Función real de variable real, hallar g f y

Transcripción

1 1.- Si 3 f() e y g() cos( ) Función real de variable real, hallar g f y f g..- Hallar el dominio de las siguientes funciones: 1 a) f() ln(sen) b) f() 1 c) f() Hallar la inversa de las siguientes funciones: 3 4 y e y ln( ) y ln(ln()) y log ( 3) y ln( ) ln y e - 7e 4.- Determinar cuáles de las siguientes funciones son pares y cuáles son impares: 1 a) f() b) g() 3 3 c) h() ln d) k() sen 1 3 e) p() e 1 tg ln 5.- Estudiar la continuidad de la función f() cos si 0 si 0 si 6.- Es inyectiva la función y = sen? Cómo es que tiene función inversa, y = arcsen? 7.- Hacer un esbozo de la gráfica de las siguientes funciones: a) y e b) y e c) y e d) y ln e) y ln g) y ln h) y ln i) 3 y j) y 3 k) y f) y ln 8.- Hallar el período de las funciones dadas a continuación: a) y cos b) y cos 3 c) y cos d) y tg e) 3 y tg Hallar los siguientes límites: a) e 1 lim 0 1 cos b) e lim e sen cos c) 1 sen lim 0 sen 10.- Hallar las derivadas de las dos funciones siguientes: U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 1

2 e a) y sen arc tg b) 1 y cosarc tg e 4 ( 1) cos 11.- Se considera la función f () 0 a) Hallar f `(1) y f ``(1). b) Eiste un mínimo relativo en = 1? 1 1 si 1. Se pide: si Hallar las derivadas terceras de las funciones: sen arc tg a) y b) y e 1 cos Demostrar que el polinomio p() 1 tiene una única raíz real positiva Demostrar que la ecuación e 1 no tiene más solución real que = Demostrar que si > 0, entonces, 1 ln( 1) ln Hacer un estudio completo y representar gráficamente la función: f() La gráfica de la función derivada de una función y = f() viene dada en la figura: Estudiar el crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos, concavidad y conveidad, puntos de infleión y asíntotas de la función f. Es f una función acotada? 18.- Dada la función a. Dominio. sen() f(), se pide: 1 sen U. D. de Matemáticas de la ETSITGC

3 b. Periodicidad. c. Signo de f() en función de. d. Asíntotas. Función real de variable real 19.- Hallar el conjunto A de números reales determinado por cada una de las siguientes desigualdades e indicar en cada caso si se trata de un conjunto acotado. Hallar, en los casos en que eistan, el etremo superior, el etremo inferior, el máimo y el mínimo del conjunto A: 1 a) 3 b) 1-4 < c) d) +1< Se consideran las funciones f o g () f () y g() e, hallar go f () y 1.- Calcular en las siguientes ecuaciones: 3 4 a) e = b) ln( ) = -1 c) ln(ln) = d) e) ln- 4 e =3e f) log ( + 3) = 5 g) ln + ln = 4 - e -4e =3.- Calcular los límites siguientes: 4 a) lim 4 e) lim 1 ) ( 1 i) 5 4 lim b) f) 5 lim lim j) -1 lim c) lim 3 9 g) lim k) lim 1 d) 4 lim h) lim 1 l) 3 3 lim Demostrar que f () tiene eactamente una solución real. 4.- Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a (,4). 3 f() 4 en 5.- Sea y=f() una función cuya gráfica es la que aparece más abajo: Indicar si son verdaderas o falsas cada una de las siguientes afirmaciones: a) f es continua en todo R. b) f es derivable en todo R. c) f tiene un mínimo relativo en = b. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 3 a b c d e

4 d) f está acotada inferiormente. e) f tiene máimos relativos en = a y en = d. f) f está acotada superiormente. g) f tiene puntos de infleión en = a, = b y = d h) f tiene una asíntota vertical en = c y una asíntota horizontal de ecuación y = 0. i) f () = 0 en = a y en = d. 1 si Dada la función f (). Se pide: - si -1 a) Estudiar la continuidad. b) Hallar su función derivada. c) Representar gráficamente f(). 1 si < Representar la función f() =. si > - Está f acotada en,0? Tiene máimo y mínimo en ese intervalo? 8.- Construido un depósito cúbico para almacenamiento de cajas, se quiere estimar con la mayor precisión posible el volumen que puede contener. La medida del lado L del cubo resulta ser m con una cota de error estimado de 0. m. a) Aplicar el concepto de diferencial para aproimar el error propagado (porcentual) cometido al calcular el volumen V del depósito. b) Estimar el máimo error en la medida de L, para que el error propagado al calcular el volumen no supere el 3%. 9.- a) Enunciar el teorema del VALOR MEDIO o de Lagrange. b) Un vehículo circula a 90 km/h por el km 100 de una autopista, diez minutos después en el km 15 su velocidad es de 100 km/h, donde le para la policía y le multa. por qué? 30.- a) Enunciar el teorema de Rolle: b) Razonar si puede aplicarse el teorema de Rolle a la función f () = ln ( ) en el intervalo [-1, 1]: 31.- a) Hallar el conjunto A de números reales determinado por la siguiente desigualdad: 1-3 Es A un conjunto acotado? b) Hallar el dominio de la función f() ln(cos ) 1 c) Hallar la derivada de la función y e 1 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 4

5 1.- Si 3 f() e y g() cos( ) Función real de variable real, hallar g f y f g o ;g f cose 3cos 3 cos o ; f g e g f () g f () g e cos e cos e f g() f g() f cos e U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 5

6 .- Hallar el dominio de las siguientes funciones: 1 a) f() ln(sen) b) f() 1 c) f() 1 1 a) f()=ln(sen) sen 0 0 k k, k Z k, k 1) b) Por una parte 0 0 y además Por tanto, la intersección resulta ó bien en los intervalos, 3 1,0. c) Analizando cada sumando: salvo =-1 que anula el 1 denominador. 0 0 y necesariamente 0., 1 1, La intersección de las regiones anteriores da: U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 6

7 3.- Hallar la inversa de las siguientes funciones: 3 4 y e y ln( ) y ln(ln()) y log ( 3) y ln( ) ln 3 ln y ln ye lny3 y 3 3 y e y 4 4 /4-7e yln( ) 4ln y/4lne y e ; y y y e y ln(ln) e ln e e y e y y ylog (3) 3 3 y 3 y 3 /3 4 e y ln( ) ln 3ln y / 3 ln e y e ; y y e 7e ye 1 7e ye 7e 1 0 ; 3 e llamando e z 7 494y 7 494y yz 7z 1 0 z e ln y y y ln U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 7

8 4.- Determinar cuáles de las siguientes funciones son pares y cuáles son impares: 1 a) f() b) g() 3 3 c) h() ln d) k() sen 1 3 e) p() e ( ) a) f( ) f() luego f() es IMPAR b) g( ) g() luego g() es PAR 3 ( ) c) h( ) ln ln ln ln ln h() luego h() es IMPAR d) k(-) sen sen sen k(), luego k() es IMPAR. 1 e) p(-) 1 e e p, luego p() no es par ni IMPAR. e e p U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 8

9 1 tg si Estudiar la continuidad de la función f() cos si 0 ln si La tangente no eiste para valores de k con k Z y como <0 resulta que: k kn 0. con Para los puntos frontera, tenemos que: En =0: lím 1 tg 1 cos(0 ) f (0) continua en =0. 0 En : lím ln ln 0,57 1 cos f ( ) discontinua en f es continua en todo R ecepto en y en (1 k) con k N 0.. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 9

10 6.- Es inyectiva la función y = sen? Cómo es que tiene función inversa, y = arcsen? La función y = sen no es inyectiva como función de R en [-1, 1], pero sí lo es como función de k, k en [-1, 1], siendo k Z. Su función inversa y = arc sen, es una función de [-1, 1] en k, k, para un valor entero concreto de k, generalmente, k = 0. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 10

11 7.- Hacer un esbozo de la gráfica de las siguientes funciones: a) y e b) y e c) y e d) y ln e) y ln g) y ln h) y ln i) 3 y j) y 3 k) y Solución a) b) c) f) y ln d) e) f) g) h) i) j) k) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 11

12 8.- Hallar el período de las funciones dadas a continuación: a) y cos b) y cos 3 c) y cos d) y tg e) 3 a) y = cos, T = b) f cos3 c) y tg 5 T cos3 T cos3 3T 3T T 3 3 f cos y cos, T = 6 d) y = tg, T = e) y = tg, T = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 1

13 9.- Hallar los siguientes límites: 1 sen e 1 e sen a) lim b) lim c) lim 0 1 cos e cos 0 sen e 1 e e e a) L = lim lim lim (L`Hôpital) 01 cos 0 s en 0 cos sen 1 b) L = lim e 1 (Por L`Hôpital no se llega a ningún resultado; sale fácilmente cos 1 e dividiendo numerador y denominador por e ) 1 sen c) L = lim 1 =0 (pues lim 1 y lim sen 0 ; nótese que no puede 0 sen 0 sen 0 aplicarse L`Hôpital ya que no eiste el límite del cociente de las derivadas). U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 13

14 10.- Hallar las derivadas de las dos funciones siguientes: e a) 1 y sen arc tg b) y cosarc tg e a) y`= e e 1 e b) y`= e e e U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 14

15 4 ( 1) cos 11.- Se considera la función f () 0 a) Hallar f `(1) y f ``(1). b) Eiste un mínimo relativo en = 1? 1 1 si 1. Se pide: si 1 a) f``(1) = 0 (aplicando la definición de derivada). Para calcular f ``(1), aplicando también la definición, se necesita calcular previamente f `() para 1, obteniéndose f `()= cos sen 4 1 cos Finalmente, f ``(1) = 0. b) Sí; de hecho, f presenta su mínimo absoluto en = 1, ya que f 1 0 y f 0, 1. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 15

16 1.- Hallar las derivadas terceras de las funciones: sen arc tg a) y b) y e 1 cos 1 sen 1 cos sen a) y' ; y'' ; y''' 1 cos 1 cos 1 cos 3 arc tg arc tg arc tg e b) y' 1 ; e 1 e y'' ; y''' U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 16

17 Demostrar que el polinomio p() 1 tiene una única raíz real positiva. p p 1 3 1, 0Eiste una raíz en (0, 1) (teorema de Bolzano). p' ; luego, si 0, se verifica que p' 0 y p es estrictamente creciente en (0, ); luego no se anula más veces en dicho intervalo. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 17

18 14.- Demostrar que la ecuación e 1 no tiene más solución real que = 0. 0 si 0 f ' e 1 0 si 0 0 si 0 0 si 0 f e =0 sólo para = 0. 0 si 0 Sea f e 1; f 0 0 ; f es creciente decreciente si 0 si 0 f 1 º método: Razonando por el absurdo y aplicando el teorema de Lagrange o de los incrementos finitos. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 18

19 15.- Demostrar que si > 0, entonces, Función real de variable real 1 ln( 1) ln 1 La tesis a demostrar se obtiene aplicando el teorema de Lagrange a la función ln, 1, con > 0. f en el intervalo 1. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 19

20 16.- Hacer un estudio completo y representar gráficamente la función: f() 3 3 y a) Dom = R 0 si 0 b) f 0 si 0 0 si 0 c) Asíntotas Verticales: No hay (Dom = R) lim f Horizontales: No hay ( 3 3 ) Oblicuas: y, para. 3 8, 0.9, e) Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos: 1 1 y' d) Puntos de corte con la asíntota:, , 1, f + No eiste f Crecte. Má Rel Decrte Crecte. Mín Rel f) Concavidad y conveidad. Puntos de Infleión. 0 si 0, -1 y'' si 0 y' '() 0 y' '() no eiste en = -1 y en = 0,1-1 1,0 0 0, f + No eiste + No eiste - f 0 0. Infleión cóncava cóncava convea. g) Corte con los ejes: 0 0,0 Con OX: y 0 1 1, 0 Con OY: 0 y 0 0,0 h) Gráfica aproimada: U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 0

21 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 1

22 17.- La gráfica de la función derivada de una función y = f() viene dada en la figura: Estudiar el crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos, concavidad y conveidad, puntos de infleión y asíntotas de la función f. Es f una función acotada? y = f () f es creciente f () 0,0 0, f es decreciente f () 0,3 3, Máimo relativo de f en = f es cóncava f () 0 f '() es creciente 0,1 a,3 f es convea f () 0 f '(),0 1,a 3, Puntos de infleión de f en = 0, = 1, = a, = 3. Asíntotas de f: f no tiene asíntotas verticales ( Dom f = R) f no tiene asíntotas horizontales ( f no tiene a y = 0 como asíntota horizontal) f no tiene asíntotas oblicuas ( f no tiene asíntotas horizontales) f no está acotada. es decreciente U. D. de Matemáticas de la ETSITGC

23 sen() 18.- Dada la función f(), se pide: 1 sen a) Dominio. b) Periodicidad. c) Signo de f() en función de. d) Asíntotas. sen() y 1 sen 3 7 a) Dominio = R k / k Z R,,,... 3 b) Periodicidad: T = Basta estudiar,. c) Signo de f(): 0 0 3,, 3; f 0 sen 0 0 3, 0 0,,,,0 0 0,,, 3 f d) Asíntotas: No hay horizontales ni oblicuas ya que el dominio de f es acotado. 3 Verticales:, sen() sen() lim, lim 1 sen 3 1 sen U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 3

24 19.- Hallar el conjunto A de números reales determinado por cada una de las siguientes desigualdades e indicar en cada caso si se trata de un conjunto acotado. Hallar, en los casos en que eistan, el etremo superior, el etremo inferior, el máimo y el mínimo del conjunto A: 1 a) 3 b) 3 4 d) +1< < c) 0 a) ,1 = A A es un conjunto acotado. Má A = 1, mín A= -5. b) < <14 < < 4 < 4 < <, =A A es un conjunto acotado. Sup A = 3/8, inf A= 1/8. No tiene máimo ni mínimo. c) ,,4 (-, -3 ) (-3, ) (, 4) (4, ) ( + 3) ( ) ( 4) Luego, 340, 3 U,4 = A A es un conjunto acotado superiormente, pero no es acotado inferiormente. Sup A = 4. No tiene máimo. d) +1< 3-1 Se pueden presentar cuatro casos en función del signo de + 1 y del signo de 3-1: Caso 1: +10 y Las tres condiciones que han de verificarse entonces son: >1 1, 3 +1<3-1 < >1 Caso : +1 0 y 3-1<0. Las tres condiciones que han de verificarse entonces son: <0 < >1 1, <1-3 4<0 <0 Caso 3: +1 < 0 y Las tres condiciones que han de verificarse entonces son: U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 4

25 < 1 +1< , no hay ningún valor de que cumpla las tres 3 --1<3-1 0<4 0 condiciones simultáneamente. Caso 4: +1<0 y 3-1<0. Las tres condiciones que han de verificarse entonces son: < 1 +1< <0 < <-1, <1-3 < <1 Uniendo los cuatro casos, la desigualdad se verifica para,0 U 1, R0,1 = A. A es un conjunto que no está acotado ni inferior ni superiormente. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 5

26 0.- Se consideran las funciones f o g () Función real de variable real f () y g() e, hallar go f () y go f () gf() g e ; o f g () f g() f e e e U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 6

27 1.- Calcular en las siguientes ecuaciones: a) e = b) ln( ) = -1 c) ln(ln) = d) e -4e =3 e) g) ln + ln = ln 3 a) e ln 3 ln 3 ln b) 1ln( ) 4ln1/4lne 4 e e c) ln(ln) e ln e e e - 4 d) e - 4e = 3 e - = 3 e - 4 = 3e e -3e 4 0 e Llamando t = e, se ha de verificar: t -3t 40 t 4, 1 Para t = 4, ha de ser e 4 ln4 Para t = -1, ha de ser e 1, lo cual es imposible pues e) f) e e = 3e 3e e 3e 3e e 5 5 5log (3) 3 3 ln ln- 4 4 ln 6 6 g) ln- 4 e =3e f) log ( + 3) = 5 e 0, R ln( ) ln ln 3ln ln 4 / 3 e e U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 7

28 .- Calcular los límites siguientes: a) lim b) lim c) lim d) 9 f) j) 6 1 lim lim g) lim k) lim 1 h) l) 3 lim 1 4 lim 3 5 e) lim 1 ) ( 1 i) lim lim a) lim b) lim? lim lim c) lim? lim lim d) lim? lim lim lim lim ( 1) e) lim? lim lim 1 1 ( 1) 0 ( 1) 1 1 no eiste ya que lim f) lim? lim g) lim? lim h) lim lim i) lim 7 5 lim j) lim? lim lim lim? lim lim U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 8

29 k) l) Función real de variable real lim 1? lim lim lim lim lim? lim lim lim U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 9

30 3 3.- Demostrar que f () tiene eactamente una solución real. 3 f() 4 30f'() 1 10, R, luego f es estrictamente creciente en R. f(0) 3 0, f(1) 0, luego f es una función continua (por ser un polinomio) que toma valores de signos opuestos en 0 y en 1, por tanto, eiste al menos un valor de 0,1 en el cual f() = 0, sin más que aplicar el teorema de Bolzano. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 30

31 4.- Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a (,4). 3 f() 4 en f'() 3 4f'() 4 La recta tangente pasa por el punto (, 4) y tiene de pendiente 4: t y44 La recta normal pasa por el punto (, 4) y tiene de pendiente -1/4: n y41/4 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 31

32 5.- Sea y=f() una función cuya gráfica es la que aparece más abajo: Indicar si son verdaderas o falsas cada una de las siguientes afirmaciones: a) f es continua en todo R. b) f es derivable en todo R. c) f tiene un mínimo relativo en = b. d) f está acotada inferiormente. e) f tiene máimos relativos en = a y en = d. f) f está acotada superiormente. g) f tiene puntos de infleión en a e = a, = b y = d b c d h) f tiene una asíntota vertical en = c y una asíntota horizontal de ecuación y = 0. i) f () = 0 en = a y en = d. a) f es continua en todo R: FALSO, pues en = c presenta una discontinuidad. b) f es derivable en todo R: FALSO, pues no es continua; además en = a tampoco es derivable aunque sea continua en ese punto. c) f tiene un mínimo relativo en = b: VERDADERO, pues f b f, E b d) f está acotada inferiormente: VERDADERO, pues f 0, R e) f tiene máimos relativos en = a y en = d: VERDADERO, pues f a f, E a, y lo mismo ocurre en d. f) f está acotada superiormente: FALSO, pues lim f c. g) f tiene puntos de infleión en = a, = b y = d: FALSO, en = d no cambia su concavidad. Si lo hace en =a y en = b. h) f tiene una asíntota vertical en = c y una asíntota horizontal de ecuación y = 0: VERDADERO, ya que, como se aprecia en la gráfica, c lim f y lim f 0 i) f () = 0 en = a y en = d: FALSO, en = a se aprecia un cambio brusco en la gráfica de la función que indica que no eiste recta tangente en ese punto y la función no es derivable en él. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 3

33 1 si Dada la función f (). Se pide: - si -1 a) Estudiar la continuidad. b) Hallar su función derivada. c) Representar gráficamente f(). a) f es continua en todo 1, por ser un polinomio. Y si = -1: lím 1 11 lím, luego f es discontinua en = b) si -1 f'(), y no eiste f (-1). -1 si -1 < c) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 33

34 1 si < Representar la función f() =. si > - Está f acotada en,0? Tiene máimo y mínimo en ese intervalo? f es una función continua en R -. En = tiene una discontinuidad de salto infinito. f está acotada en,0 ; sup f = 0 y no eiste má f ; en cambio, sí eiste,0 1 mín f f (0).,0,0 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 34

35 8.- Construido un depósito cúbico para almacenamiento de cajas, se quiere estimar con la mayor precisión posible el volumen que puede contener. La medida del lado L del cubo resulta ser m con una cota de error estimado de 0. m. a) Aplicar el concepto de diferencial para aproimar el error propagado (porcentual) cometido al calcular el volumen V del depósito. b) Estimar el máimo error en la medida de L, para que el error propagado al calcular el volumen no supere el 3%. a) L=11,35 0.0, es decir, se toma como valor aproimado L = m y la cota de error, dl < 0.0 m, nos indica que el verdadero valor de L está entre y m. Este error de L se propaga al calcular el volumen del depósito: 3 3 V = L m 3 Para obtener una cota del error V se usa la diferencial V dv dv = V (L) dl= 3L dl El error propagado es aproimadamente: dv 3 L dl dl V L L 11.35, luego el error propagado en porcentaje es 5.3% dv b) Se pide estimar dl para que 0.03, luego: V dv 3 L dl 3dL 0.03L dl V 3 L L 3 3 Por lo tanto, la cota de error al medir L no debe superar los 1 cm, es decir dl < 0.1 m. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 35

36 9.- a) Enunciar el teorema del VALOR MEDIO o de Lagrange. b) Un vehículo circula a 90 km/h por el km 100 de una autopista, diez minutos después en el km 15 su velocidad es de 100 km/h, donde le para la policía y le multa. por qué? a) Sea f una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces, eiste al menos un punto c(a, b) tal que f (c) = (f(b)-f(a))/(b-a). b) Sea f(t) la función que epresa el recorrido en el instante t, siendo una función continua y derivable por ejemplo en (0,1/6), ya que 10 minutos es 1/6 horas. f (1/ 6) f (0) f'(c) 15 km/h 1/6 1/6 El teorema del valor medio estable que en algún momento c 0,1/6 la velocidad media es 15 km/h superando el límite de 10 km/h. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 36

37 30.- a) Enunciar el teorema de Rolle: Función real de variable real Sea f una función continua en [a, b] y derivable en (a, b) tal que f (a) = f (b). Entonces, eiste al menos un punto c(a, b) tal que f (c) = 0. b) Razonar si puede aplicarse el teorema de Rolle a la función f () = ln ( ) en el intervalo [-1, 1]: a) Sea f una función continua en [a, b] y derivable en (a, b) con f(a)=f(b). Entonces, eiste al menos un punto c(a, b) tal que f (c) = 0. b) f'() 0 R, luego no se verifica la tesis del teorema de Rolle, por tanto, falla alguna de las hipótesis. f (-1) = f (1) = 0, luego, se cumple f (a) = f (b). Pero, f'() no eiste para = 0(-1, 1), luego falla la hipótesis de derivabilidad en el intervalo. De hecho, también falla la hipótesis de continuidad, pues f no es tampoco continua en = 0[-1, 1]. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 37

38 31.- a) Hallar el conjunto A de números reales determinado por la siguiente desigualdad: 1-3 Es A un conjunto acotado? b) Hallar el dominio de la función f() ln(cos ) 1 c) Hallar la derivada de la función y e , a) , Por tanto, A =, 1,. No es un conjunto acotado. 3 b) cos 0 k k, k Z, ya que solo eiste el ln de un número positivo. c) y ' e 1 e 1 ln 1 e U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 38

39 Asíntotas de una función Verticales: Si a y. lím f () a es una asíntota vertical a (Sólo puede haber asíntotas verticales en los puntos que no pertenecen al dominio) Horizontales: Si y b. lím f () b y b es una asíntota horizontal Oblicuas: y = m + n es una asíntota oblicua, siendo: f() m lím ; n lím f() m Nota: las asíntotas nos informa de si la función está o no acotada. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 14

40 Dominio de definición o campo de eistencia. Conjunto de valores para los cuales se pueden efectuar los cálculos que indica la epresión analítica de la función. D R tales que, eiste y f U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 6

41 Simetrías de una función f () simétrica respecto el eje OY (Función par) f( ) - f() simétrica respecto el origen O (Función impar) U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 158

42 Continua Una función y=f() es continua en = a si se verifica: lim f()=f(a) Una función z=f(,y) es continua en un punto (o,yo) si se verifica: lím f(,y) f(,y ) (,y) 0,y0 0 0 Continuidad en un intervalo Una función y = f() es continua en un subconjunto o en un intervalo si lo es en cada de sus puntos. a U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 30

43 Límite El límite de la función f es L cuando tiende a a si cuando se acerca a a f se acerca a L tanto como se quiera, es decir, 0 >0 / si 0< -a f () L En cuyo caso, escribiremos lim f() a =L U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 11

44 Derivada Dada la función f definida en el intervalo I y a I, se llama derivada de f en a, y se denota con f(a h)-f(a) f (a), al siguiente límite: f '(a) lim h0 h Representa la pendiente de la recta tangente a f en =a. Función Función Derivada y = k La derivada de una constante es igual a cero. Es decir: y = 0 y = La derivada de la función identidad es igual a 1. Es decir: y = 1 y = f() + g() La derivada de una suma de funciones es igual a la derivada de cada uno de los sumandos. Es decir: y = f () + g () y = f() g() La derivada de un producto de funciones es igual a la derivada del 1 er factor por el º factor sin derivar más la derivada del º factor por el 1º sin derivar. Es decir: y = f () g() +g () f() y f() g() La derivada de un cociente de funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar partido por el denominador al cuadrado. Es decir: f'() g() - g'() f() y' (g()) y = f(g()) La derivada de la composición de dos funciones es igual a la derivada de la primera función respecto la segunda por la derivada de la segunda respecto. Es decir: y = f g g U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 40

45 y = log a f() La derivada del logaritmo en base a de una función es igual a la derivada de la función partida por la función y multiplicado este cociente por el logaritmo en base a del nº e. Es decir: f'() y' logae f() y = ln f() La derivada del logaritmo neperiano de una función es igual a la derivada de la función partida por la función sin derivar. Es decir: f'() y' f() y = f() k La derivada de una función elevada a una cte es igual al eponente multiplicado por la función eponencial elevada a un grado menos y por la derivada de la base. Es decir: y = k f() k-1 f () y = k f() La derivada de una constante elevada a una función es igual a la derivada del eponente multiplicado por la misma función eponencial y por el logaritmo neperiano de la base. Es decir: y = f () k f() ln k y = f() g() La derivada de una función elevada a otra función es igual al eponente multiplicado por la función eponencial elevada a un grado menos y por la derivada de la base más la derivada del eponente multiplicado por la misma función eponencial y por el logaritmo neperiano de la base. Es decir: y = g() f() g()-1 f () + g () f() g() ln(f()) U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 41

46 y = sen f() La derivada del seno de una función es igual a la derivada de la función por el coseno de la función. Es decir: y = f () cos f() y = cos f() La derivada del coseno de una función es igual a menos la derivada de la función por el seno de la función. Es decir: y = - f () sen f() y = tg f() y = cotg f() La derivada de la tangente de una función es igual: 1ª a la derivada de la función multiplicada por 1 más el cuadrado de la tangente de la función. Es decir: y = f () (1 + tg f()) ª a la derivada de la función dividida por el coseno al cuadrado de la función. Es decir: f'() y = cos f() 3ª a la derivada de la función por la secante al cuadrado de la función. Es decir: y = f () sec f() La derivada de la cotangente de una función es igual: 1ª a menos la derivada de la función multiplicada por 1 más el cuadrado de la cotangente de la función. Es decir: y = - f () (1 + cotg f()) ª a menos la derivada de la función dividida por el seno al cuadrado de la función. Es decir: f '() y = - sen f() y = sec f() La derivada de la secante de una función es igual a la derivada de la función multiplicada por la secante de la función y por la tangente de la función es decir: y = f () sec f() tg f() U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 4

47 y = cosec f() La derivada de la cosecante de una función es igual a menos la derivada de la función multiplicada por la cosecante de la función y por la cotangente de la función es decir: y =- f () cosec f() cotg f() y = arc sen f() La derivada del arco seno de una función es igual a la derivada de la función dividida por la raíz cuadrada de 1 menos la función al cuadrado. Es decir: f '() y = 1 f () y = arc cos f() La derivada del arco coseno de una función es igual a menos la derivada de la función dividida por la raíz cuadrada de 1 menos la función al cuadrado. Es decir: - f '() y = 1 f () y = arc tg f() La derivada del arco tangente de una función es igual a la derivada de la función dividida por 1 más la función al cuadrado. Es decir: f '() y = 1 f () y = sh La derivada del seno hiperbólico de es igual al coseno hiperbólico de la función. Es decir: y = ch y = ch La derivada del coseno hiperbólico de es igual al seno hiperbólico de la función. Es decir: y = sh U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 43

48 La derivada de la tangente hiperbólica de es igual: y = th 1ª a uno menos el cuadrado de la tangente hiperbólica de. Es decir: y = 1 - th ª a uno dividido por el coseno al cuadrado de. Es decir: 1 y = ch 3ª a la secante al cuadrado de. Es decir: y = sech y = arg sh = = ln 1 La derivada del argumento seno hiperbólico de es igual a 1 partido por la raíz cuadrada de al cuadrado más 1. Es decir: 1 y = 1 y = arg ch = = ln 1 La derivada del argumento coseno hiperbólico de es igual a 1 partido por la raíz cuadrada de al cuadrado más 1. Es decir: 1 y = 1 y = arg th = = 1 ln 1 1- La derivada del argumento tangente hiperbólica de es igual a 1 partido por 1 menos elevado al cuadrado. Es decir: 1 y = 1- U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 44

49 Teorema de Rolle Sea f() una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), entonces eiste, al menos, un punto (a,b) donde la derivada de la función se anula, f () = 0. f (a) = f (b) a 1 3 b

50 Teorema del valor medio (o de Lagrange) Si f es continua en [a,b y derivable en (a,b), eiste c(a,b) tal que: f(b) f(a) f'(c) b a. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 178

51 Etremo inferior o ínfimo Cota inferior que sigue a todas las cotas inferiores de un subconjunto de un conjunto dado. Etremo superior o supremo Cota superior que precede a todas las cotas superiores de un subconjunto de un conjunto dado. Etremos Valor máimo o mínimo de una función. Sea S un subconjunto del dominio de una función y=f(). La función f tiene un máimo (mínimo) relativo en el punto a, cuando f(a) es el mayor (menor) valor que la función toma cuando la variable recorre S. Es decir, f() f(a), Sf() f(a), S. S un entorno de a. La función f tiene un máimo (mínimo) absoluto en a, cuando f() f(a) f() f(a) para todos los del dominio de f. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 80

52 Diferencial Diferencial de una función f en un punto a es la aplicación lineal: df (a) : R R siendo f derivable en a. f '(a) Suele denotarse d a la variable de la aplicación lineal diferencial. Será, por tanto, una función de dos variables a y d. df(a)(d)=df(a,d)=f (a)d U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 5

53 Recta tangente La recta tangente a la curva y = f() en el punto (a,f(a)) en el cual f es derivable es la siguiente: y - f(a)=f (a)( - a) Recta normal La recta normal a la curva y = f() en el punto (a,f(a)) en el cual f es derivable es la recta perpendicular a la recta tangente en dicho punto: y- f(a)= - (-a)/ f (a) U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 156

54 Sea f:a Función inversa B con A,B R una función biyectiva. Llamaremos función inversa de f, y la denotaremos por f -1, a la función: 1 f :B A 1 siendo f()=y y f (y) f f 1 I B y f f I A 1 Se verifica que: La gráfica de f -1 es simétrica respecto de la recta y=, respecto de la gráfica de f. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 88

55 Aplicación inyectiva: ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía Una aplicación entre dos conjuntos A y B es inyectiva si cada elemento de B, que es imagen de uno de A, lo es de uno sólo, es decir, a,ba,si f(a) f(b) a b. Ejemplo: Sean A a,b,c y B={1,,3,4} de tal forma que f(a)=1, f(b)=, f(c)=3, entonces f es una aplicación inyectiva. A f B a b c Ejemplo: Sean A a,b,c y B={1,,3,4} de tal forma que f(a)=1, f(b)=1, f(c)=3, entonces f es una aplicación, pero no es inyectiva. A f B a b c Ejemplo: Sea R, f()=, es inyectiva, puesto que si f(a)=f(b), en nuestro caso a=b entonces a = b. Ejemplo: Sea R, f()=, no es inyectiva, puesto que f(-1)=f(1)=1. Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC

56 Función periódica Función para la que eiste una constante p tal que f(+p)=f(), para todo valor de su dominio. La constante p se llama período cuando es el valor mínimo que lo cumple. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 89

57 Crecimiento Una función es estrictamente creciente en un intervalo cuando para dos puntos cualesquiera situados en él y +h se verifica: h f f h Si f (a)>0, la función f es creciente en a Decrecimiento Una función es estrictamente decreciente en un intervalo cuando para dos puntos cualesquiera situados en él y +h se verifica: h f f h. Si f (a)<0, la función f es decreciente en a U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 37

58 Cóncava y convea Una función es cóncava si la gráfica de la función queda por encima de la recta tangente en cada uno de los puntos. Si f'' 0 f'' 0 para todos los puntos de un intervalo, f es cóncava (f es convea) en dicho intervalo. Puntos de infleión. Punto de una curva plana en el que la curvatura cambia de sentido de cóncava a convea o viceversa. La tangente en un punto de infleión atraviesa la curva. Si f (a)=0 y f (a) 0, entonces (a, f(a)) es un punto de infleión U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 141

59 Números Reales ETSITGC Madrid Un conjunto A está acotado inferiormente si eiste k R tal que k a, a A Se dice entonces que k es una cota inferior de A Un conjunto A está acotado superiormente si eiste k R tal que a k, a A. Se dice entonces que k es una cota superior de A. Un conjunto A es acotado si está acotado inferior y superiormente. Unidad Docente de Matemáticas