Semana 2 [1/24] Derivadas. August 16, Derivadas

Transcripción

1 Semana 2 [1/24] August 16, 2007

2 Máximos y mínimos: la regla de Fermat Semana 2 [2/24] Máximos y mínimos locales Mínimo local x es un mínimo local de la función f si existe ε > 0 tal que f( x) f(x) x ( x ε, x + ε). Análogamente: Máximo local (f( x) f(x)).

3 Máximos y mínimos: la regla de Fermat Semana 2 [3/24] Regla de Fermat Teorema Si x (a, b) es mínimo local o máximo local de una función derivable f : (a, b) Ê, entonces f ( x) = 0.

4 Máximos y mínimos: la regla de Fermat Semana 2 [4/24] Ejemplo Queremos diseñar un cilindro de radio r y altura h cuyo volúmen V = πr 2 h sea máximo, para una superficie total dada S = 2πr 2 + 2πrh. r h Volumen del cilindro: ( ) S V(r) = πr 2 2πr r = Sr 2 πr 3. Resolvemos V (r) = 0, es decir S 2 3πr 2 = 0

5 Máximos y mínimos: la regla de Fermat Semana 2 [5/24] Ejemplo Solución positiva: r = S/6π. Volumen: V(r ) = S 3 /54π. Observación No podemos asegurar que la solución entregue el volumen máximo. Podemos mirar el gráfico aproximado de V(r): V(r) V* r* r

6 Teorema del valor medio Semana 2 [6/24] Teorema del valor medio TVM Sean f, g : [a, b] Ê funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), con g(b) g(a) y g (x) 0 para todo x (a, b). Entonces, existe c (a, b) tal que f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c). En particular, si g(x) = x se tiene f(b) f(a) b a = f (c).

7 Aplicaciones de la derivada Semana 2 [7/24] Regla de l Hôpital Útil para el cálculo de límites de la forma 0/0 o /. Teorema Sean f, g : (a, b) Ê derivables en (a, b), tales que lim f(x) = lim g(x) = L x a + x a + con L = 0 o L =, y g (x) 0 para todo x (a, b). Entonces f(x) lim x a + g(x) = lim f (x) x a + g (x) (1) siempre que este último límite exista.

8 Aplicaciones de la derivada Semana 2 [8/24] Regla de l Hôpital También se aplica para límites con x a, x a, e incluso para límites con x : Si lim x f(x) = lim x g(x) = 0 o y g (x) 0 para x suficientemente grande, lim x siempre que este último límite exista. f(x) g(x) = lim y 0 + f(1/y) g(1/y) = lim y 0 + f (1/y)/y 2 g (1/y)/y 2 f (1/y) = lim y 0 + g (1/y) f (x) = lim x g (x),

9 Aplicaciones de la derivada Semana 2 [9/24] Regla de l Hôpital: Ejemplos lim x 0 (1 cos(x))/x 2 = 1/2. Es más, cos(x) 1 + x 2 /2 lim = 1 x 0 x exp(x) 1 x lim = 1 x 0 x 2 2. lim x 1 ln(x) 1 + x arctan(x) π/4 = 4. lim ln(1 + exp(x)) sin(1/x) = 1. x

10 Aplicaciones de la derivada Semana 2 [10/24] Regla de l Hôpital: Ejemplos f : Ê Ê posee asíntota y = mx + n en, si existen m = lim x f(x)/x n = lim x f(x) mx. Si lim x f (x) existe, entonces m = lim x f (x).

11 Aplicaciones de la derivada Semana 2 [11/24] y monotonía Teorema Sea f : [a, b] Ê continua en [a, b] y derivable en (a, b). Si f (x) 0 (resp. 0) para todo x (a, b), entonces f es creciente (resp. decreciente) en [a, b]. Si la desigualdad es estricta, la monotonía es igualmente estricta.

12 Aplicaciones de la derivada Semana 2 [12/24] y convexidad f : [a, b] Ê se dice convexa si las rectas secantes al gráfico de la función quedan por encima del gráfico, vale decir [ ] f(y) f(x) f(z) f(x) + (z x) x < z < y. (2) y x f(y) f(x) x z y

13 Aplicaciones de la derivada Semana 2 [13/24] y convexidad Teorema Sea f : [a, b] Ê continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces f es convexa en [a, b] ssi f es creciente en (a, b). Análogamente: f cóncava si [ ] f(y) f(x) f(z) f(x) + (z x) y x x < z < y. (3) f cóncava ssi f es decreciente.

14 Aplicaciones de la derivada Semana 2 [14/24] de orden superior Son útiles para construir aproximaciones polinomiales de la función, más precisas que la aproximación afín dada por la derivada primera. Se definen inductivamente como: f [k] ( x) := (f [k 1] ) ( x). f : (a, b) Ê es de clase C k (a, b) si es k veces derivable en todo punto del intervalo (a, b), y la función f [k] : (a, b) Ê es continua. Clase C, si lo anterior es cierto k Æ.

15 Aplicaciones de la derivada Semana 2 [15/24] Desarrollos limitados Desarrollo limitado f : (a, b) Ê posee un desarrollo limitado de orden k en torno al punto x (a, b) si existen constantes a 0,..., a k Ê tales que f(x) = a 0 + a 1 (x x) + a 2 (x x) a k (x x) k + o((x x) k ). con lim u 0 o(u k )/u k = 0. Esto equivale a f( x + h) = a 0 + a 1 h + a 2 h a k h k + o(h k ).

16 Aplicaciones de la derivada Semana 2 [16/24] Desarrollos limitados Teorema Sea f : (a, b) Ê, k-veces derivable en x (a, b), y sea Tf k (h) := f( x) + f ( x)h + f ( x) 2 h2 + + f [k] ( x) k! su desarrollo de Taylor de orden k en torno a x. Entonces con lim h 0 o(h k )/h k = 0. f(x) = T k f (x x) + o((x x) k ) Atención La recíproca no es cierta. Que una función admita un desarrollo limitado de orden k en x no implica la existencia de f [k] ( x). h k

17 Aplicaciones de la derivada Semana 2 [17/24] Desarrollos limitados: Ejemplos Desarrollo limitado de orden k en torno a 0 de exp: exp(x) = 1 + x + x x k k! + o(x k ). Desarrollo limitado de orden k en torno a 0 de ln(1 x): ln(1 x) = x + x x x k k + o(x k ).

18 Aplicaciones de la derivada Semana 2 [18/24] Desarrollos limitados: Ejemplos Los desarrollos limitados se pueden sumar y multiplicar. Consideremos sin(x) = x x 3 /6 + o(x 4 ) exp( x) = 1 x + x 2 /2 x 3 /6 + o(x 3 ). Como o(x m ) es también o(x k ) si k m, exp( x) + sin(x) = 1 + x 2 2 x o(x 3 ) + o(x 4 ) = 1 + x 2 2 x o(x 3 ). Además x m = o(x k ) si m > k y también f(x)o(x k ) = o(x m+k ) siempre que lim x 0 f(x)/x m <, entonces sin(x) exp( x) = x x 2 + x 3 3 x x o(x 4 ) exp( x) + o(x 3 ) sin(x) = x x 2 + x o(x 4 ).

19 Aplicaciones de la derivada Semana 2 [19/24] Desarrollos limitados: Ejemplos Los desarrollos limitados también se pueden componer. Para obtener un desarrollo limitado de orden 2 de f(x) = ln[1 + exp(x)] en torno a x = 0, usamos el desarrollo exp(x) = 1 + x + x 2 /2 + o(x 2 ) y Por otro lado, dado que f(x) = ln[2 + x + x 2 /2 + o(x 2 )]. ln[2 + z] = ln 2 + z 2 z2 8 + o(z2 ) reemplazando z = x + x 2 /2 + o(x 2 ) se obtiene f(x) = ln 2+ [x + x 2 /2 + o(x 2 )] 2 [x + x 2 /2 + o(x 2 )] 2 +o([x+x 2 /2+o(x 2 )] 2 ). 8

20 Aplicaciones de la derivada Semana 2 [20/24] Desarrollos limitados: Ejemplos Finalmente, identificamos los coeficientes de las potencias de x de grado menor o igual que 2, el resto son de orden o(x 2 ). ln[1 + exp(x)] = ln 2 + x 2 + x o(x 2 ).

21 Aplicaciones de la derivada Semana 2 [21/24] Caracterización de puntos críticos Proposición Sea f : (a, b) Ê, k veces derivable en x (a, b), con f ( x) = = f [k 1] ( x) = 0 y f [k] ( x) 0, k 2. Entonces hay 3 casos posibles: Si k es par y f [k] ( x) > 0, x es un mínimo local. Si k es par y f [k] ( x) < 0, x es un máximo local. Si k es impar, x es un punto de inflexión.

22 Aplicaciones de la derivada Semana 2 [22/24] Fórmula de Taylor El siguiente resultado permite medir el error que se comete al usar un desarrollo de Taylor: Teorema Sea f : (a, b) Ê, (k + 1)-veces derivable en (a, b). Sea T k f ( ) el polinomio de Taylor de orden k en x (a, b). Entonces, para todo x > x (resp. x < x) existe ξ ( x, x) (resp. ξ (x, x)) tal que f(x) = T k f (x x) + f [k+1] (ξ) (k + 1)! (x x) k+1. (4)

23 Aplicaciones de la derivada Semana 2 [23/24] El método de Newton Consideramos f(x) = 0. f : [a, b] Ê derivable tal que f(a)f(b) < 0. Sabemos que existe una solución x. Si reemplazamos f por su aproximación afín en torno a x 0, f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) = 0. Y f (x 0 ) 0, x 1 = x 0 f(x 0 )/f (x 0 ) es una nueva aproximación de x.

24 Aplicaciones de la derivada Semana 2 [24/24] El método de Newton Esto nos conduce a un procedimiento iterativo: mientras f (x n ) 0. Este es el Método de Newton. x n+1 = x n f(x n )/f (x n ), Teorema Sea f : (a, b) Ê una función de clase C 2 y supongamos que x (a, b) es una solución de la ecuación f(x ) = 0 tal que f (x ) 0. Entonces existen constantes ǫ > 0 y M > 0 tales que para todo punto de partida x 0 I ǫ := (x ǫ, x + ǫ) el método de Newton está bien definido y converge hacia x con x n+1 x M x n x 2.