Universidad Carlos III de Madrid

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1 Ejercicio total Puntos Universidad Carlos III de Madrid Departamento de Economía Eamen final de Matemáticas I 8 de febrero de 2007 APELLIDOS: NOMBRE: DNI: Titulación: Grupo: MODELO : Dada la función g!"! ln!! 2" Se pide: a) Representar la gráfica de g, utilizando la gráfica de ln!! 2", y determinar el dominio y la imagen de g b) Consideremos g!" restringida al intervalo donde es decreciente Hallar su inversa Sugerencia para a) y b): no es necesario derivar punto a) A partir de la gráfica de f!"! ln!! 2", se observa que: ) la gráfica de g!" coincide con la gráfica de f!" cuando esta última es positiva o se anula, es decir, cuando! 3, 2) la gráfica de g!" se obtiene a partir de una refleión respecto al eje horizontal de la gráfica de f!" cuando esta última es negativa, es decir, cuando 2 " " 3 Porlotanto,lagráficadeg!" tiene una forma aproimadamente así: 2 3 Del dibujo anterior se deduce que el dominio de f!" coincide con el de g!", estoes!2,"" Respecto a la imagen, como la imagen de f!"! ln!! 2" es toda la recta real, la imagen de g!"! f!" será el intervalo #0,"" b) Como se puede apreciar por la gráfica de g!", esta función es decreciente en el intervalo!2,3$, donde g!"!! ln!! 2" Ahora, considerando g :!2,3$ # #0,"", g es biyectiva, así que y! g!!", g! : #0,"" %!2,3$ cumplirá que g!y"! g!g!!""!, o equivalentemente! ln!y! 2"!, o equivalentemente y! 2! e!, o equivalentemente g!!"! y! 2 $ e!

2 2 Sea la función f!"! Sepide: 2 $ a) Hallar los intervalos de crecimiento / decrecimiento de f, así como sus etremos locales y/o globales b) Hallar los intervalos de concavidad / conveidad de f, así como sus puntos de infleión c) Consideramos en R 2 el orden de Pareto definido por! 0, y 0 " # P!, y " % 0 #, y 0 # y Hallar, si los hay, los puntos maimales y minimales, el máimo y el mínimo del conjunto A! &!, y" : # y # f!",0 # ' 3 5 puntos a) Como f &!"! 2 $!2 2!!2, se cumple que:! 2 $" 2! 2 $" 2 ) f &!" ' 0 cuando! " " ( f es creciente en #!,$ 2) f &!" " 0 cuando "! o ' ( f es decreciente en!!",!$ yen#,"" Porlotanto,f alcanza un mínimo local en!! y un máimo local en! Además, como f!!"!!, f es decreciente en!!",!$, f es creciente en #!,$, y f!" ' 0 cuando ' 0, se cumple que!! es un minimizador global Igualmente, como f!"!, f es creciente en #!,$, f es decreciente en #,"", y f!" " 0 cuando " 0, se cumple que! es un maimizador global b) Como f "!"!!2!2 $" 2!!! 2 "!$ 2 "!!2!2 $"!!! 2 "!!2!2 $$2!! 2 ""!!2!!2 $3",! 2 $"! 2 $" 3! 2 $" 3! 2 $" 3 se cumple que: ) f "!" ' 0 cuando $!! 3,0" %! 3, "", o sea, cuando f es convea 2) f "!" " 0 cuando $!!",! 3 " %!0, 3 ", o sea, cuando f es cóncava Por lo tanto, los puntos de infleión son!! 3,! 0,! 3 c) Si queremos hallar los puntos de corte de la gráfica de y! f!" con los de la recta y!, 3 obtenemos lo siguiente:! )#! 0o,si & 2 $ 3 0,2 $! 3$ )#! 0,!! 2,! 2 $ Por lo tanto, se cumple que A! &!, y" : # y # f!",0 # # 2 ', teniendo en cuenta que: 3 ) ' 2 ( f!" " 3 (pues, por ejemplo, f!3"! " 3 " ) 0 " " 2 ( " f!" (pues, por ejemplo, " f!"! " Luego el conjunto A, comprendido entre las rectas verticales! 0y! 2, tiendrá esta forma: (,) (\ - 2,\ - 2/3) \ Por lo tanto, teniendo en cuenta que f es creciente en #0,$ y decreciente a partir de!, se cumple que: ) maimales (A)!&!, y" : y!, # # 2 ', luego no eiste máimo 2 $ 2) {minimales (A)}!{mínimo(A)}!{(0,0)}

3 3 Dada la función definida por f!"! a) Estudiar la continuidad de f b) Estudiar la derivabilidad de f punto e si "! e!2 si! # # 0 6 2!5$6 si ' 0 a) En primer lugar f no es continua en los puntos!2,!3, pues en dichos puntos se anula el denominador de la fracción y, por tanto, la función f no está definida Veamos que sucede en los puntos!-,!0 ) Como lim f!"! e!! f!!"! lim f!", f es continua en el punto!! #!! #! $ 2) Como lim f!"!! f!0"! lim f!",, f es continua en el punto! 0 #0! #0 $ Porlotanto,f es continua en todos los puntos ecepto en los puntos 2,3 b) Por la parte anterior, f no es derivable en los puntos 2,3 Por otra parte, el único punto, aparte de los anteriores, donde f podría ser no derivable es en los puntos!!,! 0Veamos que sucede ahí D! f!!"! #!! lim f &!"! lim!! "e 2!!e! #!! ( la primera identidad anterior es cierta por ser f continua en dicho punto" D $ f!!"!!2e!2!en!!"! 2e! Porlotanto,f no es derivable en el punto!! D! f!0"!!2e!2!en! 0"! 0 D $ f!0"! #0 $ lim f &!"! lim 6 #0 $!!2!5"! 2!5$6" 2! 30 36! 5 6 ( la primera identidad siendo cierta por ser f continua en dicho punto) Porlotanto,f tampoco es derivable en el punto! 0 En definitiva, f es derivable en todos los puntos ecepto en!,0,2,3

4 Sea y! f!" la función definida de manera implícita mediante la ecuación e!y $ 2! 3 en un entorno del punto!," Sepide: a) Hallar, mediante f &!", larectatangentealagráficadef en el punto!," b) Hallar, mediante f "!", el polinomio de Taylor de orden 2 de f centrado en el punto a! c) Dibujar aproimadamente la gráfica de f en un entorno del punto!,", con la información obtenida en los apartados anteriores,5 puntos a) Derivando la ecuación, se obtiene:!! y & "e!y $ 2! 0Sustituyendo!,y!, se obtiene:!! y & " $ 2! 0 ( y &! f &!"! 3 Luego la recta pedida es: y!! 3!! " b) Derivando la ecuación obtenida en la parte a), se obtiene:!!y " "e!y $!! y & " 2 e!y! 0 Sustituyendo!,y!, y!3, se obtiene:!y " $! 0 ( y "! f "!"! Luego el polinomio pedido es: P!"! $ 3!! " $ 2!! " 2 c) Como la función f cumple: ) f!"! 2) La recta tangente en dicho punto de la gráfica es y!! 3!! " 3) La función es convea cerca del punto!, pues f "!"! entonces, la gráfica de f en un entorno del punto!," será, aproimadamente, así: (,)

5 5 a) Enunciar el teorema de Bolzano (de los ceros) b) Discutir, según los valores de C, cuando la ecuación 6 5 $ e 2 $ C! 0 tiene al menos una solución, y si dicha solución es única punto a) b) Definamos f!"! 6 5 $ e 2 $ C, continua en todo punto Entonces, como lim f!"!!" $ 0 $ C!!", lim f!"! " $ " $ C! ", %!" %" basta elegir valores a, b que cumplan: f!a" " 0, f!b" ' 0 Y ahora, por el teorema de los ceros, eiste un valor c, a " c " b, de forma que f!c"! 6c 5 $ e 2c $ C! 0 Hemos visto, por lo tanto, que eiste una solución a dicha ecuación para cualquier valor de C Veamos a continuación que dicha solución es única Para ello calculemos la derivada de f f &!"! 30 $ 2e 2 ' 0, para cualquier Luego la función f es creciente y la solución hallada anteriormente es única, pues una función creciente solo puede cortar en un único punto a la recta horizontal y!0

6 6 Sea C!"! 00 $ 20 $ 2 la función de costes de una empresa monopolista, donde! 0 es el número de unidades producidas de cierta mercancía, y cuya función inversa de demanda (o precio por unidad) es p!"! a!, donde a ' 0 es un parámetro real que determina la demanda máima Se pide: a) Determinar la cantidad que minimiza el coste medio (o por unidad) b) Discutir, según los valores de a, la cantidad que maimiza la función de beneficio Sugerencia: téngase en cuenta el dominio de dicha función c) Si a es tal que la producción que minimiza el coste medio coincide con la cantidad que maimiza el beneficio, cual es el beneficio por unidad correspondiente a dicha producción? 5 puntos a) La función de coste medio C med!"! C!"! 00 $ 20 $ es una función convea, pues C" med!"!! C!" ""! 200, luego el mínimo se alcanzará en aquel punto donde se anule la 3 derivada, si dicho punto se encuentra dentro de su dominio, es decir, en #0,a$ Esto es, cuando & C med!"!! C!" " &!! 00 $! 0 )! 0 2 Por tanto, el coste medio mínimo se alcanza con esa producción b) Consideremos B!"!!a! "!!00 $ 20 $ 2 ", como si su dominio fuera todo " Entonces, como B &!"! a! 20!, B!" es creciente en!!", a!20 $ y decreciente en # a!20, "" Sin embargo, debemos tener en cuenta que el dominio con sentido económico de B!" es #0,a$, por lo que debemos considerar dos casos: ) a!20 " 0 o, equivalentemente, a " 20 En este caso, el máimo de B!" se alcanzará en el punto! 0,y no en a!20, pues no tiene sentido una producción negativa 2) 0 # a!20 # a o, equivalentemente, a! 20 En este caso, el máimo de B!" se alcanzará en el punto! a!20 3) el caso a " a!20 es imposible Si se diera este caso, el máimo se alcanzaría en! a ynoen! a!20, que sería una producción superior a la permitida, o sea, a Un dibujo de los casos ) y 2) nos aclarará la situación a (a-20)/ a (a-20)/ c) Producción que minimiza el coste medio! 0 Producción que maimiza el beneficio! a!20 (cuando a! 20" Piénsese que el caso a " 20 podemos desecharlo, ya que entonces tendríamos que la produccion que maimiza el beneficio sería 0, que nunca podría ser igual a 0Entonces, dichas producciones coinciden cuando 0! a!20 ) a! 60 Luego el beneficio por unidad correspondiente a dicha producción será: B!0"! p!0"! C 0 med!0"! 50!!0 $ 20 $ 0"! 0

7 7 Dada f!"!, se pide: a) Calcular aproimadamente, mediante la ecuación de la recta tangente a dicha función en el punto de abscisa 0!, el valor de & b) Hallar el área del recinto que limitan la gráfica de f!", la recta tangente calculada en la parte a) y el eje vertical (o de ordenadas) punto a) Como f &!"! ( f &!"! ;y,alserf!"!, resulta que 2 2 la ecuación de la recta tangente a la gráfica de dicha función en el punto!," es: y! $!! " 2 Porlotantof! & " es, aproimadamente (utilizando la recta tangente) igual a $ 2!&! "! & 05 Como la función f!"! es cóncava, la recta tangente queda por encima de la gráfica de f!" en todos los puntos Por lo tanto, el área del recinto cerrado será: Área!'! $!! "! "d! ' 0 2! 0!! 2 3!!! 0"! 2 La figura es, aproimadamente, así: 2! $ "! 2 "d! #! $ "2! $ 0! (,)

8 8 Dadas las funciones f!"! 2! $ y g!"!!,se pide: 2 $ a) Calcular la epresión algebraica de de todas las primitivas de f!" 3 b) Derivar la función A!"! ' g!t"dt c) Considera las funciones F!"! ' f!t"dt y G!"! ' g!t"dt, cuando " Cual de esas dos funciones, F!" o G!", es mayor? Sugerencia para b) y c): no se debe intentar calcular una primitiva de g!" 5 puntos a) ' f!"d! '! 2! "! $ "! 2 d! (haciendo el cambio de variable $! t)!! '#!t! " 2! $t! 2 dt! '!t 2! 2t"t! 2 dt! ' t 3 2 dt! 2 ' t 2 dt! 2 t 5 2! t 3 2 $ C! 5 3 Y ahora, deshaciendo el cambio de variable, nos queda:! 2! $ " 5 2!! $ " 3 2 $ C 5 3 b) A &!"! g! 3 "3 2! g!"!!3! "!! " 6 $ 32! 2 $ c) Puede comprobarse que g!t" es menor que f!t", pues el numerador de g!t" menor que el de f!t", mientras que el denominador de g!t" es mayor que el de f!t", cuando t ' O, en otras palabras: g!t"! t! t 2 $ " t2! t $! f!t" %!t! " t $ "!t2! " t 2 $ Y ahora, simplificando en ambos miembros de la desigualdad t! ' 0, esta última se cumple pues: #0 " t $ " t 2 $,0 " " t $ $ ( t $ "!t $ " t 2 $ Porlotanto,comog!t" " f!t" cuando " t ", se cumple que: G!"! ' g!t"dt " ' f!t"dt! F!", cuando "