Universidad Carlos III de Madrid

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1 Universidad Carlos III de Madrid Ejercicio Total Puntos Departamento de Economía Eamen Final de Matemáticas I 20 de Enero de 206 APELLIDOS: Duración del Eamen: 2 horas. NOMBRE: DNI: Titulación: Grupo: () Sea la función f() = 2 ln. Se pide: (a) Representar gráficamente la función, calculando previamente su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, asíntotas, etremos globales (si los hay) e imagen de f(). (b) Considerar la función f () = f() (definida solo en el intervalo en el que f() es creciente). Hallar el dominio y la imagen, concavidad y/o conveidad y dibujar la gráfica de la función f (). Sugerencia: para la concavidad y/o conveidad de f (), estudiar primero la concavidad/conveidad de f. No intentar hallar la epresión analítica de f (). 0,6 puntos apartado a); 0,4 puntos apartado b) a) El dominio de la función anterior es { : > 0} = (0, ). Además, como f () = 2 ln + = (2 ln + ), se deduce que f es decreciente en (0, e /2 ] y creciente en [e /2, ), pues + 2 ln() = 0 ln = 2 = e /2 y, como el logaritmo es creciente, + 2 ln() < 0 si < e /2 (o, equivalentemente, f () < 0 en dicho intervalo); y + 2 ln() > 0 si > e /2 (o, equivalentemente, f () > 0 en dicho intervalo). Como la función es continua en su dominio, solo hay que estudiar la posible asíntota vertical en 0 + : lim 0 +f() = lim ln() 0 + / 2 = lim / = 0; luego la función no tiene asíntotas 0 + 2/3 verticales. Estudiemos a continuación el comportamiento de la función en : lim f() = = lim f() ; luego la función no tiene asíntota horizontal ni oblicua. Por lo tanto, la función alcanzará un mínimo global en = e /2, y su valor será: f(e /2 ) = e ln(e /2 ) = 2 e. Luego la imagen de la función será: [ 2 e, ). Por lo tanto, la gráfica de f tendrá un aspecto, aproimadamente, como el de la primera figura: y = f - () y=f() e -/2 e -/2 -_ e - 2 -_ - e 2 b) Hemos definido f = f : [e /2, ) [ 2 e, ), que es creciente y biyectiva. Luego f : [ 2 e, ) [e /2, ) es también creciente y biyectiva. Por otro lado, f es convea, pues f () = 2 ln = 2 ln + 3, y, como f () es creciente, si > e /2 = f () > 2 ln e /2 + 3 = 2 > 0. Como f es convea y creciente, se deduce que f () es cóncava y creciente. Por lo tanto, la gráfica de f será, aproimadamente, como el de la segunda figura.

2 (2) Dada la función y = f(), definida de forma implícita mediante la ecuación y 2 + y 6 = 2 en un entorno del punto = 0, y =, se pide: (a) Hallar la ecuación de la recta tangente a f() en a = 0, y probar que f() es cóncava cerca de dicho punto. (b) Representar la función cerca de a = 0 y calcular aproimadamente el área limitada por la gráfica de dicha función, el eje horizontal, y las rectas verticales = δ, = δ, para δ > 0 pequeño. Es dicha aproimación por defecto o por eceso? Sugerencia para b: si no se ha hallado la recta tangente, considerese y = + m. punto a) En primer lugar, calculamos la derivada primera de la función: 8 + 2yy + 6y 5 y = 8 + (2y + 6y 5 )y = 0 sustituyendo = 0, y(0) = se deduce que y (0) = f (0) = 0. Análogamente, calculamos la derivada segunda de la función: 8 + (2y + 30y 4 y )y + (2y + 6y 5 )y = 0 sustituyendo y(0) =, y (0) = 0 se deduce que y (0) = f (0) = Luego la ecuación de la recta tangente será: y = 0( 0), es decir, y =. Y, obviamente, la función implícita es cóncava pues f (0) < 0.. b) Como la gráfica de f quedará debajo de la recta tangente y =, la representación será, cerca del punto = 0, aproimadamente así, tomando δ = 0, : y= (0,) -0, 0, y=f() Y, como la función es positiva cerca del punto = 0, el área coincidirá con la integral δ f()d, que será, aproimadamente, la misma que sustituir f() por la recta δ tangente y =. Es decir, δ δ f() δ.d = 2δ. δ Como la función es cóncava, la gráfica queda debajo de la recta tangente, luego la aproimación es por eceso. Observación: si se tomó como recta tangente y = + m, el resultado no varía, pues el área de un rectángulo de base 2δ y altura es la misma que la de un trapecio de misma base y altura media.

3 (3) Sea C () = 0, y I () = 0, las funciones de costes e ingresos marginales de una empresa monopolista, siendo 0 el número de unidades producidas de cierta mercancía. Se pide: (a) Determinar la producción que maimiza el beneficio. Para este nivel de producción, cual será el beneficio adicional (aproimado) de producir una unidad menos? (b) Sabiendo que el coste de producir 00 unidades es de 600 unidades monetarias, hallar la producción que minimiza el coste medio. Para este nivel de producción, cual será el beneficio adicional (aproimado) de producir una unidad más? 0,4 puntos apartado a); 0,6 puntos apartado b) a) Si calculamos la primera y segunda derivada de B : B () = I () C () = 0, (0, ) = 0, ; B () = 0, 2 < 0 luego vemos que B tiene un único punto crítico en = 500 y, como B es una función cóncava, este punto crítico es el único maimizador global. A este nivel de producción el beneficio adicional de producir una unidad de más o menos sería, aproimadamente, 0, pues B(50) B(500) B (500) = 0, B(500) B(499) B (500) = 0.. b) La función de costes es C() = 0, C 0. Como C(00) = 0, C 0 = 600 = C 0 = 200, luego la función de coste medio es C m () = C() = , 02. Si calculamos su dos primeras derivadas: C m() = , 02; C m () = > 0 observamos que = 200 0, 02 = 00 es el único punto crítico y, como C m() es una función convea, dicho punto crítico es el único minimizador global. Por lo tanto, la producción que minimiza el coste medio será: = 00. Para este nivel de producción, el beneficio adicional de producir una unidad más sería, aproimadamente, 80, pues: B(0) B(00) B (00) = = 80

4 ANEXO SOLUCIONES PARA LOS PROBLEMAS, 2 Y 3

5 4. Sea la función f() = e. Se pide: (a) Enunciar el teorema de Rolle y utilizarlo para demostrar que no pueden eistir tres puntos distintos < 2 < 3 tales que f( ) = f( 2 ) = f( 3 ). Qué sucede si sustituimos f() por una función convea y derivable g()? Sugerencia: aplicar el teorema de Rolle a dos intervalos distintos. Además, en este problema, como en todos, conveidad siempre es en sentido estricto. (b) Estudiar si f() es convea, hallar el polinomio de Taylor de grado 2 de f() en a = 0 y calcular el valor aproimado de f( 4 ). 0,6 puntos apartado a); 0,4 puntos apartado b) a) Aplicando el teorema de Rolle a f en el intervalo [, 2 ], se deduce la eistencia de c (, 2 ) tal que f (c ) = 0. Aplicando el teorema de Rolle a f en el intervalo [ 2, 3 ], se deduce la eistencia de c 2 ( 2, 3 ) tal que f (c 2 ) = 0. Como f () = e + e = ( + )e, el único cero de la función f es =. Así pues, f solo puede tomar el mismo valor dos veces. Análogamente, una función convea solo puede tener un punto crítico, luego tampoco pueden eistir tres puntos distintos < 2 < 3 tales que g ( ) = g( 2 ) = g( 3 ). La situación de una función que tomase tres veces el mismo valor puede representarse, aproimadamente, así: c 2 c 2 3 b) Como f () = e + ( + )e = ( + 2)e, se deduce que f() no es convea en (, 2). Además, como f(0) = 0, f (0) =, f (0) = 2, se deduce que P () = + 2. Por lo tanto: f( 4 ) P ( 4 ) = 5/6.

6 5. Sea el conjunto A = {(, y) R 2 : 2 y 2 )}. Se pide: (a) Representar el conjunto A y hallar, si eisten, los maimales y minimales, máimo y mínimo de A. (b) Calcular el área del conjunto dado. Y el área de B= {(, y) R 2 : 2 + y 3 )}? Sugerencia para a: el orden de Pareto viene dado por: ( 0, y 0 ) P (, y ) 0, y 0 y. 0,6 puntos apartado a); 0,4 puntos apartado b) a) Como el conjunto A es simétrico respecto del eje vertical, es suficiente describirlo cuando 0. Para dichos valores, (, y) A cuando f() = 2 y 2 = g(). Las gráficas de ambas funciones y = 2, y = 2 se cortan en =. Por lo tanto, el dibujo de A será, aproimadamente, así: y= 2 - y=2- Por lo tanto, como g() es decreciente en [0, ] y f() tambien decrece en [, 0], el orden de Pareto nos describe al conjunto así: máimo(a) no eiste, {maimales(a)} = {(, 2 ) : 0 }. mínimo(a) no eiste, {minimales(a)} = {(, 2 ) : 0}. b) Como ya hemos dicho, basta con hallar el área de la parte del conjunto que queda a la derecha del eje vertical. Así pues, A = 2 (g() f())d = 2 (2 2 )d = 2[ ] 0 = 0 0 = 7 3 unidades de área. Por otro lado, B no es sino una traslación vertical de una unidad del conjunto A, luego el área de B es la misma que la de A.

7 6. Dada la función f() = e, si > 0, se pide: (a) Hallar la primitiva de f() que tome el valor 0 en =. (b) Sea g continua tal que g() + 2 si. Calcular las asíntotas, si eisten de la función G() = g(t)dt. Sugerencia para b: en primer lugar, comprobar que punto a) Sea F () = e d la primitiva general de f(). lim G() =. Haciendo el cambio de variable = t 2, d = 2tdt, se obitene que: e t t 2tdt = 2 e t dt = 2e t + C = 2e + C Y ahora, como F () = 2e + C = 0 = C = 2e. Por lo tanto, F () = 2e 2e.. b) Como g() + 2 cuando = G() = g(t)dt ( + 2 t)dt cuando, por tanto G() no puede tener asíntota horizontal. Como tampoco puede tener asíntota vertical, pues G() es continua en su dominio, solo queda comprobar que no tiene asíntota oblícua. Y como G() lim = G () =(aplicando L Hopital)= lim = lim g() = Luego tampoco tiene asíntotas oblícuas.

8 ANEXO SOLUCIONES PARA LOS PROBLEMAS 4, 5 Y 6