Ejercicios resueltos de cálculo Febrero de 2016

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1 Ejercicios resueltos de cálculo Febrero de 016 Ejercicio 1. Calcula los siguientes ites: x 5x 1. x + x + 1 x 1 x. x x. x + x + 1 x x 4. x 0 x cos x sen x x Solución: 1. Indeterminación del tipo. Tenemos: x 5x x + x + 1 x x 10x x x = x + x + = x + x 1x x +. Indeterminación del tipo 0/0: 1 x 1 x 1 + x = x x x (x ) 1 + x. Indeterminación 1 : x + 1 x = x + x =. 1 ( x) = x (x ) = x x 1 + x = 1. x + = x + x + x x x x x x = e x + 4. Indeterminación del tipo 0/0. Aplicaremos la regla de L Hôpital: 6x x = e 6. x cos x sen x x 0 x (cos x x sen x) cos x = x 0 x sen x = x 0 sen x x = 1 x 0 x = 1. 1

2 Ejercicio. Dada la función g(x) = ln x + 1 : 1. Estudia los intervalos de concavidad y convexidad.. Halla sus puntos de inflexión, si existen.. Hay algún punto donde g(x) tiene tangente horizontal? Solución: 1. El dominio de g(x) abarca todos los números reales. Tenemos: y g (x) = x x + 1 g (x) = 1 x (x + 1) de manera que el signo de g (x) es el de 1 x, lo que lleva a estudiar los intervalos (, 1), ( 1, 1) y (1, + ). Tomando valores particulares vemos que (1) g (x): + x: (, 1) ( 1, 1) (1, ) Concavidad:. Como en x = ±1, que son puntos del dominio de la función, hay un cambio de concavidad resulta que ( 1, ln ) y (1, ln ) son puntos de inflexión de g(x).. Si en x la tangente es horizontal la pendiente de dicha tangente, es decir, g (x), debe ser = 0. Por (1) esto ocurre en x = Que por otra parte es, evidentemente, un mínimo absoluto de g(x).

3 Ejercicio. Un rectángulo de 0 cm de perímetro gira sobre un lado y engendra un cilindro. Calcula las dimensiones del rectángulo para que el cilindro tenga volumen máximo. Solución: Si x e y son, respectivamente, la base y la altura del rectángulo y suponemos que este gira alrededor del lado y, tenemos (véase la figura 1) V = πx y. Teniendo en cuenta que x + y = 0, es decir, que y = 15 x, podremos escribir V (x) = πx (15 x), con la condición 0 < x < 15. En consecuencia V (x) = πx (10 x). De aquí se sigue que en el intervalo (0, 15) (donde el cilindro existe, y que es, por lo tanto, el dominio de la «función volumen») el volumen es creciente si 0 < x < 10 mientras que es decreciente si 10 < x < 15. Esto prueba que x = 10 es un máximo absoluto en dicho intervalo y por lo tanto que el rectángulo que produce el cilindro óptimo tiene 10 cm de base y 5 cm de altura. x y = 15 x Figura 1. Cilindro de revolución Ejercicio 4. Dada la función a x + bx si 0 x 1 f (x) = ln x si 1 < x calcula: 1. Los valores de a y b para que sea derivable en (0, ).. La ecuación de la recta tangente en el punto x = e. Solución: 1. Es evidente que f (x) es derivable para x > 0 siempre que x 1. Estudiaremos la derivabilidad en x = 1:

4 a) Para que una función sea derivable es necesario que sea continua. Como f (1) = a + b la continuidad en x = 1 exige que x 1 f (x) = x 1 + f (x) = a + b. Tenemos: f (x) = x 1 a x + bx = a + b x 1 mientras que f (x) = ln x = 0 x 1 + x 1 + y en consecuencia a + b = 0, o bien a = b. b) Si x 1 tenemos f (x) = a + b si 0 < x < 1 x si 1 < x Estudiemos la continuidad de la derivada. Tenemos: a f (x) = x 1 x 1 x + b = a + b y además x f (x) = x 1 + x 1 + x = En estas condiciones podemos concluir que f (x) será derivable en x = 1 si a/ + b =, es decir, si a + b = 4, lo que por el apartado anterior (a = b) implica que b = 4 y a = 4.. La pendiente de la recta tangente en un punto está dada por la derivada en ese punto. Como e > 1 tenemos f (e) = /e y por lo tanto la ecuación de dicha recta será y f (e) = f (e) (x e) es decir y por lo tanto y = (x e) e x e y = 0 Ejercicio 5. Sea la función x + x si x 0 f (x) = sen (ax) si 0 < x < π (x π) + 1 si π x Estudia su continuidad y su derivabilidad según los valores de a. Aplicamos el siguiente resultado: sea f continua en a y supongamos que existe f (x) en cierto entorno de a salvo posiblemente para x = a. Entonces, si existe y es finito x a f (x), existe también f (a) y f (a) = x a f (x). 4

5 Solución: Es evidente que f es continua y derivable para todo x 0, π. Estudiaremos ahora la continuidad en 0 y π: 1. Continuidad en x = 0: Ya que f está definida en x = 0 y f (0) = 0, para que la función sea continua en x = 0 bastará con que se cumpla que x 0 f (x) = x 0 + f (x) = 0. Tenemos: y por otra parte: f (x) = x 0 x + x = 0 x 0 x 0 x 0 f (x) = sen (ax) = Concluimos que f es continua en x = 0 para todos los valores de a.. Continuidad en x = π: Como f (π) = 1, para que la función sea continua en x = π tendrá que cumplirse que x π f (x) = x π + f (x) = 1. Tenemos: mientras que: x π x π f (x) = sen (ax) = sen aπ f (x) = x π + (x π) + 1 = 1 x π + luego para que f sea continua en x = π tiene que ser sen aπ = 1, es decir, aπ = π + πn, n y por lo tanto a = 1 4n n =, n Para estudiar la derivabilidad en 0 y π utilizaremos el siguiente Hecho. Sea f continua en a y supongamos que existe f (x) en cierto entorno de a salvo posiblemente para x = a. Entonces, si existe y es finito x a f (x), existe también f (a) y f (a) = x a f (x). Ahora, si x 0, π, tenemos: x + si x < 0 f (x) = a cos (ax) si 0 < x < π (x π) si π < x y podemos pasar a estudiar la derivabilidad en 0 y π: 5

6 1. Derivabilidad en x = 0: Sabemos que f es continua en x = 0 para todo a de manera que bastará estudiar la continuidad de la derivada. Tenemos: mientras que f (0 ) = f (x) = (x + ) = x 0 x 0 f (0 + ) = f (x) = a cos (ax) = a x 0 + x 0 + Concluimos que f es derivable en x = 0 si a = y en tal caso f (0) =. Obsérvese que en tal caso f no puede ser derivable en x = π ya que a = no es uno de los valores de a que hacen a f continua en π (dado que 4n + 1 es impar la expresión 4n+1 nunca puede ser un entero). Derivabilidad en x = π: f es continua en x = π cuando a = 1/ + n, n, de manera que, ya que una función discontinua no puede ser derivable, podemos limitarnos a estudiar la derivabilidad para estos valores de a. Tenemos: 1 π f (π ) = f (x) = a cos (ax) = x π x π + n cos + πn = 0 y por otra parte f (π + ) = f (x) = (x π) = 0 x π + x π + de manera que f es derivable en x = π para todos los valores a = 1 4n n =, n (pero obsérvese que en tal caso f no puede ser derivable en x = 0 ya que tales a no pueden valer ) Ejercicio 6. Estudia y representa gráficamente la función Solución: f (x) = x 1 x 1. Dom f = \ { 1, 1}. Es continua en todo su dominio excepto en x = ±1 donde presenta discontinuidades inevitables de salto infinito.. La gráfica de f corta a los ejes en el punto (0, 0).. La función es impar y por lo tanto simétrica respecto al origen de coordenadas pues f ( x) = f (x). 6

7 4. Para estudiar el signo de esta función racional observemos que el numerador se anula para x = 0 y el denominador para x = ±1 por lo que bastará estudiar los intervalos (, 1), ( 1, 0), (0, 1) y (1, ). Tomando valores particulares se ve que 5. Estudiemos las asíntotas: f (x): + + x: (, 1) ( 1, 0) (0, 1) (1, ) a) No tiene asíntotas horizontales pues x f (x) =. b) Hay dos asíntotas verticales, x = 1 y x = 1, puesto que en estos valores la función se hace infinita. Observemos que mientras que x x 1 1 x = + x x x = Se sigue que a la izquierda de x = 1 la función va hacia + mientras que a la derecha la función va hacia. Análogamente en x = 1. c) Tenemos: f (x) x m = = x x x 1 x = 1 además x b = (f (x) mx) = x x 1 x + x x + x x = = 0 x 1 x y concluimos que hay una asíntota oblicua, la recta y = x. Obsérvese que f (x) (mx + b) = f (x) ( x) = x/ 1 x es positivo si x y es negativo si x +. Se sigue que la función está por debajo de la asíntota cuando x + mientras que está por encima de la asíntota cuando x. 6. Para estudiar la monotonía y los extremos necesitamos la primera derivada: f (x) = x 1 x x (-x) = x x 4 (1 x ) (1 x ) = x x (1 x ) Los términos x y 1 x son positivos para todo valor de x de manera que el signo de f vendrá dado por el de x, lo que nos lleva a considerar los intervalos,,, 4 y,. Tenemos: Observa que nada cambia si x -, de manera que y = x es la única asíntota oblicua. 4 Deberíamos considerar, más bien, -, -1 (-1, 1) 1, ya que la función no está definida en ±1. Pero esto no afecta al signo de f y omitiremos tales detalles. 7

8 f (x): + x:,,, Monotonía: salvo en los puntos ±1 donde f (x) no está definida. Esto prueba, de paso, que en, f ( ) =, hay un mínimo relativo y que en, f ( ) =, hay un máximo relativo. 7. Estudiaremos el tipo de concavidad y los puntos de inflexión a partir del signo de la segunda derivada: 6x 4x 1 x x x 4 1 x (-x) f (x) = (1 x ) 4 6x 4x 1 x + x x 4 (4x) = = x x + (1 x ) (1 x ) Puesto que x + > 0 x solo hay que estudiar los intervalos (, 1), ( 1, 0), (0, 1) y (1, ). Tomando valores particulares vemos que f (x): + + x: (, 1) ( 1, 0) (0, 1) (1, ) Concavidad: Como en x = 0 hay un cambio de concavidad y como 0 Dom f ( a diferencia de los puntos x = ±1!) resulta que en (0, 0) hay un punto de inflexión. Con los datos anteriores obtenemos, por último, la siguiente gráfica: 8

9 Y x = 1 La función y = x 1 x O X x = 1 y = x Ejercicio 7. Se considera la función x f (x) = ln + x Halla razonadamente: 1. Su dominio.. Sus asíntotas, si es que existen.. Los extremos, en caso de que existan. 4. Los puntos de inflexión, si existen. 9

10 Solución: 1. El dominio de f (x) está formado por los números reales que cumplen es decir, por el intervalo abierto (, ). x + x > 0. Puesto que el dominio de f (x) está acotado la función carece de asíntotas horizontales y oblicuas. Por otro lado x ln = + x + + x y también x ln x + x = de manera que tiene dos asíntotas verticales: las rectas x = y x =. Obsérvese que los ites correspondientes cuando x o x + carecen de sentido.. Para calcular los extremos utilizamos la primera derivada: f (x) = + x ( 1) ( + x) ( x) = 4 x ( + x) 4 x y concluimos que la función carece de extremos relativos ya que la primera derivada no se anula nunca. Obsérvese, de paso, que dado que 4 x > 0 si x (, ) será f (x) < 0 para todo x Dom f, es decir, que f (x) es decreciente en todo su dominio. 4. La segunda derivada f (x) = ( 4) ( x) (4 x ) = 8x (4 x ) se anula para x = 0. Además f (x) > 0 (de manera que f es convexa) si x (, 0) mientras que f (x) < 0 (luego f es cóncava) si x (0, ) lo que demuestra que en (0, 0) hay un punto de inflexión. Con los datos anteriores es fácil dibujar la gráfica de la función: 5 5 Nótese también que la función es impar: f ( x) = f (x) 10

11 Y x = O X x = 11