Tema 7: Aplicaciones de las derivadas

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1 Tema 7: Aplicaciones de las derivadas 7.1Crecimiento y decremiento de una función. Etremos relativos. Página Tiene algún etremo relativo la función f 5 1 Tenemos que calcular f Ahora igualamos a cero esta derivada: Esta epresión no se anula nunca dado que tenemos una potencia de eponente cuatro que es siempre positiva, multiplicada por un número positivo y sumada a una cantidad positiva. Como no hay puntos donde f, entonces la función no tiene etremos relativos. Gráficamente sería: y Tareas : todos los ejercicios que faltan del 1 Identifica los etremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones: b) f ln1 Calculamos f Hacemos f 1 0 Una fracción es cero si el numerador es cero. Tenemos la siguiente tabla de signos: signo/intervalo, 0 0, 1 f crece o decrece crece etremo relativo crece Tomamos, 0 y lo sustituimos en f f Tomamos, 1 y lo sustituimos en f f Esto no tiene sentido; el problema viene porque dado que tenemos un logaritmo neperiano, hemos de tener claro primero cuál es el dominio de la función. Un logaritmo sólo tiene sentido para números positivos o cero. En nuestro habrá de ser Dado que Domf 1,, tenemos que rehacer la tabla anterior: 1

2 signo/intervalo 1, 0 0, 1 f crece o decrece decrece etremo relativo crece Tomamos 1, 0. 5 y lo sustituimos en f f bservando la tabla, tenemos un mínimo relativo en Gráficamente sería: y Tareas : todos los ejercicios que faltan del. 6. Aplicación de las derivadas a los problemas de optimización Página 159 Ejercicios 5 Una empresa inmobiliaria ha decidido convertir un hotel en 65 estudios. Alquilando a 600 euros cada estudio, conseguiría alquilarlos todos, y por cada 0 euros que aumentase el alquiler, alquilaría 1 menos. Si cada estudio alquilado requiere 60 euros mensuales de gastos, A cuánto debe alquilarlos para obtener máimo beneficio? Llamamos a cada veintena de euros que aumenta el alquiler. Por lo tanto, tenemos: si 1 esto significa que hemos aumentado en 0 euros el alquiler y sólo alquilaríamos estudios si 3 esto significa que hemos aumentado en 3 0 euros el alquiler y sólo alquilaríamos estudios Por otro lado, lo que ganas alquilando los estudios será el precio del alquiler por los estudios que tienes alquilados. Es decir: Además están los gastos de mantenimiento, serán el número de apartamentos alquilados por lo que cuesta mantener cada apartamento. Es decir: Finalmente, los beneficios vendrán dados por los ingresos menos los gastos: f Calcular el punto donde f Tenemos que f Así El etremo relativo se obtiene para 19 Para determinar si es un máimo o un mínimo, habremos de saber cómo es la monotonía de la función alrededor de 19. Para ello consideramos la tabla siguiente:

3 intervalo 0, , signo f monotonía creciente decreciente tomamos 1 0, 19 f tomamos 0 19, f Por lo tanto, como pasamos de creciente a decreciente, en 19 tenemos un máimo. La respuesta es que debe alquilar los apartamentos a euros y así alquila estudios Dado que la función es una parábola con las ramas hacia abajo, es natural que el etremo relativo coincida con el vértice de la misma. Tareas : 3,4 6.3 Curvatura y puntos de infleión Página 160 Ejercicios 7 Encuentra el máimo y el mínimo relativo de f Calculamos f Hacemos f Recordamos que el producto es igual a cero si alguno de los multiplicandos es cero. o 1 0 o 1 o 1 1 Por lo tanto tenemos etremos relativos en los valores de, 1,1 Calculamos f Sustituimos los valores de en la f si 1 f en 1 la curva está por encima de la tangente en el punto P1, f1. Es decir, la función en 1 es cóncava hacia arriba. Como además era un etremo relativo esto significa que tenemos un mínimo relativo en 1. si f en 1 la curva está por debajo de la tangente en el punto P0, f0. Es decir, la función en es cóncava hacia abajo. Como además era un etremo relativo esto significa que tenemos un máimo relativo en. si 1 f en 1 la curva está por encima de la tangente en el punto P1, f1. Es decir, la función en 1 es cóncava hacia arriba. Como además era un etremo relativo esto significa que tenemos un mínimo relativo en 1. Gráficamente sería: y Tareas : 6 3

4 6.4 Algunos teoremas sobre funciones derivables. Página 161 Ejercicios 9 Es posible que haya tres puntos de igual ordenada en la función f e 5? Dado el punto de coordenadas P 1, abscisa 1 ordenada Lo vamos a hacer por reducción a lo absurdo. Supongamos que hay tres puntos a 1 a a 3 tales que la ordenada en ellos es la misma. Es decir, cumplen que fa 1 fa fa 3 b Tenemos por lo tanto las siguientes situaciones: En el intervalo cerrado a 1, a se cumple que la función es continua, derivable en su interior y fa 1 fa. Es decir, se dan todas las condiciones del Teorema de Rolle, por lo tanto podemos aplicar dicho teorema para concluir que hay un punto c 1 a 1, a tal que fc 1 0 En el intervalo cerrado a, a 3 se cumple que la función es continua, derivable en su interior y fa fa 3. Es decir, se dan todas las condiciones del Teorema de Rolle, por lo tanto podemos aplicar dicho teorema para concluir que hay un punto c a, a 3 tal que fc 0 Por ahora, tenemos dos puntos c 1 c tales que fc 1 fc 0 1 Calculemos f e 1 0 e 1 Hagamos f e 1 0 e 1 ABSURD: N PUEDE DARSE A LA VEZ L EXPRESAD EN 1 Y EN. DE AHÍ QUE NUESTRA SUPSICIÓN DE TRES PUNTS CN LA MISMA RDENADA N PUEDA SER CIERTA, PUES CAS DE SERLA NS LLEVARÍA A UN ABSURD. Tareas : 8 EJERCICIS FINALES DEL TEMA 10 Estudia la monotonía y halla los etremos relativos de la siguientes funciones: 1 b) f e Hemos de calcular la f, ver donde se anúla y luego calcular f para estudiar su signo en los puntos donde se anulaba la primera: Para derivar, hemos de aplicar la derivada del cociente. f 1 1 e 1 e e 1 1 e e Podemos anular mutuamente un e del numerador y del denominador e e Como se trata de un cociente, este será cero cuando el numerador sea cero: 11 Pero un producto es igual a cero, si alguno de los multplicando es cero Tenemos la siguiente tabla para estudiar la monotonía: intervalo,1 1 1, 1 1 1, signo f 0 monotonía decreciente mínimo creciente máimo decreciente Tomamos,1 f 11 e 4

5 1 3 e 0 Tomamos 1, 1 f Tomamos 1, f 3 1 e 0 Vamos a calcular f e 0 11 e e 1 1 e e e e Podemos anular mutuamente un e del numerador y del denominador. 1 e 1 e Hemos de evaluar esta derivada en los puntos donde se hacia cero la primera: f f tiene un mínimo relativo en 1 e 1 e 1 e 1 f e 1 e e 0 f tiene un máimo relativo en 1 Tareas : apartados a,c,d,e,f,g,h del ejercicio 1. Tareas : 1 13 Para cada h se considera la función f 3 3 h a) Hallas los valores en los que f alcanza sus valores máimos y mínimos. Primero calculamos f Hacemos cero esta epresión: Como es un producto, será cero si alguno de los multiplicandos es cero Calculamos f 1 6 Evaluamos esta epresión en los ceros de la primera derivada. f f tiene un mínimo relativo en f f tiene un máimo relativo en 1 b) Encuentra h para que el valor de f en el mínimo local hallado antes sea 0. Hemos de hallar f h h Será h 0 Tareas : 17 0 Halla las dimensiones de un ventana rectangular de 6 metros de perímetro para que tenga la máima superficie posible y, así, produzca la máima luminosidad. Tenemos el dibujo siguiente: 5

6 Las condiciones son: 6 metros de perímetro y y 6 y 6 y 3 la máima superficie posible La superficie del rectángulo S, y y Hemos de convertir ésta última función en una función de una sola variable. Tenemos que y 3 y 3 Sustituimos este valor de y en la epresión de S : S, y 3 Ahora ya tenemos una única variable y hemos de estudiar los etremos relativos de esta función. S 3 Vamos a encontrar los valores de donde la primera derivada es cero. S 3 Hacemos Calculamos S que es negativa para cualquier valor de la. En particular será S 3 0 S tiene un máimo relativo en 3 La solución al problema es que el ancho es 3 m y el largo es m. La ventana resulta ser un cuadrado de lado 3 m. Tareas :1,,3 4 Nos dicen que la función ft t es la derivada de la inflación en función del tiempo en cierto país, cuando 0 t 5. a) Determina el valor de t para el que la inflación alcanza el valor mínimo. Cuál es el valor mínimo? Resulta que si llamamos It a la función de la inflación en función del tiempo, es It ft. Por lo tanto, hemos de hacer It ft 0 para hallar el valor de t donde se alcanza el etremo relativo. t 0 t Ahora hemos de evaluar I. Nos hace falta It ft 1 0 independientemente del valor que tome t. Por lo tanto I 0 I presenta un mínimo relativo en t. Dado que la primera derivada de la función inflación es una polinomio de grado uno, la función inflación es un polinomio de grado dos que tiene por representación una parábola. Hemos visto que en el vértice de dicha parábola se alcanza un mínimo, por lo tanto es una parábola con las ramas hacia arriba. It at bt c donde a, b y c son números reales. Vamos a derivar esta epresión: It at b Pero sabemos que It ft t Dos polinomios de grado uno son iguales si sus coeficientes respectivos son iguales: 6

7 b a 1 b a 1 Por ahora es It 1 t t c no tiene ningún otro dato para poder calcular la c. Por lo tanto I 1 c c b) Determina cuándo es máima la inflación. Sabemos por la epresión de I, que se trata de una parábola con las ramas hacia arriba y su vértice está en t, que está mas cerca del etremos superior del intervalo 0, 5 dentro del cual estamos estudiando la función. Como la parábola es simétrica con respecto al eje vertical de ecuación t, la máima inflación se alcanzará en t 5 I c c 5 Tareas : 9,8 33 Estudia la curvatura y hallas los puntos de infleión de las siguientes funciones. f) f ln Hemos de calcular la segunda derivada para hallar los ceros y a partir de esto, estudiar su signo. Aplicaremos la derivada de un cociente. 1 f ln 1 ln 1 ln De nuevo, aplicaremos la derivada de un cociente. f ln ln ln 3 ln 3 ln Como se trata de un cociente, será cero cuando el numerador se anule. 3 ln Como se trata de un producto, será cero cuando uno de los multiplicandos sea cero. 3 ln ln 3 ln 3 e 3 Recordamos que el Domf 0, por lo tanto tenemos la siguiente tabla para estudiar la curvatura: intervalo 0, e 3 e 3 e 3, signo f curvatura cóncava hacia abajo punto de infleión cóncava hacia arriba 3 ln Por otro lado, f por lo que teniendo en cuenta que los valores de sólo pueden ser 4 positivos, es signo f signo 3 ln Tomamos 1 0, e 3 3 ln la gráfica de la curva está por debajo de la tangente. Es decir, la gráfica es cóncava hacia abajo. Tomamos 5 e 3, 3 ln la gráfica de la curva está por encima de la tangente. Es decir, la gráfica es cóncava hacia arriba 3 e 3 e Gráficamente sería 7

8 y Acercándonos y Tareas : del ejercicio 33 los apartados a,b,c,d,e,g,h,i 36 a) Halla los puntos de infleión de f 1 Hemos de estudiar los ceros de la segunda derivada. Aplicaremos la derivada de un cociente. f f Como la segunda derivada es un cociente, será nula cuando el numerador sea cero. 3 Como se trata de un producto, este es cero si alguno de los multiplicandos es cero. 8

9 Tenemos puntos de infleión en los valores de, 3 b) Halla la recta tangente a la curva en su punto de infleión de abscisa positiva. Hemos de hallar la tangente a la curva en la abscisa 3 Esta recta viene dada por la ecuación y f 3 f 3 3 Tenemos que: 3 f f Finalmente la ecuación queda y Gráficamente la situación es: y Se observa que la recta tangente en el punto de infleión 3, corta a la gráfica de f. Tareas : 34,35,37,39 38 Demuestra que la curva de ecuación y no tiene ningún punto de infleión. Hemos de encontrar los puntos donde se anula la segunda derivada de la función f f f Como se trata de un producto, será cero si Ecuación de º grado completa con a 6 b 3 c 1 b b 4ac a Pero esto no tiene solución real, por lo tanto la segunda derivada no se anula y no tenemos puntos de infleión. Podemos concluir que la segunda derivada se representa como una parábola que no corta al eje X en ningún punto, con sus ramas hacia arriba dado que el coeficiente de es positivo. Es decir, f para cualquier valor de. Así la función es cóncava hacia arriba siempre. Por lo tanto, tiene sentido que 9

10 carezca de puntos de infleión. Gráficamente sería: y Tareas : Cuántas veces corta al eje horizontal la gráfica de f 4 3 5? Hemos de resolver la ecuación polinómica Por el Teorema fundamental del álgebra, esto puede tener hasta cuatro ceros, pero a nosotros sólo nos interesa que sean soluciones reales. En principio, la función de continua y derivable en todo R. Por otro lado, por el Teorema de Bolzano, si la función es continua en un intervalo cerrado tomando valores opuestos en los etremos del intervalo cerrado entonces eiste un punto del interior del intervalo cerrado, donde la función se anula. Vamos a buscar por tanteo, valores que anulan la función: f f f Entonces estamos en condiciones de aplicar el Teorema de Bolzano en dos intervalos cerrados;, 0 y 0, 1 En el intervalo cerrado, 0 la función es continua y cumple que signof signof0. Entonces hay al menos un c, 0 tal que fc 0. En el intervalo cerrado 0, 1 la función es continua y cumple que signof1 signof0. Entonces hay al menos un d, 0 tal que fd 0. Es decir, por ahora hay dos seguros, habrá más hasta cuatro? Tenemos que aplicar alguno de los teoremas sobre funciones derivables. Claramente, no se puede aplicar el Teorema de Rolle pues la función no toma los mismos valores sobre los etremos del intervalo. Habrá de ser el Teorema del valor medio. En el intervalo cerrado, 0 la función es continua y derivable en su interior, entonces eiste f0 f algún e, 0 tal que fc Esto nos está diciendo que la función es decreciente en este intervalo, 0. Recapitulemos, la función decreciente toma valores de distinto signo en los etremos del intervalo siendo positiva en el etremo de la izquierda y negativa en el etremo de la derecha. Necesariamente, SÓL puede tener un punto de corte en el intervalo, 0. En el intervalo cerrado 0, 1 la función es continua y derivable en su interior, entonces eiste algún f1 f0 s, 0 tal que fs Esto nos está diciendo que la función es creciente en este intervalo 0, 1. Recapitulemos, la 10

11 función creciente toma valores de distinto signo en los etremos del intervalo siendo negativa en el etremo de la izquierda y positiva en el etremo de la derecha. Necesariamente, SÓL puede tener un punto de corte en el intervalo 0, 1. Es decir, sabemos que en el intervalo cerrado, 1 hay dos, sólo dos, puntos de corte de la gráfica de la función con eje horizontal. Pero claro, esto es muy poco comparado con todo R. Podría darse el caso de que en lo que me falta por comprobar, estén los otros dos posibles puntos de corte. Calculemos algunos valores de la función a la izquierda y a la derecha: f f Nos dice que cuanto más nos alejemos, más altura tendremos: hay que acordarse de la función tiene un 4 que acaba mandando. Tareas : 44,45,46, 48,49,50 47 Un equipo de trabajadores debe cosechar un campo de manzanos a partir del 1 de octubre y únicamente puede trabajar durante un día. Si se hace la cosecha el 1 de octubre, se recogerán 60 toneladas y el precio será de 000 euros/tonelada. Sabemos que a partir de ese día, la cantidad que se podría recoger aumentará en una tonelada cada día, pero el precio de la tonelada disminuirá en 0 euros/día. a) Determina la fórmula que epresa los ingresos que se obtienen en función del número de días que se dejan pasar a partir del 1 de octubre para hacer la cosecha. Llamamos al número de días que se dejan pasar a partir del 1 de octubre para hacer la cosecha. Datos relevantes a tener en cuenta para los ingresos: cosecha el 1 de octubre, se recogerán 60 toneladas y el precio será de 000 euros/tonelada a partir de ese día, la cantidad que se podría recoger aumentará en una tonelada cada día, pero el precio de la tonelada disminuirá en 0 euros/día. La función ingresos será I Esto es una parábola con las ramas hacia abajo. b) Halla cuántos días deben pasar para que los ingresos de la cosecha sean màimos. Calculamos f Hacemos f Calculamos f 40 0 para cualquier valor de. En particular, f en un entorno de 0 la función es cóncava con las ramas hacia abajo, lo que nos dice que en 0 tenemos un máimo. Los ingresos máimos se consiguen pasados veinte días del 1 de octubre; es decir, el 1 de octubre. c) Indica cuál es el valor máimo de los ingresos por la cosecha. Sólo hay que calcular f Los ingresos máimos son euros. d) Halla cuántos días deben pasar ahora para que los ingresos por la cosecha sean los mismos que si se hiciese el día 1 de octubre. Lo primero es calcular dichos ingresos, que son: Esto es lo mismo que f Hay que hallar el valor de que cumple que f Recordamos que un producto es igual a cero si alguno de sus multiplicandos es cero: Pasados 40 días desde el 1 de octubre se obtienen los mismos beneficios que el 1 de octubre; es decir, 9 de noviembre. Tareas : 51,5,54,56 53 Una fábrica de automóviles ha realizado un estudio sobre sus beneficios/pérdidas en miles de euros a lo largo de los últimos 10 años y ha comprobado que se ajustan a la función 11

12 Ft t 3 18t 81t 3, 0 t 10 Se pide, justificando la respuesta: a) En qué años se producen los valores máimos y mínimos de dicha función? Calculamos Ft 3t 36t 81 Hacemos Ft 0 0 3t 36t 81, Solution is: 9, 3 Se trata de una ecuación de º grado completa con c 3 b 36 c 81 que se resuelva mediante la fórmula b b 4ac. a Calculamos Ft 6t 36 para evaluarla en los puntos donde la primera se anula: F F tiene en un entorno de 3 una concavidad con las ramas hacia abajo. Si unimos esto al hecho de que se anulaba la primera derivada, es que F tiene un máimo en 3 F F tiene en un entorno de 9 una concavidad con las ramas hacia arriba. Si unimos esto al hecho de que se anulaba la primera derivada, es que F tiene un mínimo en 9 b) Determinar sus períodos de crecimiento y decrecimiento. Tenemos la siguiente tabla: intervalo 0, 3 3 3, 9 9 9, 10 signo F - 0 monotonia/etremo creciente decreciente creciente 1 0, 3 F , 9 F , 10 F c) Cuáles son sus beneficios máimos? Se alcanzarán en 3 F Sus beneficios máimos son 105 mil euros. d) Qué resultados obtuvo la empresa en el último año del estudio? F Se obtuvieron 7 mil euros. 1