1 es la asíntota vertical. 1 Asíntota Horizontal: f() = + 1 = = 0 y = 0 es la asíntota horizontal. No tiene oblicua. - f () +1 Asíntota Vertical: Dom (f()) = {} f() = ± = es la asíntota vertical. Asíntota Horizontal: f() = + +1 = + +1 Grado mayor numerador = No tiene asíntota horizontal. + Grado numerador 1 mayor que el del denominador. Puede tener oblicua. f() m = = + + n = (f() m) = Asíntota Oblicua: y = + 4 = = Indeterminación Criterio de los grados +1 = +1 = + ( ) + +1 = + = ( +1) () ( ) = = = Indeterm. m = = = Indeterm. n = 4

8 Asíntotas de funciones trigonométricas: Las funciones trigonométricas asíntotas horizontales. Sólo la función tangente tiene infinitas asíntotas verticales, en cada punto que no pertenece al dominio. Funciones eponenciales: Las funciones eponenciales tienen una asíntota horizontal en + ó en. En uno de los dos lugares tendrá una asíntota horizontal en y = 0, ya que af() ó + af() vadrá 0, mientras que el otro límite valdrá +, siempre que a >0 Funciones logarítmicas: Las funciones logarítmicas tienen una asíntota vertical en = b, siendo b el número que hace que g() = 0, ya que el logaritmo de 0 tiende a. Asíntotas de funciones a trozos: a) Asíntota Vertical: Serán aquellos puntos que no pertenecen al dominio. b) Asíntota Horizontal: Ahora, sin embargo, hay que hacer ambos límites: f() y f() + Cuando hagamos el límite en, escogeremos la primera rama, ya que allí está la Cuando hagamos el límite en +, escogeremos la última rama, ya que allí está la + Tenga las ramas que tenga la función, sólo usaremos para la asíntota horizontal la 1ª y la última. 5 si < 0 +1 f() = ± = f() = si 0 < Asínt. Vert.: f() R { 1, 0} { f() = ± = 0 0 { si + 5 = 5 y = 5 +1 Asíntotas horizontales: { + = 0 y = 0 + Ejercicio 6: Halla las asíntotas de las siguientes funciones: a) f() = b) f() = 1 1 f)f() = < 0 k) f() = { c) g() = l) g() = { 4 1 > 5.11 Continuidad de una función en un punto y en un intervalo. d) h() = 4 +1 e) B() = 1 + g) f() = e h) f() = e i) f() = ln j) f() = ln ( + 1) 0 m) h() = { + Una función es continua en un punto a si cumple: 1.- Eiste el a f().- Eiste f(a).- a f() = f(a) Una función es continua en todo R si lo es en todos los valores de X. 5.1 Continuidad de funciones elementales. La función polinómica f()=a 0+a 1+a +.+a n n es continua en todo R La función racional f()= P() donde P y Q son polinomios, es continua en todo R, menos en Q()=0 Q() En las funciones a trozos hay que estudiar cada rama (dominio) y los puntos de cambio de rama: a) 1º Estudiamos el dominio de cada rama. En los puntos que no pertenezcan al dominio de la función, la función no será continua. b) º Estudiaremos los puntos donde cambian las ramas. Hallaremos el límite por la izquierda, por la derecha y f(del punto). Si alguno de los tres no coincide diremos que la función no es continua en ese punto > 0

9 5.1 Tipos de discontinuidades. a) Evitables: f() f(a) a Eiste el límite. f(a) no tiene por qué eistir. b) No Evitables: + De salto finito: a + De salto infinito: a + f() f() ± + a Ambos límites valen un número real. f() = ± Al menos uno de los dos límites vale ± a Ejercicio 7: Halla la continuidad de las siguientes funciones: 1 a) f() = { > 1 + b) g() = { 0 > 0 c) P(t) = { t 0 t 5 100t 50 t > 5 t+5 Ejercicio 8: Halla a para que la función sea continua: a) f() = { a + 1 a > 1 b) g() = { a > 0 d) B() = 4 0 < 4 { 1 4 > < 4 e) f() = { < f) g() = { si si > 1 g) h() = { e si si > c) h() = { a + 1 < > d) B(t) = { at t 0 t 6 t 6 < t 10