FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Transcripción

1 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Función: Es toda aplicación definida entre conjuntos numéricos. Cuando el conjunto inicial y final son los números Reales, se llaman funciones reales de variable real. Para que una función esté bien definida debemos conocer lo siguiente: Conjunto Inicial (Dominio). Conjunto Final (Recorrido). Algo que nos permita relacionar el conjunto inicial y final (Ecuación). DOMINIO DE UNA FUNCIÓN: Son aquellos valores del conjunto inicial para los cuales siempre existe imagen. En otras palabras, Son todos aquellos valores de x para los que existe un valor de y. Fórmulas para calcular el dominio: Polinomios: n n 1 = a x + a x a x + a Dom (f) = n n Función Racional: Es aquella que viene expresada como cociente de polinomios. g( x) = h( x) { : 0 } { : 0} Dom = x h x = x h x = Es decir, el domino son todos los números reales menos aquellos que hagan que el denominador sea cero. Por tanto, para calcular el dominio, igualamos el denominador a cero y resolvemos la ecuación. Las soluciones de la ecuación serán los

2 valores que anulan el denominador, y por tanto los valores de x que no pertenecen al dominio. Función Irracional: = n g( x) { } = Dom ( g ) Si n es PAR Dom f = x : g x 0 Si n es IMPAR Dom f Es decir, si n es par, el dominio son todos los valores de x que hagan que lo que hay dentro de la raíz sea mayor o igual que cero. Si n es impar, entonces el dominio de la función f(x) es el dominio de la función g(x). Función exponencial: Dom a f( x) = Dom( f ( x) ) Donde a es un número real cualquiera. Función logarítmica: ( a ( )) { : 0} Dom Log = x > Es decir, el dominio son todos aquellos valores de x para los que la función que hay dentro del logaritmo es mayor que cero. Para hallarlo, igualamos la función a cero y resolvemos la ecuación. Las soluciones de la ecuación serán aquellos valores que hacen que lo que hay dentro del logaritmo sea igual a cero. Para saber qué valores de x hacen que la función sea mayor que cero, tenemos que coger cualquier valor de x que esté en el intervalo formado por las soluciones, y sustituirlo en la función. De esta forma vemos el signo de la función. Ejemplo: Ln( x 1) = Dominio? - -

3 x 1= 0 x =± Voy a coger un valor de x que sea menor que -1, otro que esté entre -1 y 1 y otro que sea mayor que 1. Los sustituiré en la función y veré como queda el signo: Para x < 1: cojo x = 1= 3 Positivo + Para 1< x < 1: cojo x = 0 0 1= 1 Negativo - Para x > 1: cojo x = 3 3 1= 8 Positivo + Por tanto los signos de la función quedarán: (, 1) ( 1, ) Dom f = + Suma o producto de funciones: ( + ) = ( ) = Dom f g Dom f g Dom f Dom g Cociente de funciones: f Dom = Dom( f ) Dom( g ) x g ( x) = g { : 0} Es decir, el dominio es la intersección del dominio de f(x) y el de g(x), menos aquellos valores que hagan que el denominador (g(x)) sea cero

4 CONTINUIDAD DE FUNCIONES Diremos que la función y = f ( x) es continua en x a lim f ( x) f ( a) = =. En la práctica, para comprobar si una función es continua, aplicaremos los siguientes pasos: Calculamos f ( a ) Calculamos el lim f ( a) Comprobamos si los dos resultados anteriores son iguales. Si lo son, entonces la función es continua en x = a. Si no lo son, la función será discontinua. Álgebra de las funciones continuas: Los polinomios, seno y coseno, son SIEMPRE continuas. Las funciones exponenciales, logarítmicas e irracionales (raíces) son continuas en todo su dominio. Si una función es continua, también lo es su valor absoluto. DISCONTINUIDADES. CLASIFICACIÓN: Una función es discontinua en un punto cuando no es continua en dicho punto. Existen tres tipos de discontinuidades:

5 EVITABLE: Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto cuando ocurra alguno de los siguientes casos: a) NO existe f ( a ) pero existe el lim f ( x) b) Existe f a Pero f a Existe lim f ( x) lim f ( x) SALTO FINITO: Existe lim + Existe lim Pero SON DISTINTOS En ese caso, el valor del salto será: lim S = lim + SALTO INFINITO: Cuando lim f ( x) = ±

6 DERIVABILIDAD DE FUNCIONES Una función es derivable en un punto cuando exista el siguiente límite: lim f ( a) x a Si el límite existe, el valor de la derivada en ese punto es lo que valga el límite. En la práctica, a la hora de estudiar la derivabilidad de una función en un punto, podemos utilizar la definición o también, si f(x) está definida a trozos, lo siguiente: + ' = lim + ' = lim ' f a ' f a Calculamos la derivada de la función y luego los límites laterales. Si los dos límites laterales son iguales, la derivada en ese punto existe y es lo que valga el límite. IMPORTANTE: Para que una función pueda ser DERIVABLE en un punto, ha de ser CONTINUA en ese punto. Si nos piden hallar la derivada en un punto, primero estudiamos si es continua en ese punto. Si no lo es, NO hace falta calcular la derivada y diremos directamente que no es derivable en ese punto. Si SÍ es continua en ese punto, estudiaremos su derivabilidad. Si una función es DERIVABLE en un punto, entonces es CONTINUA EN ESE PUNTO. DERIVABLE CONTINUA CONTINUA DERIVABLE Interpretación geométrica de la derivada: La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto

7 APLICACIÓN DE LA DERIVADA Podemos calcular la ecuación de una recta, que es tangente a una función en un punto. Para ello recordemos las ecuaciones de una recta: y = mx + n y y = m x x 1 1 La pendiente m de la recta en un punto (llamémosle A) será la derivada de la función en el punto A. Si además nos dicen que la recta pasa por otro punto B, los valores de x 1 e y 1 serán los del punto B. EJEMPLO: x = en el 1 x Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de punto P ( 0,0). 1 x ( x) x x + 1 f '( x) = = La ecuación será: y y m( x x ) 1 1 ( 1 x ) ( 1 x ) = x1 = y1 = 0 m 0+ 1 = f '0 = = 1 ( 1 0) y 0 = 1( x 0) y = x

8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Uno de los objetivos principales del estudio de funciones es poder representarlas. Para representar una función seguiremos los siguientes pasos: 1. Calculamos el dominio de la función.. Calculamos los puntos de corte con el eje OX. Serán aquellos en que f ( x ) = Calculamos los puntos de corte con el eje OY. Serán aquellos en que: f ( 0) = y. 4. Calculamos las rectas asíntotas. Las asíntotas son las rectas hacia las que se va a aproximar la función en determinados casos: a) Verticales: Diremos que la recta x = a es una asíntota vertical de la función y lim = si: = ± Los puntos de referencia (x = a) para el cálculo de las asíntotas verticales serán los puntos que no pertenezcan al dominio de una función. b) Horizontales: La recta y = b es asíntota horizontal de y f ( x) lim f( x) = b x ± = si: c) Oblicuas: Es la recta: y = mx + n. Donde: f( x) si m = 0 No existe oblicua m = lim x ± x si m = ± No existe oblicua n = lim ( f( x) mx) si n = ± No existe oblicua x ± SI HAY ASÍNTOTA HORIZONTAL, NO HAY OBLICUA

9 5. Calculamos los máximos y mínimos. Estudiamos el crecimiento y decrecimiento. Para ello, hallamos la primera derivada de la función y la igualamos a cero. Resolvemos la ecuación que nos queda. Las soluciones de la ecuación serán los posibles máximos o mínimos. Los puntos serán: ( af,( a )). Ahora hay que estudiar si esos puntos son máximos o mínimos. Para ello, hay dos métodos: a) Utilizar la primera derivada: Si en un entorno del punto x = a la función pasa de ser creciente a decreciente, entonces se trata de un máximo. Si en un entorno del punto x = a la función pasa de ser decreciente a creciente, entonces se trata de un máximo. En resumen, Lo que hacemos es tomar un valor de x a la izquierda del punto a que nos haya quedado. Ese valor lo sustituimos en la derivada y vemos su signo. Si es positivo entonces la función será creciente en ese trozo. Si es negativo, entonces será decreciente. Luego cogemos un valor de x a la derecha del punto a y hacemos lo mismo. Si a la izquierda era creciente y a la derecha decreciente, será un máximo. Si a la izquierda era decreciente y a la derecha es creciente entonces será un mínimo. b) Utilizar la segunda derivada. Calculamos la segunda derivada y estudiamos su signo en los puntos x = a. ( ( a) ) ( a) < Si sig f '' > 0 En a,f(a) hay un MINIMO Si sig ( f '' ) 0 En ( a,f(a) ) hay un MAXIMO

10 6. Estudiamos la concavidad y convexidad. Hallamos los puntos de inflexión. a) Calculamos la segunda derivada y averiguamos dónde se hace cero: f ''( x ) = 0. b) Si x = c es el valor que anula la segunda derivada, estudiamos su signo en un entorno. Convexa - Cóncava + c c) Si en un entorno de c pasa de: CONCAVO CONVEXO CONVEXO CONCAVO En (c, f(c)) hay un punto de INFLEXION