Universidad Carlos III de Madrid

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1 Universidad Carlos III de Madrid Exercise Total Points Departamento de Economía Matemáticas I Examen Final 0 enero 07 Duración: horas. APELLIDOS: NOMBRE: ID: GRADO: GRUPO: () Sea la unción (x) = ln( x ) + 3. Se pide: (a) Representar gráicamente la unción, calculando previamente su dominio, simetrías y puntos de corte con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento, asíntotas e imagen de (x). (b) Sea la unción (x) = (x), deinida solo en el intervalo donde dicha unción es creciente. Dibujar las gráicas de (x), su inversa y sus respectivas rectas tangentes en el punto x = 3, utilizando la concavidad y/o convexidad de (x) y de (x). Sugerencia: se puede hallar la expresión analítica de (x), pero no es necesario. 0,6 puntos apartado a); 0,4 puntos apartado b) a) El dominio de la unción anterior es {x : x > } = (, ) (, ). Por otro lado, la unción es par, luego su gráica será simétrica respecto al eje de ordenadas. Por tanto, es suiciente estudiarla en el intervalo (, ). La gráica no tiene puntos de corte con el eje vertical, pues x = 0 no está en el dominio de la unción. En cuanto al eje horizontal, si x > su punto de corte será x: ln(x ) = 3 x = e 3 x = + e 3. Y, por simetría, si x <, el punto de corte será x = e 3. Además, como (x) = (si x > ), se deduce que es creciente en (, ) y, por simetría, x decreciente en (, ). Como la unción es continua en su dominio, solo hay que estudiar las posibles asíntotas verticales en + y en : x +(x) = ln(0+ ) + 3 = + 3 = ; luego la unción tiene asíntota vertical en x = + y, por simetría, en x =. Y, en cuanto a las asíntotas en ±, como: (x) (x) = ; = 0; luego la unción no tiene asíntota horizontal ni oblicua en y, x por simetría, tampoco en. Por lo tanto, como x +(x) =, (x) = y la unción es continua en el intervalo (, ), por el teorema de los valores intermedios la imagen será (, ). Conclusión: la gráica de tendrá un apariencia, aproximadamente, como la primera igura: (5,3+ln 3) 3 (3,3) 4 3 (3,3) y=x b) Si y = (x) >, (y) = ln(y ) + 3 = x ln(y ) = x 3 y = e x 3 y = (x) = + ex 3. Pero el problema se puede hacer sin haber calculado la expresión analítica de la inversa.

2 Como (3) = ln(3 ) + 3 = 3, (3) = 3. Análogamente, como (x) = x = (3) = = ( ) (3) =, luego ambas unciones tienen la misma recta tangente y 3 = x 3 (o sea, y = x) en x = 3. Por último,como es cóncava, pues (x) = < 0, y creciente, se deduce que (x ) (x) es convexa y creciente. Por lo tanto, la gráica de quedará debajo de su recta tangente y = x, mientras que la gráica de quedará encima de esa misma recta, intersecándose ambas gráicas en el punto (3, 3). La posición relativa de ambas unciones con su común recta tangente será, cerca del punto x = 3, aproximadamente como la segunda igura.

3 () Dada la unción y = (x), deinida de orma implícita mediante la ecuación ye x y x + x = en un entorno del punto x = 0, y =, se pide: (a) Hallar la recta tangente y el polinomio de Taylor de grado de la unción centrado en a = 0. (b) Utilizar la recta tangente y el polinomio de Taylor para obtener una aproximación del valor de (0, ). Puedes justiicar si alguna de dichas aproximaciones es por deecto o por exceso? 0,5 puntos apartado a); 0,5 puntos apartado b) a) En primer lugar, calculamos la derivada primera de la unción: ye x + y e x yy x y + = 0 sustituyendo x = 0, y(0) = se deduce que y (0) = (0) =. Análogamente, calculamos la derivada segunda de la unción: (y + y + y)e x (y ) x yy x 4yy = 0 sustituyendo y(0) =, y (0) = se deduce que y (0) = (0) = 3 Luego la ecuación de la recta tangente será: y = P (x) = + ( )(x 0), es decir, y = x. Y la ecuación del polinomio de Taylor será: y = P (x) = x 3 x. b) Aproximación de primer orden: (0, ) P (0, ) = 0, 9. Aproximación de segundo orden: (0, ) P (0, ) = 0, 885. Como la unción es cóncava cerca de x = 0, pues (0) < 0, la aproximación por la recta tangente es por exceso, no pudiendo airmarse nada sobre la aproximación de segundo orden.

4 (3) Sea C(x) = 7 + 9x + x la unción de costes y p(x) = 8 ax la unción inversa de demanda de una empresa monopolista, siendo x 0 el número de unidades producidas de cierta mercancía y a > 0. Se pide: (a) Determinar la producción que maximiza el beneicio. (b) Determinar el coste medio mínimo, hallando primero la producción que minimiza el coste medio. 0,5 puntos apartado a); 0,5 puntos apartado b) a) En primer lugar, calculamos la unción de beneicios. B(x) = (8 ax)x (7 + 9x + x ) = ( a )x + 7x 7 Si calculamos la primera y segunda derivada de B : B (x) = ( a )x + 7; B (x) = ( a ) < 0 luego vemos que B tiene un único punto crítico en x = 36 y, como B es una unción cóncava, (a + ) este punto crítico es el único maximizador global. b) La unción de costes es C m (x) = C(x) = 7 x x x. Si calculamos su dos primeras derivadas: C m(x) = 7 x + ; C m(x) = 7 x 3 > 0 observamos que x = 6 es el único punto crítico de la unción C m (x), y como dicha unción es convexa, dicho punto crítico es el único minimizador global. Por lo tanto, la producción que minimiza el coste medio será: x = 6. Y, sustituyendo en la unción de costes medios, el coste medio mínimo será: C m (6) = = = 33 6

5 { ax + 3 si x < (4) Sea la unción (x) = x y consideremos el intervalo [, 3]. Se + ax + b si x pide: (a) Determinar a y b para que (x) satisaga las hipótesis (o condiciones iniciales) del teorema de Lagrange (o del valor medio) en dicho intervalo. (b) Para aquellos valores a, b determinar, el valor o valores intermedio(s) c de orma que se cumpla la tesis (o conclusión) de dicho teorema. Sugerencia para ambos apartados: enunciar el teorema del valor medio. 0,6 puntos apartado a); 0,4 puntos apartado b) a) Necesitamos imponer la continuidad y derivabilidad en x =. Para ello, como x (x) = a + 3, () = x +(x) = + a + b se deduce que la unción será continua en dicho punto cuando: a + 3 = + a + b a + b = 4. Por otro lado, suponiendo que la unción sea continua en x =, será derivable en dicho punto si: a = () = +() = + a a =. Luego la unción será continua y derivable en x = cuando a = b =. b) Por el teorema del valor medio sabemos que: Existe c (, 3) : (3) ( ) = (c)(3 ( )). Teniendo en cuenta que a = b =, lo anterior equivale a que ( ) ( + 3) = 4 (c). O bien: (c) =. Cuando x, (x) =, luego no es posible que c. Cuando x >, (x) = x + 4 = x = 3. Luego solo es posible cuando c = 3.

6 (5) Dada una unción : [0, 3] R continua, cóncava y que cumpla: (0) =, () = 3, (3) = 0, () = 0. Se pide: (a) Representar aproximadamente el conjunto A = {(x, y) : 0 x 3, 0 y (x)} y hallar, si existen, los maximales y minimales, máximo y mínimo de A. (b) Calcular la mejor aproximación inerior (o por deecto) del área del conjunto dado. Sugerencia para a: el orden de Pareto viene dado por: (x 0, y 0 ) P (x, y ) x 0 x, y 0 y. Sugerencia para b: considerar los segmentos que unen los puntos (0, ), (, 3) y (3, 0). 0,6 puntos apartado a); 0,4 puntos apartado b) a) Como (x) es cóncava y () = 0, eso signiica que la unción es creciente en el intervalo [0, ] y decreciente en el intervalo [, 3]. Por lo tanto, el dibujo de A será, aproximadamente, así: 3 (,3) (3,3) 3 Por lo tanto, el orden de Pareto nos describe al conjunto así: máximo no existe, maximales(a) = {(x, (x)) : x 3}. mínimo(a) = minimales(a)} = {(0, 0)}. b) Como la unción es cóncava, el segmento h (x) que une los puntos (0, ) y (, 3) queda por debajo de la gráica de la unción, como indica la igura 3 (,3) (3,3) 3 Luego como h (x) = + x, se deduce que: h (x)dx = 5 (x)dx 0 0 Análogamente, el segmento h (x) que une los puntos (, 3) y (3, 0) queda también por debajo de la gráica de la unción. Luego como h (x) = ( 3 )(x 3), se deduce que: h (x)dx = 3 (x)dx Luego = Área (A)

7 (6) Dada la unción h(x) = ln x, si x > 0, se pide: x3 (a) Hallar la primitiva de h(x) que tome el valor en x =. (b) Sea g continua tal que h(x) g(x) h(x) si x y G(x) = g(t)dt. Hallar la mejor aproximación posible de L, siendo y = L la asíntota horizontal de G(x). Sugerencia para b: en primer lugar, probar la existencia de L y calcularlo aproximadamente, suponiendo que h(t)dt = 4 y probando/utilizando la monotonía de G(x). En segundo lugar, comprobar que h(t)dt = 4 0,5 puntos apartado a); 0,5 puntos apartado b) a) Sea H(x) = ln x dx la primitiva indeinida de h(x). x3 Integrando por partes, llamando (x) = x 3, g(x) = ln x, se obtiene que: x 3 ln xdx = x ln x x x dx = x ln x + x 3 dx = = x ln x + (x ) + C = ( 4 )x ( ln x + ) + C Y ahora, como H () = 4 + C = = C = 5 4. Por lo tanto, H (x) = ( 4 )x ( ln x + ) b) Como h(t)dt g(t)dt h(t), y como h(t)dt = 4, se deduce que L = g(t)dt, si existe, cumplirá que 4 L. Luego L = 3 8 será la mejor aproximación, con un error máximo de 8. Por otro lado, como G(x) = g(t)dt es creciente, pues su derivada, g(x), es positiva, y además G(x) está acotada superiormente, se deduce que existe L = Para probar la sugerencia, como H (x) = g(t)dt. h(t)dt es la primitiva de h(x) que toma el valor 0 en x =, entonces dicha primitiva solo se dierencia de la otra primitiva H(x) obtenida en el apartado anterior en una unidad. Así pues, H (x) = ( 4 )x ( ln x + ) + 4. Y ahora, h(t)dt = = H (x) = 4 + ( 4 ) = 4 + ( 4 ) /x x = 4. ( ln x + )/x =(aplicando la regla de L Hopital)= Las siguientes gráicas de g(x) y G(x) pueden ayudar a entender la situación: y=g(x) y=h(x) / L /4 y=h (x) y=g(x) y=h(x) y=h (x)