Calcula la tangente de las siguientes curvas en los puntos dados: Calcula la derivada de las siguientes funciones: e) f (x) = x x.

Transcripción

1 Derivadas Definición Reglas de derivación jercicio Calcula la tangente de las siguientes curvas en los puntos dados: a) y = en el origen + b) y = cos() en ( c) y = + en (3, 0) π, 0) d) y = en (, ) Solución a) y () = = y (0) = con lo que la recta tangente en el origen es y = ( +) b) y () = sen() = y ( ) π = y la recta tangente que se pide es y = ( π ) c) y () = = y (3) = 6 y la recta tangente es y = 0 + 6( 3) d) y () = en R + y, por tanto, y () =, y la recta tangente que se pide es y = jercicio Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) y = sen( + 3) b) y = cos () c) y = cos() Solución a) y () = cos( + 3) b) y () = sen() cos() c) y () = sen() cos () d) y () = sen() e) y () = cos () ( ) 3 (+) f) y () = 3 ( + ) /3 d) y = sec() e) y = + f) y = 3 + jercicio 3 Calcula la derivada de las siguientes funciones: ( ) 5 a) f () = 5 5 b) f () = cos(cos(cos())) c) f () = e log() Solución 3 d) f () = e) f () = f) f () =

2 ( a) f () = 5 5 ) ( /5 + 6/5) b) f () = sen(cos(cos())) sen(cos()) sen() c) f () = 3 e log() + e log() + 3 e d) f () = ( log() + ) e) f () = f) f () = ( log() + jercicio Comprueba que la función f : R R, {, si < 0, f () = 3, si 0 es continua pero no es derivable en el origen ) Solución s inmediato comprobar que la función es continua y que f () = 0 = f () jercicio 5 Calcula los puntos donde la recta tangente a la curva y = es paralela al eje OX Solución 5 Buscamos dónde se anula la derivada: f () = 6 6 = 0 = 0 = ± + 8 =, jercicio 6 Sea f : ] π, π [ R definida por: f () = log ( sen()) log(cos()) sen() si 0 y f (0) = a studia para qué valor de a la función f es continua en cero Solución 6 Calculamos el límite de f en el cero aplicando la regla de L Hôpital y nos queda 0 cos() sen() + sen() cos() cos() Por tanto, f es continua en cero si, y sólo si, a = =, jercicio 7 studia la continuidad y derivabilidad de la función f : R R definida por arctan ( ep ( )), si < 0 f () = +, si 0 + log(), si < Calcula la imagen de la función Solución 7 La función f es continua y derivable en R \ {0, } Para estudiar la continuidad y derivabilidad en 0 y, utilizamos límites laterales:

3 ( ( )) f () = arctan ep 0 0 = arctan(0) = 0, y f () = = 0 Por tanto, f es continua en cero Veamos en : f () = + =, f () = + log() = + + n consecuencia, f es continua en toda la recta real La derivada, salvo en 0 y, vale f () = Las derivadas laterales en 0 son ( ep ) 3 ( ( )), si < 0, + ep, ( +) si 0 < <, log(), si < f ep ( ) () = ep (( )) = 0, y f () = ( + ) =, que no coinciden y, por tanto, f no es derivable en 0 n, f () = ( + ) = 0, y f log() () = + + = Por tanto f es derivable en R \ {0, } Para terminar el problema vamos a calcular la imagen de f Como f (R) = f (], 0]) f ([0, ]) f ([, + [), calculamos la imagen de cada una de estos tres intervalos por separado a) n R, f () < 0 y, por tanto, f (], 0]) = [ f (0), f ()[= [ 0, π [ b) n ]0, [, la derivada es positiva: f ([0, ]) = [ f (0), f ()] = [0, ] c) Por último, en [, + [, f () = 0 = e valuando la derivada, es muy sencillo comprobar que f es creciente en [, e] y decreciente en [e, + [ Por tanto, ] ] f ([, + [) = [ f (), f (e)] f (), f (e) + y 3

4 Uniendo todos los resultados anteriores, la imagen de f es f (R) = [ 0, + e ] Teorema del valor medio jercicio 8 Prueba que arcsen() + arccos() = π para todo [, ] Solución 8 Sea f : [, ] R, f () = arcsen() + arccos() Como f es derivable en ], [ y además f () = 0, ], [ tenemos que f es constante en el intervalo ], [ Si evaluamos la función en el cero, obtenemos f () = π, para todo ], [ Utilizando la continuidad de f en todo [, ], se deduce que f () = π en el intervalo cerrado jercicio 9 Demuestra que para cualquier positivo + < arctan() < Solución 9 ste ejercicio se puede hacer de varias formas Vamos a hacerlo de dos maneras n primer lugar aplicaremos directamente el teorema del valor medio y acotaremos la derivada Para la segunda manera, demostraremos cada una de las desigualdades por separado a) Sea un número positivo fijo y consideremos la función f : [0, ] R definida como f (t) = arctan(t) l teorema del valor medio nos dice que eiste c [0, ] verificando que f () f (0) = f (c)( 0), o sea, arctan() = Ahora acotemos +c Por tanto, 0 c 0 c + c c + < arctan() = + c < b) Vamos a comprobar cada desigualdad por separado i) Para demostrar que < arctan() para cualquier > 0, vamos a estudiar la función + f : R + R definida como f () = arctan() sta función es derivable y + f () = + + ( + ) = ( + ) > 0, y, por tanto, f es estrictamente creciente n particular f () > 0 f () = 0 ii) Similar al apartado anterior, pero estudia la función f () = arctan() jercicio 0 Calcula el número de soluciones de la ecuación + e = Solución 0 Para determinar el número de soluciones de la ecuación que nos plantean, vamos a determinar el número de ceros de la función

5 f () = + e, R Se trata de una función derivable en todo R por ser suma de funciones derivables, por lo que vamos a calcular su derivada: f () = e Observamos que la derivada únicamente se anula en un punto ( e = 0 = e = 0) Utilizando entonces el Teorema de Rolle, si f sólo tiene un cero, la función f puede tener, como mucho, dos ceros (si tuviera tres ceros, la derivada se tendría que anular en dos puntos, y ése no es el caso) Vamos a comprobar si efectivamente tiene dos ceros l punto = 0 es el único punto crítico que tiene f Calculamos la derivada segunda en dicho punto para decidir si es máimo o mínimo relativo: f () = e = f (0) = > 0 Por tanto, en cero la función f alcanza un mínimo relativo, y por tratarse de el único punto de etremo que hemos encontrado, es también su mínimo absoluto Además, como el comportamiento de f en los etremos de R es de divergencia a + y f (0) = < 0, concluimos, aplicando ahora el Teorema de Bolzano que: eiste un punto < 0 donde f ( ) = 0 y, eiste otro punto > 0 donde f ( ) = 0 Por tanto, la función f admite dos ceros y, en consecuencia, la ecuación planteada admite dos soluciones reales jercicio Calcula el número de ceros y la imagen de la función f : R R definida por f () = Solución Consideramos la función f : R R, f () = Calculamos los puntos críticos de la función: f () = = 6( ) = 0 =, 0, Además tenemos que en y en hay dos ceros de f ( f ( ) = f () = 0) Si hubiera algún cero más, por el teorema de Rolle habría más de tres puntos críticos de la función Por tanto, la función f tiene solamente dos ceros jercicio Sea f : R \ { } R la función definida como ( ) f () = arctan + arctan() + Calcula su imagen Solución La función a la que tenemos que calcularle la imagen es una función continua Si estuviera definida en un intervalo el teorema del valor intermedio nos diría que su imagen es un intervalo; sin embargo R \ { } no es un intervalo Sí es cierto que está formado por dos intervalos, ], [ y ], + [, así que la imagen de la función, restringida a cada uno de los intervalos ], [ y ], + [ tiene que ser un intervalo Por otra parte la función, en cada uno de los dos intervalos anteriores, es derivable así que para calcular la imagen vamos a estudiar la derivada sto sabemos que nos da información sobre crecimiento, etremos relativos, etc 5

6 f () = = (+) ( ) (+) + ( + ) = 0 + = ( + ) + ( ) + + y la función es constante (en cada uno de los intervalos donde está definida) Para conocer las dos constantes basta entonces con evaluar en un punto de cada uno de los intervalos n el intervalo ], + [ no hay ningún problema ya que fácilmente f (0) = arctan() + arctan(0) = π + 0 = π n el otro intervalo no parece tan fácil ya que no se ve un número en ], [ en el que sea fácil evaluar la función n este caso lo que podemos hacer es calcular el límite de la función, o bien en o bien en por la izquierda Por ejemplo en tenemos ( ) f () = arctan + arctan() = arctan( ) π + = π π = 3π Así que la imagen es el conjunto { 3π, π } jercicio 3 Sea f : R R la función definida por f () = a 3 + b + c + d a) ncuentra las condiciones que deben verificar los parámetros para que f alcance un máimo y un mínimo relativo b) Si se verifica el enunciado anterior, demuestra que en el punto medio del segmento que une los puntos donde se alcanzan el máimo y el mínimo relativo se alcanza un punto de infleión Solución 3 a) La derivada de la función f es f () = 3a + b + c Dicha derivada se anula en dos puntos si, y sólo si, b ac > 0 y, efectivamente, estamos ante un polinomio de segundo grado, esto es, a 0 b) Olvidemos por un momento el enunciado concreto del problema y pensemos lo que tenemos y lo que queremos demostrar La derivada de f es un polinomio de grado dos (una parábola); el máimo y el mínimo relativos de f se alcanzan en los puntos de corte de la parábola con el eje OX, esto es, en los puntos que anulan a la derivada y queremos demostrar que en el punto medio la segunda derivada de f vale cero Para simplificar (esperemos) la notación, sean α y β los puntos donde se alcanza dichos etremos ntonces f () = k( α)( β) para conveniente constante k 0 Para terminar es suficiente con calcular la segunda derivada en el punto medio: ( α + β ) f () = k ( (α + β)) = f = 0 jercicio Calcula la imagen de la función f : R R definida por f () = e ( 3) Solución La función f es continua y derivable en toda la recta real Para estudiar su monotonía, calculamos la derivada y vemos cuándo se anula 6

7 f () = e ( 3 ) e = e ( ) = 0 = 0, ± Por tanto, f es estrictamente monótona en los intervalos ], ], [, 0], [0, ], [, + [ Para averiguar qué tipo de monotonía tenemos podemos evaluar la derivada en un punto de cada uno de dichos intervalos De modo que su imagen es intervalo signo de f () monotonía de f ], 0 ] -5 + estrictamente creciente [-,0] - - estrictamente decreciente [0,] + estrictamente creciente [, + [ 5 - estrictamente decreciente f (R) = f (], ]) f ([, 0]) f ([0, ]) f (], + [) ] ] ] ] = f (), f ( ) [ f (0), f ( )] [ f (0), f ()] f (), f () + = ] 0, e ] [ 3, e ] = [ 3, e ] usando que ± f () = 0, que f (0) = 3 y que f () = f ( ) = e Observación: Podíamos habernos ahorrado algunos cálculos utilizando que la función f es par y, por tanto, f (R) = f (R + 0 ) jercicio 5 Sea f : R \ {} R definida por f () = arctan ( + ) a) studia la continuidad de f y los límites en y + b) Calcula la imagen de f Solución 5 La función es derivable por ser composición de funciones derivables Vamos a calcular los límites en ± : f () = f () = arctan( ) = π + Para calcular su imagen en primer lugar estudiamos la monotonía Como la función arcotangente es creciente, sólo tenemos que fijarnos en + y ( ) + = > 0, R \ {} ( ) sto nos dice que f es estrictamente creciente si estamos en un intervalo n otras palabras, f es estrictamente creciente en ], [ y en ], + [ Su imagen será ] f (R \ {}) = f (], [) f (], + [) = π, π [ ] π [ ], π = π, π [ { π \ } 7

8 jercicio 6 Calcula la imagen de f : R + R, f () = / Solución 6 sta función es continua y derivable en todo R + Calculamos su derivada: f () = / / log() = / ( log()) Por tanto f () = 0 = e n este punto se tiene un punto de máimo relativo (la función pasa de creciente en el intervalo ]0, e[ a ser decreciente en ]e, + [) Calculando los límites en los etremos del dominio ( 0 f () = 0, + f () = ) se deduce que como f (e) = e /e >, la imagen de la función es f (R + ) =]0, e /e ] jercicio 7 Sean a, b, c R con a < 3b Demuestra que la ecuación 3 + a + b + c = 0 tiene una solución real única Solución 7 Definimos la función f : R R, f () = 3 + a + b + c Se trata de una función polinómica de grado impar luego, por el teorema de Bolzano, sabemos que al menos se anula en un punto de la recta real studiamos la derivada para deducir la unicidad de la solución de la ecuación f () = 0 utilizando el teorema de Rolle f () = 3 + a + b = 0 = a ± a b 6 Teniendo en cuenta que a < 3b = a b < 0; se tiene que la derivada no se anula en ningún punto real, por lo que la solución de la ecuación f () = 0 que teníamos es única ya que la función es estrictamente creciente 3 Reglas de L Hôpital jercicio 8 Calcula los siguientes límites: a) sen(3) b) 0 π c) π/ cos() cos() d) 0 Solución 8 a) Usando la regla de L Hôpital +5 = + 5 = 6 = = 6 b) Aplicamos las reglas de L Hôpital 0 3 cos(3) = 3 = 0 sen(3) = 3 c) Usamos las reglas de L Hôpital π d) Aplicamos la regla de L Hôpital dos veces: sen() = = π cos() sen() 0 = = 0 0 cos() = π cos() = 8

9 jercicio 9 Calcula los siguientes límites cos() + 3 a) 0 e + e cos() b) 0 sen() c) + log(log()) log() Solución 9 a) Aplicamos la primera regla de L Hôpital: sen() + 3 = 3 0 cos() + 3 = = 3 0 b) Sabemos que 0 sen() =, por tanto e + e cos() e + e cos() = 0 sen() 0 (aplicamos la regla de L Hôpital) c) Usamos la segunda regla de L Hôpital: jercicio 0 + a) 0 + (cos() + sen(3)) ( cos()) sen() b) 0 3 cos ( π ) Solución 0 e e + sen() = (regla de L Hôpital de nuevo) 0 e + e + cos() = = 0 / log() / = + log() = 0 = log(log()) = 0 + log() Calcula los límites de las siguientes funciones en el punto indicado: + sen() c) + cos() ( d) tan ( π a) Utilizamos la regla del número e y estudiamos el siguiente límite cos() + sen(3) = )) tan( π ) sta indeterminación la resolvemos utilizando la primera regla de L Hôpital: con lo que 0 + (cos() + sen(3)) = e 6 sen() + 6 cos(3) = 6, 0 + b) Usando que 0 sen() = y que 0 cos ( π ) =, se tiene que 9

10 ( cos()) sen() 0 3 cos ( = π ) 0 ( cos()) 3 ( cos()) = 0 sen() cos ( π ) ste último límite se resuelve aplicando la primera regla de L Hôpital y se tiene que ( cos()) sen() 0 3 cos ( π ) = +cos() c) Si aplicamos la regla de L Hôpital, llegamos al límite + sen() que no eiste y, por tanto, no podemos decir nada sobre el límite original n cambio, dividiendo numerador y denominador por se resuelve fácilmente: usando que sen() + sen() cos() = + sen() cos() = cos() = 0 d) stamos ante una indeterminación del tipo Por tanto ( tan ( π )) tan( π ) = e L tan =, ( π ) ( tan ( π ) ) = L Calculemos el límite de la derecha: ( ) ( π ) ( ( π ) ) tan sen π tan = cos ( ) sen ( ) ( ) π cos π π cos ( ) π ( ) sen π = cos ( ) sen ( ) ( ) π cos π π cos ( ) π y, como sen ( π ) = y cos ( ) π =, = sen ) ( ) cos π cos ( ) π Para resolver este último límite aplicamos la primera regla de L Hôpital: π cos ( ) π + π sen ( ) π π sen ( ) =, π y por tanto ( π tan ) ( tan ( π ) ) = ( π ( = = tan ( π )) tan( π ) = e 0

11 jercicio studia el comportamiento de la función f : A R en el punto α en cada uno de los siguientes casos: a) A =], + [, f () = +, α = b) A = R + \ {}, f () = c) A =], + [, f () = Solución log(), α = log(), α = a) Aplicando la primera regla de L Hôpital tenemos + ( + ) = ( ) simplificando el factor Por tanto f () = b) Como f () = log() = log() ( ) log() log() + = ( + ) + = =, si aplicamos L Hôpital nos queda log()+ = = log() + Volviendo a aplicar L Hôpital, log()+ = Por tanto, f () = c) Aplicamos L Hôpital y nos queda (+log()) / = 0 Por tanto f () = 0 jercicio studia el comportamiento en + de las funciones f, g: R + R dadas por a) f () = log( + 3e ), + 3 b) g() = (a + ) /, donde a R + Solución a) Para estudiar el límite de f en + aplicamos la segunda regla de L Hôpital: + 3 e + 3e = 3 3 Por tanto el límite de f es 3 3

12 b) Vamos a calcular ahora el límite en + de la función g Para ello, aplicamos logaritmos y estudiamos la función h() = log(a +) Discutimos en función del parámetro a: i) Si a =, entonces h() = log(+), y aplicando L Hôpital tenemos h() = 0 + ii) Si a >, utilizando la regla de L Hôpital tenemos: g() = + a log(a) + log(a) + /a + a = /a = log(a) Por tanto, en este caso + g() = e log(a) = a iii) n el caso en que a <, repetimos los cálculos del caso anterior, pero teniendo en cuenta que + a = 0 y por tanto + h() = 0 = + g() = e 0 = studia el comportamiento en el punto cero de la función f : A R en los siguien- jercicio 3 tes casos: a) A = R +, f () = cos(), π c) A =]0, [, f () = ( ) cos() + b) A =]0, π [, f () = (sen() + cos())/ Solución 3 a) Aplicamos L Hôpital y obtenemos sen() = sen() = b) Teniendo en cuenta la regla del número e, 0 f () = e L 0 sen()+cos() = L Por tanto, y aplicando L Hôpital a la última epresión, c) Razonando igual que en el caso anterior Luego 0 f () = e 0 = (cos() sen()) = = f () = e 0 0 sen() + sen() = = + = 0 jercicio Solución ( ) 3 sin() 3 cos() Calcula 0 3 Calculamos a qué tiende la base aplicando la primera regla de L Hôpital: 3 cos() 3 cos() + 3 sin() sen() 0 3 = = 0 Dado que tenemos una indeterminación del tipo, se tiene que

13 0 ( 3 sin() 3 cos() 3 ) ( ) = e L 3 sin() 3 cos() 0 3 = L ntonces, ( ) 3 sin() 3 cos() 3 sin() 3 cos() = 0 aplicando la a regla de L Hôpital aplicamos la primera regla de L Hôpital de nuevo una última vez ( ) 3 sin() 3 cos() con lo que = e 0 = 0 Optimización 3 = 0 3 sin() 3 = 0 3 cos() sin() = = jercicio 5 Dibuja las gráficas de las siguientes funciones indicando los máimos, mínimos y puntos de infleión a) y = 6 b) y = 3 3 c) y = ( ) 3 Solución 5 a) La función alcanza su máimo absoluto en = y no tiene puntos de infleión b) La función alcanza su mínimo en = y puntos de infleión en = 0 y = /36 c) No tiene etremos y tiene un punto de infleión en = jercicio 6 ncuentra dos números positivos cuya suma sea 0 y su producto sea máimo Solución 6 Sean e y dichos números ntonces + y = 0 Como y = 0, tenemos que buscar el máimo de la función f () = (0 ) Derivamos y calculamos sus puntos críticos: f () = 0 = 0 = 0 Puesto que f () =, la función tiene su máimo en = 0 y los dos números que estábamos buscando son 0 y 0 3

14 jercicio 7 Calcula las dimensiones del rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un semicírculo de radio r Solución 7 (, y) Salvo multiplicar por, podemos trabajar en el primer cuadrante Tenemos que maimizar la función f : [0, r] R definida como f () = r Los puntos críticos son f () = r r = 0 r = 0 0 = r s inmediato comprobar que en dicho punto la función alcanza el máimo jercicio 8 Calcula las dimensiones del trapecio con mayor área que puede inscribirse en una semicircunferencia de radio Solución 8 (, y) 0 Vamos a escribir el área que queremos que sea máima como una función de una variable Hay varias posibilidades de hacerlo aunque el resultado, evidentemente, tiene que ser el mismo l área del trapecio será la media aritmética de la base mayor M y la base menor m multiplicado por la altura h; A = M+m h Si llamamos (, y) al vértice del trapecio que se aprecia en el dibujo tendremos que A = + y = ( + )y Si no se recuerda el área del trapecio siempre puede hacerse sumando el área del rectángulo central y los dos triángulos simétricos que quedan a los lados sta función anterior depende de dos variables pero es claro que el punto (, y) está en la circunferencia de radio y por tanto + y = de donde y = con lo que la función a considerar es f : [0, ] R definida por f () = ( + ) sta función es continua en el intervalo de definición y por tanto alcanza máimo y mínimo absoluto Además es claro que el mínimo se alcanza cuando =, que el área vale 0 Para calcular el máimo vamos a calcular los puntos críticos (obsérvese que la función no es derivable en 0) f () = ( ) + ( + ) =, [0, [ Y f () = 0 + = 0 = o = videntemente el valor que nos interesa es = Además si 0 < < / se tiene que f () > 0 y si / < f () < 0 con lo que f alcanza máimo (relativo y absoluto) en = / (entonces la altura será y = 3 ) y el área máima es f (/) = 3 3 jercicio 9 Cuál es la longitud mínima del segmento que tiene un etremo en el eje, otro etremo en el eje y, y pasa por el punto (8, )?

15 Solución 9 Consideramos el triángulo rectángulo formado por una recta que pase por (8, ) y corte a los ejes OX y OY, y llamamos α al ángulo que forma la hipotenusa con el eje OX Haciendo uso de las funciones coseno y seno tenemos que: sen(α) = h = h = cos(α) = 8 h = h = sen(α) 8 cos(α) h α A = (8, ) h α La función que queremos optimizar es f (α) = h + h = Vamos a calcular los puntos críticos de la función f : sen(α) + 8 cos(α) f (α) = cos(α) sen (α) + 8 sen(α) cos (α) = 8 sen3 (α) cos 3 (α) sen (α) cos (α), con α ]0, π/[ y esta función se anula siempre y cuando 8 sen 3 (α) cos 3 (α) = 0, es decir 8 sen 3 (α) = cos 3 (α) De aquí deducimos que tan 3 (α) = 8 tan(α) = ( ) α = arctan Por la monotonía creciente de la función tangente podemos deducir que la derivada f (α) < 0 cuando 0 < α < arctan( /), y f (α) > 0 cuando arctan( /) < α < π Por tanto, en el punto arctan( /) tenemos que la función alcanza un mínimo relativo que, por ser el único punto crítico es también el mínimo absoluto ntonces, el segmento de longitud mínima que nos piden es: f (arctan( ) 5 ) = = 5 5, donde hemos utilizado que cos(α) = sen(α) = ( + tan (α) = cos arctan( ) ) = 5 ( tan(α) + tan (α) = sen arctan( ) ) = 5 5

16 jercicio 30 Demuestra que la suma de un número positivo y su recíproco es al menos Solución 30 Tenemos que demostrar que la función f : R + R definida como f () = + verifica que f (), para tod R + Calculemos su imagen f es una función derivable y f () = = Por tanto f () = 0 si, y sólo si, = Como 0 f () = + f () = +, f alcanza su mínimo absoluto en =, o lo que es lo mismo f () f () =, R + como queríamos demostrar jercicio 3 Calcula las dimensiones de la cruz simétrica respecto de los ejes y con área máima que se puede inscribir en una circunferencia de radio Solución 3 Utilizando la simetría de la cruz respecto de los ejes y llamando (, y) al vértice de la cruz que se apoya sobre ella, la función área sería cuatro veces la que escribimos a continuación: y + (y ) y, considerando que (, y) está en la circunferencia de centro (0, 0) y radio, se tiene que + y = Por tanto, la función que vamos a maimizar es: f () = + ( ) =, [0, ] Se trata de una función continua en [0, ] y derivable en ]0, [ stá claro que el máimo no lo puede alcanzar en los etremos ( f (0) = 0, f () = ); por tanto, lo vamos a encontrar en el intervalo abierto ]0, [ sin más que encontrar los puntos críticos de f Calculamos la derivada de f y la igualamos a cero: f () = Por tanto, la derivada de f se anula siempre y cuando se verifique: = = = 0 = = ó = valuando la función f en ambos puntos críticos, obtenemos que las dimensiones de la cruz así construida de área máima son: = e y = 0 0 jercicio 3 Se inscribe un rectángulo en la elipse ejes Halla las dimensiones del rectángulo para que 00 + y 5 = con sus lados paralelos a los a) el área sea máima, b) el perímetro sea máimo Solución 3 6

17 n cualquiera de los dos casos, la simetría nos permite trabajar en el primer cuadrante n ambos casos usaremos que, utilizando la notación de la figura, 00 + y 5 5 = = y = 00 0 a) l área que queremos maimizar es y, por tanto vamos a estudiar la función f : [0, 0] R, f () = Si derivamos, f () = = 0 00 = = 00 y 0 Como f es una función continua definida en un intervalo cerrado y acotado, f alcanza su máimo y mínimo absolutos Los posibles candidatos son 0, 0 y 00 s suficiente con comprobar que f ( 00) > f (0), f (0) para asegurar que el máimo se alcanza en 00 b) l perímetro es ( + y) La función a maimizar es f : [0, 0] R definida como f () = , o sea, + y Veamos cuándo se anula la derivada f () = = 0 = Como f es una función continua definida en un intervalo cerrado y acotado, f alcanza su 00 máimo y mínimo absolutos Los posibles candidatos son 0, 0 y s suficiente con ( ) comprobar que f 00 > f (0), f (0) para asegurar que el máimo se alcanza en jercicio 33 Calcula el punto (a, b) de la parábola y = 3 de forma que el triángulo determinado por la recta tangente a la parábola en dicho punto y los ejes de coordenadas tenga área mínima Solución 33 Para poder calcular el triángulo de área mínima que genera la tangente a la parábola y = 3 y los ejes tenemos que, en primer lugar, calcular la recta tangente en un punto a que, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que es positivo La recta tangente que pasa por el punto (a, f (a)) es y (3 a ) = a( a) 7

18 3 (a, f (a)) Los puntos de corte con los ejes son: a) Si = 0, entonces y = a + 3, y b) si y = 0, entonces = a +3 a Por tanto, la función a la que tenemos que calcularle el mínimo es, en función del punto a, f (a) = con a ]0, 3] Su derivada vale base altura = (a + 3) a f (a) = 3a + 6a 9 a = 0 a + a 3 = 0 Resolvemos este polinomio bicuadrático mediante el cambio usual a = t y obtenemos que la única solución positiva es a = s aquí donde f alcanza su mínimo absoluto? Observa que f () = +, 0 + y que, por tanto, f es estrictamente decreciente en ]0, ] n cambio, como f ( 3) > 0, f es estrictamente creciente en [, 3 ] n consecuencia, f alcanza su mínimo absoluto en a =, jercicio 3 A un espejo rectangular de medidas 8090 cm se le rompe (accidentalmente) por una esquina un triángulo de lados 0cm Calcula las medidas del espejo de mayor área de forma rectangular que se puede obtener del la pieza restante Solución 3 0 θ y 90 l área del trozo de espejo que queremos maimizar es (80 )(90 y) Podemos relacionar e y la tangente del ángulo θ: y = 0 = y = 6 5 Por tanto, tenemos que buscar el máimo de la función f () = (80 ) ( ) con [0, 0] Calculamos los puntos críticos: f () = (80 ) = = 0 = 5 ) = 80 Como f ( 5 5 < 0, la función alcanza un máimo relativo en dicho punto l máimo absoluto se alcanza en este punto, en = 0 o en = 0 Como ( ) 5 f (0) = 60, f = y f (0) = 6300 el máimo absoluto se alcanza en = 5 8