ALGUNOS PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD PROPUESTOS EN cuya derivada es

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1 ANÁLISIS (Selectividad ) ALGUNOS PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD PROPUESTOS EN Aragón, junio a) Determina la función f () cuya derivada es f ( ) b) Calcula: lim a) La función f () es una primitiva de f f 5 ( ) e y que verifica que 5 5 ( ) e : f ) e d ( Esta integral se hace por partes, tomando: 5 5 u = du d ; dv e d v e 5 Luego: f ( ) e d = e e d = 5 e 5 e d = e e c Como f ( ), entonces: f () e c c Por tanto, f ( ) e e b) lim Forma indeterminada Se resuelve aplicando logaritmos ln lim lim ln lim ln = ln = (teniendo en cuenta que ln ln ln ) = lim Aplicando la regla de L Hôpital: ln lim lim ( ) Por tanto, lim

2 ANÁLISIS (Selectividad ) Aragón, junio a) Sea la función f ( ) Determina el dominio y las asíntotas de f (), si eisten b) Determina el área del recinto encerrado por las funciones: f ( ) y g ( ) a) La función no está definida cuando ; esto es, si = ± Por tanto, Dom(f) = R {, } Las rectas = y = son asíntotas verticales de la curva, pues lim Al tratarse de una función racional con el grado del numerador mayor que el del denominador en una unidad, la curva tiene una asíntota oblicua La recta y m n es asíntota oblicua de la curva f () cuando se cumple que: f ( ) m lim lim lim n lim La asíntota oblicua es la recta y = f ( ) m lim lim b) Representando gráficamente las funciones dadas se obtiene el recinto sombreado en la figura adjunta El punto de corte de la parábola y la recta se da cuando y Debido a la simetría del recinto, el área viene dada por 8 d

3 ANÁLISIS (Selectividad ) Aragón, junio a) Determina el valor que debe tomar k para que lim 4 k 5 b) Calcula: ln( ) d a) Este límite se puede resolver multiplicando y dividiendo por la epresión conjugada Así: lim 4 k 5 4 k 5 4 k 5 lim 4 k 5 k 5 lim lim = ( dividiendo por ) = 4 k 5 4 k k k = lim lim k 4 k 5 k k Si se desea que el límite valga 4 k = k 5 = b) La integral puede hacerse utilizando el método de integración por partes Tomando u ln( ) du ln( ) ln( ) d ; d dv v Luego, ln( ) d = ln( ) ln( ) ln( ) d = ln( ) ln( ) d 4ln( ) d ln( ) d ln( ) 4ln( ) d (trasponiendo la ª integral) Ahora se trata de resolver 4 ln( ) d, que también se hace por partes Tomando ahora: u ln du d ; dv 4d v Se tiene que: 4 ln( ) d = ln d ln d ln Sustituyendo en (): ln( ) d ln( ) ln( ) ln( ) d ln( ) ln( ) c ln( ) ln( ) c () = =

4 ANÁLISIS (Selectividad ) 4 4 Castilla León, junio a b si Sea la función f ( ) Halla a, b y c sabiendo que f () es c ln si continua en (, ), la recta tangente a f () en el punto de abscisa es paralela a 6 e la recta y 4, y se cumple que f ( ) d Por ser continua entre e, debe serlo en = Por tanto, en ese punto deben coincidir los límites laterales lim f ( ) lim a b a ; lim f ( ) limc ln b Como deben ser iguales a + b = En, la función que actúa es f ( ) a b 6 a a Su derivada es f ( ) b f ( /6) b a b /6 Como la tangente en ese punto debe ser paralela a y 4 f ( /6) 4 Por tanto: a b 4 a b Se tiene el sistema a = 4; b = 4 a b 4 La tercera condición, que f ( ) d, no requiere el conocimiento de a y b, pues en ese intervalo e f ( ) d f ( ) cln e c ln d e La integral c ln d c ln d se hace por partes Tomando: u ln du d ; dv d v = c ln d c d ln cln Luego: e e c ln d c ce lne e ( ln) c ln c =

5 ANÁLISIS (Selectividad ) 5 5 Castilla León, junio a) Estudia el crecimiento de la función f ( ) b) Prueba que la ecuación tiene eactamente tres soluciones reales a) f ( ) f ( ) 6 f ( ) si = o = Si <, f () > f () crece Si < <, f () < f () decrece Si >, f () > f () crece Aunque no se pide, en = hay un máimo; y en =, un mínimo b) Teorema de Bolzano: Si f () es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y toma valores de distinto signo en sus etremos ( f ( a) f ( b) o f ( a) f ( b) ), entonces eiste algún punto c (a, b) tal que f ( c) Desde el punto de vista algebraico, este teorema asegura que si f ( a) y f ( b), entonces la ecuación f ( ) tiene una solución entre a y b Esa solución será el punto c cuya eistencia afirma el teorema Aplicando el teorema de Bolzano a la función f ( ) se observa: Para =, f ( ) ( ) ( ) < Para =, f ( ) ( ) ( ) > Para =, f ( ) ( ) ( ) < Para =, f ( ) < Para =, f () > Como puede observarse: ) La función tiene distinto signo en los etremos del intervalo [, ] f () corta al eje OX en algún punto del intervalo (, ) ) La función tiene distinto signo en los etremos del intervalo [, ] f () corta al eje OX en algún punto del intervalo (, ) ) La función tiene distinto signo en los etremos del intervalo [, ] f () corta al eje OX en algún punto del intervalo (, ) En consecuencia, la ecuación tiene tres raíces: una entre y ; otra, entre y ; la tercera, entre y

6 ANÁLISIS (Selectividad ) 6 6 Castilla León, junio Sea la función f ( ) a) Calcula sus asíntotas y estudia su crecimiento y decrecimiento b) Dibuja el recinto comprendido entre la recta y =, la gráfica de f (), el eje OY y la recta = ; calcula el área de dicho recinto a) Tiene dos asíntotas: una vertical y otra horizontal La recta = es AV, pues lim La recta y = es AH, pues lim Derivada: 4 f ( ) Como la derivada es siempre positiva, la función es creciente en todo su dominio: en R { } b) La gráfica es la adjunta Estudiando los límites laterales puede verse la posición de la curva respecto de las asíntotas El área pedida es la de la región sombreada Su valor es 4 A d d 4ln 4ln 4 4ln 4ln u 7 Castilla León, junio Determina, de entre los triángulos isósceles de perímetro 6 metros, el que tiene área máima Sea el triángulo de la figura 6 Su perímetro vale 6 y 6 y y h Por Pitágoras: h y 4 6 Sustituyendo el valor de y 6 h h El área del triángulo es A 9 Sustituyendo h por su valor, A( ) 9 Para que el área A sea máima: A ( ) y A ( ) 8 9 A ( ) 8 9 =, = 4 9

7 ANÁLISIS (Selectividad ) 7 En vez de calcular la derivada segunda, que resulta muy engorroso, puede estudiarse el crecimiento y el decrecimiento de A () Además, se descarta la solución =, pues para ese valor se obtiene el área mínima, que es m Si <, f () > f () crece Si >, f () < f () decrece En consecuencia, en = se da el máimo buscado, que es el triángulo equilátero de lado m 8 Cataluña, junio (Serie 4) La curva y y la recta y = k, con k >, determinan una región plana a) Calcule el valor del área de esta región en función del parámetro k b) Encuentre el valor de k para que el área limitada sea 6 u [,5 puntos por el apartado a;,5 puntos por el apartado b] a) Representando gráficamente las funciones dadas se obtiene el recinto sombreado en la figura adjunta El punto de corte de la parábola y la recta se da cuando k k y k Debido a la simetría del recinto, el área viene dada por k k 4k k k d k 4k k b) Si se desea que 6 4k k k 6 8 k 9 Cataluña, junio Se quiere construir un canal que tenga como sección un trapecio isósceles de manera que la anchura superior del canal sea el doble de la anchura inferior y que los lados no paralelos sean de 8 metros A la derecha tiene un esquema de la sección del canal a) Encuentre el valor del segmento L de la grafica en función de la variable (anchura inferior del canal) b) Sabemos que el área de un trapecio es igual a su altura multiplicada por la semisuma de sus bases Compruebe que, en este 56 caso, el área de la sección viene dada por A( ) 4 c) Calcule el valor de para que el área de la sección del canal sea máima (no es necesario que compruebe que es realmente un máimo) [,5 puntos por el apartado a;,5 puntos por el apartado b; punto por el apartado c] a) La anchura superior de la sección vale Por tanto, L L b) Por Pitágoras: 8 L h h h

8 ANÁLISIS (Selectividad ) 8 Como el área de la sección del canal es: 56 A ( ) h A( ) 4 c) El máimo de A () se da en las soluciones de A ( ) que hacen negativa a A () Si se introduce en la raíz el factor de fuera, se tiene: Derivando, 5 4 A ( ) 4 A( ), que se anula cuando = ; 8 8 La solución = hay que descartarla; por tanto, la solución buscada es 8 Observación: Aunque el problema indica que no es necesario comprobar que realmente es un máimo, como es sencillo puede hacerse Así: ) Para valores de a la izquierda de 8 la derivada A () > ; ) Para valores de a la derecha de 8 la derivada A () < Por tanto, como la función crece a la izquierda de 8 y decrece a su derecha, en dicho punto se dará un máimo Cataluña, junio La función f () es derivable y pasa por el origen de coordenadas La grafica de la función derivada es la que puede ver aquí dibujada, siendo f () creciente en los intervalos (, ] y [, + ) a) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la grafica de la función f () en el punto de abscisa = b) Indique las abscisas de los etremos relativos de la función f () y clasifique estos etremos a) La ecuación de la recta tangente es y f ( ) f () Como la función pasa por el origen, se tiene que f ( ) Como puede verse en la gráfica, f ( ) y y La ecuación de la tangente será: b) Los etremos relativos de f () se dan en los puntos en los que se anula f () Estos puntos son: =, = y = Además: Si <, f () < f () decrece Si < <, f () > f () crece Por tanto, en = se da un mínimo Si < <, f () < f () decrece Por tanto, en = se da un máimo Si >, f () > f () crece Por tanto, en = se da un mínimo 4

9 ANÁLISIS (Selectividad ) 9 Cataluña, junio (Serie ) En una semiesfera de radio R inscribimos un cono situando su vértice en el centro de la semiesfera, tal como se ve en el dibujo a) Sabiendo que el volumen de un cono es igual al área de la base multiplicada por la altura y dividida por, compruebe que, en este caso, podemos epresar el volumen como h V R h b) Encuentre las dimensiones de este cono (el radio de la base y la altura) para que su volumen sea máimo y compruebe que se trata realmente de un máimo [,5 puntos por el apartado a;,5 puntos por el apartado b] a) Por Pitágoras: R h r r R h Como el volumen del cono es: V r h h V R h h V R h h b) El es función de la altura: V ( h) R h R h h El máimo de V (h) se da en las soluciones de V ( h) que hacen negativa a V (h) Derivando, V ( h) R h, que se anula cuando R h R h 6h R Como V ( h) h es siempre negativa, para ese valor de h se da el máimo buscado Valencia, junio Se estudió el movimiento de un meteorito del sistema solar durante un mes Se obtuvo que la ecuación de su trayectoria T es y 9, siendo 4,5 < < 8 e y, estando situado el Sol en el punto (, ) Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La distancia del meteorito al Sol desde un punto P de su trayectoria cuya abscisa es b) El punto P de la trayectoria T donde el meteorito alcanza la distancia mínima al Sol c) Distancia mínima del meteorito al Sol Nota En los tres resultados sólo se dará la epresión algebraica o el valor numérico obtenido, sin mencionar la unidad de medida por no haber sido indicada en el enunciado a) El meteorito sigue una trayectoria que es un arco de parábola; como se indica en la figura adjunta La distancia del P(, y) P, 9 al Sol, O(, ), será: d P, O 9 Es una función de : 9 d

10 ANÁLISIS (Selectividad ) b) El mínimo de d () se da en las soluciones de d ( ) que hacen positiva a d () Derivando, d, que se anula cuando = 9 En vez de hacer la segunda derivada puede verse que la función d () decrece a la izquierda de = y crece a su derecha En efecto: Si <, d () < f () decrece Si >, d () > f () crece Por tanto, en = se da el mínimo buscado P, ( ) 9, 7 El punto de mínima distancia es c) La distancia mínima es ( ) ( ) 9 8 d Valencia, junio Dada la función f definida por f ( ) sin, para cualquier valor real, se pide obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La ecuación de la recta tangente a la curva y f () en el punto de abscisa = π/6 b) La ecuación de la recta normal a la curva y f () en el punto de abscisa = π/ Se recuerda que la recta normal a una curva en un punto P es la recta que pasa por ese punto P y es perpendicular a la recta tangente a la curva en el punto P c) El ángulo formado por las rectas determinadas en los apartados a) y b) y f ( / 6) f ( / 6) / 6 a) La ecuación de la recta tangente es f ( ) sin f ( / 6) sin ; f ( ) cos 6 6 La tangente es: y y 6 b) La tangente en el punto de abscisa = π/ es: y 4 La normal será: y y 6 f ( / 6) cos 6 c) Las ecuaciones paramétricas de las rectas obtenidas son: 6 t r y r 6 v r y t, 4 t s y s 4 v s, 6 y t 6 Por tanto: vr vs (, /), cos (r, s) = cos( vr, vs ) = =,475 75,67º v v / / 4 r s

11 ANÁLISIS (Selectividad ) 4 Etremadura, junio Estudia si la recta y 4 es tangente a la gráfica de la función f ( ) en alguno de sus puntos La recta será tangente si la derivada de la función puede tomar el valor 4, que es la pendiente de la recta f ( ) f ( ) La derivada vale 4 si / La recta y 4 puede ser tangente de la curva en dos puntos, cuyas abscisas son = y = 4/ Por tanto, en los puntos P(, ) y Q( 5/, /7) Pero, para que sea tangente, además, la recta debe pasar por alguno de esos puntos Como el punto (, ) pertenece a la recta, se concluye que la recta es tangente a la curva en ese punto P(, ) (Véase la figura) 5 Etremadura, junio a) Halla, utilizando la fórmula de integración por partes, una primitiva de la función f ( ) ln b) Calcula el área de la región plana limitada por la curva y ln, la recta horizontal y =, y las rectas = y = e a) La integral ln d d ln d ln d La segunda integral se hace por partes, tomando: u ln du d ; dv d v = ln d ln d ln Luego: ln d ln d = ln c ln c b) El recinto es el sombreado en la figura adjunta e ln ( ) d ln d = e = eln e ln e ln e Por el apartado a): ln d ln ln

12 ANÁLISIS (Selectividad ) 6 Etremadura, junio a) Enuncia el teorema de Bolzano 4 b) Demuestra que alguna de las raíces del polinomio P ( ) 8 es negativa c) Demuestra que P () tiene también alguna raíz positiva a) Teorema de Bolzano: Si f () es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y toma valores de distinto signo en sus etremos ( f ( a) f ( b) o f ( a) f ( b) ), entonces eiste algún punto c (a, b) tal que f ( c) Significado geométrico: si f ( a) y f ( b), entonces la gráfica de f () corta al eje OX en un punto, al menos (Análogamente si f ( a) y f(b) <) Significado algebraico: si f ( a) y f ( b), entonces la ecuación f ( ) tiene una solución entre a y b Esa solución será el punto c cuya eistencia afirma el teorema 4 b) La función P ( ) 8 es continua en todo R Además: P ( ) 8 8 ; P ( ) 4 Por tanto, por Bolzano la función P ( ) 8 corta al eje entre y (que es un 4 número negativo) Esto es, el polinomio P ( ) 8 tiene una raíz negativa 4 c) Como P( ) y P ( ) 8 4, el polinomio P ( ) 8 tiene una raíz positiva, ente y (Si se quiere estrechar el intervalo, puede verse que como P ( ) y P ( ), se puede asegurar que entre y eiste una raíz) 7 Etremadura, junio Calcule la siguiente integral de una función racional: d Se hace por descomposición en fracciones simples Como las raíces del denominador son = y = : ( )( ), puede escribirse la igualdad: A B A( ) B( ) = ( )( ) Con esto: A B A( ) B( ) A B A B A = ; B = A B Por tanto: d d d c ln ln

13 ANÁLISIS (Selectividad ) 8 Canarias, junio a e Determina los valores de a y b para que la función f ( ) sea a bsin derivable Por separado, para cada intervalo de definición, las funciones dadas son continuas y derivables El único punto conflictivo es =, en donde las funciones difieren a izquierda y derecha En ese punto la función está definida, siendo f () e a ; para que sea continua, además, debe tener límite en = y coincidir con su valor de definición Por la izquierda: Si a, f ( ) e Por la derecha: Si +, f ( ) a bsin a Como ambos límites deben ser iguales: = a a = / Luego, la función continua es: / e f ( ) bsin Salvo en =, su derivada es: / e f ( ) bcos La función será derivable en = cuando coinciden las derivadas laterales Si /, f ( ) e Si +, f ( ) bcos b Las derivadas son iguales cuando b / e Por tanto, la función derivable es: f ( ) sin 9 Canarias, junio Resolver las siguientes integrales: 5 6sin a) d b) d 5 cos 5 5 / a) d = d = 5 ln c / = 5 ln c / b) Si se hace el cambio cos t sin d dt Además: si = π, cos t t = ; si =, cos t t = Luego: 6sin 6 d dt dt ln 5 t ln8 ln 5 cos 5 t 5 t = 4ln

14 ANÁLISIS (Selectividad ) 4 Canarias, junio a) Determinar los valores de a, b y c sabiendo que la función f ( ) a b c tiene etremos relativos en = y =, y que corta a su función derivada en = Determinar asimismo la naturaleza de los etremos (,5 puntos) b) Calcular el límite: lim (,5 puntos) a) f ( ) a b c f ( ) a b f () a b En los etremos relativos la derivada vale f ( ) 7 6a b Resolviendo el sistema se obtiene: a = y b = 9 Luego: f ( ) 9 c ; y f ( ) 6 9 Como f () y f () se cortan en el origen f ( ) f () c = 9 Por tanto f ( ) 9 9 Para determinar la naturaleza de los etremos se hace la derivada segunda y se estudia el signo en esos puntos f ( ) 6 6 Como f ( ) 8 6, en = se da un máimo relativo Como f ( ) 6, en = se da un mínimo relativo b) lim La indeterminación se resuelve multiplicando el numerador y el denominador por las epresiones conjugadas de ambos términos lim = lim = (operando) = lim = lim 4 = lim 8 4 = (simplificando)

15 ANÁLISIS (Selectividad ) 5 Canarias, junio La figura siguiente muestra un rombo inscrito dentro de un rectángulo, de forma que los vértices del rombo se sitúan en los puntos medios de los lados del rectángulo El perímetro del rectángulo es de metros Calcular las longitudes de sus lados para que el área del rombo inscrito sea máima Si es la base del rectángulo e y su altura, se tiene que: y 5 y 5 La base y la altura del rectángulo coinciden con las diagonales, D y d, del rombo, cuya área viene dada por: D d 5 5 A A( ) El máimo de A () se da en las soluciones de A ( ) que hacen negativa a A () Derivando, 5 A ( ) = 5 Como A ( ), para el valor hallado se da el máimo buscado Por tanto, se trata de un rombo inscrito en un cuadrado de lado 5 m La Rioja, junio Dependiendo de los valores de a, estudia continuidad de la función: e f ( ) si e a si La función será continua en = cuando lim f ( ) f () a e e e e e L H lim lim L H lim e e e e e = lim e e Por tanto, a = =

16 ANÁLISIS (Selectividad ) 6 La Rioja, junio Enuncia el teorema del valor medio de Lagrange Para la función: sin si f ( ) acos b si i) Estudia la derivabilidad de f () en función de a y b; epresa la función derivada f () donde eista ii) Calcula el área que determina la función f () en el intervalo [, π] Teorema de Lagrange Si f () es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces f ( b) f ( a) eiste algún punto c (a, b) tal que f ( c) b a Interpretación geométrica: eiste un punto perteneciente al intervalo en el que la tangente a f () es paralela a la secante que pasa por los puntos de abscisa a y b i) Por separado, para cada intervalo de definición, las funciones dadas son continuas y derivables El único punto conflictivo es = π, en donde las funciones difieren a izquierda y derecha Será continua cuando lim f ( ) lim f lim f ( ) lim lim f ( ) lim sin sin a cos b acos b a b Por tanto, debe cumplirse que a b a = b Será derivable cuando también se cumpla que Salvo en = π, la derivada es: Luego: lim f ( ) lim f sin cos si f ( ) asin si lim f ( ) lim sin cos ; lim f ( ) lim asin Como esos valores no son iguales, la función nunca será derivable en = π ii) Como la función f ( ) sin no es negativa en el intervalo [, π], el área pedida viene dada por el valor de la integral sin d Una primitiva se obtiene por el método de integración por partes Haciendo: = u d = du; sin d dv v sin d cos Luego, sin d cos cos d cos sin De donde: sin d = cos sin ( ) u

17 ANÁLISIS (Selectividad ) 7 4 La Rioja, junio a b si Se considera la función f ( ) 5sin cos si a) Determine el valor de b para que la función sea continua en el punto = ( punto) b) Calcule el valor de a y b para que la función sea derivable en el punto = (,5 p) a) Por separado, para cada intervalo de definición, las funciones dadas son continuas y derivables El único punto conflictivo es =, en donde las funciones difieren a izquierda y derecha Será continua cuando lim f ( ) lim f lim f ( ) lim a b b lim f ( ) lim 5sin cos Por tanto, debe cumplirse que b = a si La función continua es: f ( ) 5sin cos si b) Será derivable cuando también se cumpla que lim f ( ) lim f Salvo en =, la derivada es: Luego: f ( ) lim a a a si f ( ) 5cos sin si lim ; lim f ( ) lim 5cos sin 5 La función derivable es: 5 Madrid, junio Dada la función f ( ) 5 si f ( ) 5sin cos si, se pide: a = 5 a) ( punto) Halla las asíntotas de su gráfica b) ( punto) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f () en el punto de abscisa = a) La función tiene dos asíntotas, una vertical y otra oblicua En efecto: 7 lim La recta = es asíntota vertical Por otra parte, la recta y m n es asíntota oblicua de la curva f () cuando se cumple que: f ( ) m lim lim lim ( ) 6 9 L H 6 9 n lim La asíntota oblicua es la recta y = + 6 f ( ) m lim lim 6

18 ANÁLISIS (Selectividad ) 8 b) La ecuación de la recta tangente a f () en el punto de abscisa = es: y f ( ) f ()( ) Derivando: f ( ) f ( ) 4 8 f ( ) 8 6 ; f ( ) 8 La recta tangente es: y 8 8( ) y Madrid, junio Calcula las siguientes integrales: 4 a) ( punto) d b) ( punto) d 9 a) d = d = d d La primera integral es casi inmediata: es un neperiano; en ella hay que ajustar constantes La segunda integral también es casi inmediata, aunque algo más difícil: es un arcotangente También hay que ajustar constantes c d d ln d 9 9 / d (/) = 9 / d Por tanto: d ln 9 arctan c 9 arctan c = 4 b) d = d = d = = ln = ln ln ln 8 8

19 ANÁLISIS (Selectividad ) 9 7 Madrid, junio Dada la función f ( ) cos, se pide: a) ( punto) Determina los etremos absolutos de f () en b) ( punto) Determina los puntos de infleión de f () en / c) ( punto) Calcula f ( ) d a) Derivando: f ( ) cos f ( ) cos sin sin f ( ) sin =, = π/, = π/ Derivando otra vez: f ( ) 4cos,, Como f ( ) 4cos 4 en = se da un máimo de la función Como f ) cos f / cos / mismo para π/, en esos dos puntos la función tiene sendos mínimos ( para todo, y se cumple que b) ( ) 4cos Haciendo la derivada tercera: f ( ) 8sin Como f ( / 4) 8sin / 8 y f ( / 4) 8sin / 8 f = π/4, = π/4 puntos se da una infleión de la función cos c) Teniendo en cuenta que cos, se tiene: cos d d cos d sin cos Por tanto: / cos d = 8 Asturias, junio f ( ) a / sin u Dada la función cos k / f ( ) d (,5 puntos) f ( ) a cos Obtención de una primitiva de acos d cos d a cos d, en ambos, y lo, busque el valor del número real a sabiendo que La primera de esas dos integrales se hace por partes; la segunda es inmediata Haciendo: = u d = du; se tiene: dv cos d v sin

20 ANÁLISIS (Selectividad ) cos d sin Por tanto: sin d sin cos acosd cos d a cos d sin cos asin Luego: / / acosd sin cos asin a / Como se desea que f ( ) d a a = 9 Asturias, junio Considere las curvas f ( ) y g ( ) a) Encuentre sus puntos de intersección (,5 puntos) b) Represente el recinto limitado que encierran entre ellas ( punto) c) Encuentre el área del recinto limitado por las dos curvas ( punto) a) Se resuelve la ecuación f ( ) g( ) : = ; = ; = Los puntos de intersección serán: (, ); (, ); (, ) b) La representación se puede hacer dando más valores También podría verse que f ( ) tiene un máimo en = y un mínimo en =, pues: ( ) anula en esos puntos c) El recinto es el sombreado en la figura Su área viene dada por: A f se d A d d 4 = 4 = 4 4 Asturias, junio ln Calcule lim (,5 puntos) tan ln lim tan = (L H) = lim = d u 4 tan

21 ANÁLISIS (Selectividad ) Asturias, junio Considere la curva y 4 4 a) Halle los puntos de la curva en que la recta tangente es paralela a la recta y 4 ( puntos) b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva en = (,5 puntos) 4 a) La recta dada, y 4 y Hay que buscar los puntos de la curva en los que su derivada valga, pues ese es el valor de la pendiente de todas las paralelas a la recta dada 4 y 4 y 8 La derivada vale si 8 8 = o = 8 Si =, y = 4 punto (, 4) Si = 8, y = 84/ punto (8, 84/) b) La ecuación de la recta tangente a la curva y f () en el punto de abscisa = es: y f ( ) f ()( ) 5 Como f ( ) y f ( ), la tangente pedida es: 5 y y Asturias, junio 4 si Sea la función f : R R definida por f ( ) 4 si a) Haga un dibujo aproimado de la gráfica de la función f (,75 puntos) b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f, el eje de abscisas y la recta = (,75 puntos) a) La representación se puede hacer dando algunos valores, pues las funciones que intervienen son una recta y una parábola Algunos puntos son: Recta (, 4); (, 8) Parábola En primer lugar se observa que es continua, pues si +, f () 8 Puntos: (, ); (, ); (, ); (4, ) (Figura adjunta) b) El recinto es el sombreado en la figura Su área viene dada por: A 4 d = 8 = 8 6 u =

22 ANÁLISIS (Selectividad ) Asturias, junio Sea la parábola y 6 a) Halle la ecuación de la tangente a la gráfica de esa curva en el punto de abscisa = (,5 puntos) b) Haga un dibujo aproimado del recinto limitado por la gráfica de la parábola, el eje OY y la recta tangente hallada anteriormente (,5 puntos) c) Calcule el área del recinto anterior (,5 puntos) a) La ecuación de la recta tangente a la curva y f () en el punto de abscisa = es: y f ( ) f ()( ) y 6 y Como f ( ) 6 y f ( ), la tangente pedida es: y 6 y b) Dando valores se obtiene la figura adjunta Puntos: Parábola (, 6); (, 4); (, 4); (, 6) Tangente (, ); (, 6) El recinto es el sombreado c) Su área viene dada por: A 6 d = 6 9d = 9 9 u 4 Asturias, junio /( ) Calcule lim (,5 puntos) /( ) lim Forma indeterminada Se resuelve aplicando logaritmos (Nota: habría que eigir que + ) ln /( ) lim limln ln = lim Aplicando la regla de L Hôpital: ln lim lim /( ) Por tanto, lim e /( ) lim ln =

23 ANÁLISIS (Selectividad ) 5 País Vasco, junio Sea f la función definida por f ( ) Obtener razonadamente: 5 6 a) El dominio y las asíntotas de la función f () b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f () c) Realizar un dibujo aproimado de la gráfica de dicha función a) La función no está definida cuando 5 6 = o = Por tanto: Dom(f) = R {, } La función tiene dos asíntotas verticales Las rectas = y =, pues: lim 5 6 y lim 5 6 También tiene una asíntota horizontal, la recta y =, pues lim 5 6 Como la función, para valores muy grandes (tanto positivos como negativos) toma siempre valores positivos, se deduce que la curva se pega a la asíntota, al eje OX, por arriba b) Derivando: 5 f ( ) 5 6 Se anula en = 5/ Con esto: Si <, f () > f () crece También se deduce que la curva se pega a la asíntota hacia + Si < < 5/, f () > f () crece También se deduce que la curva aparece por Si 5/ < <, f () < f () decrece Por tanto, en = 5/ se da un máimo Además, la curva se pierde hacia Si >, f () < f () decrece También se deduce que la curva aparece por + c) Con toda la información anterior y dando algunos valores se puede trazar la gráfica adjunta Algunos valores: (, /); (, ); (5/, 8) máimo; (4, ); (5, /)

24 ANÁLISIS (Selectividad ) 4 6 País Vasco, junio La parábola y divide al rectángulo de vértices (, ), (4, ), (4, ) y (, ) en dos recintos Calcular el área de cada uno de los recintos La situación es la que se muestra en la figura adjunta El área del triángulo viene dada por la integral, 8 d = 6 u Como el área del rectángulo vale 8 u, la del recinto de 8 6 la derecha será 8 u 7 País Vasco, junio Se divide un segmento de longitud cm en dos trozos Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con otro un rectángulo en el que la base es el doble de la altura Calcula la longitud de cada uno de los trozos con la condición que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima Si es la longitud empleada en la construcción del cuadrado, para el rectángulo se emplearán cm El lado del cuadrado medirá 4, mientras que su superficie será A C 4 6 Si b es la longitud de la base del rectángulo, y a su altura, se cumple que b a ; y como b 6 a b b b y a Por tanto, el área del rectángulo será: A R La suma de ambas áreas es: A( ) 6 8 El mínimo de A () se da en las soluciones de A ( ) que hacen positiva a A () Derivando: A ( ) se anula si Como A ( ), para el valor hallado de se da el mínimo buscado Las longitudes de cada trozo será:, para el cuadrado;, para el rectángulo

25 ANÁLISIS (Selectividad ) 5 8 País Vasco, junio a b Calcula la siguiente integral d 5 6, en función de a y de b Por descomposición en fracciones simples: a b A B A( ) B( ) = 5 6 ( )( ) Luego: a b A( ) B( ) a b A B A B Por tanto: a A B a A B B a b ; A a b b A B b A B Con esto: a b a b a b d d d a b ln a b ln 5 6 = k 9 País Vasco, julio Una franquicia de tiendas de electrónica ha estimado que sus beneficios semanales (en miles de euros) dependen del número de tiendas n que tiene en funcionamiento de acuerdo con la epresión: B ( n) 4nn 5n 4 Determina razonadamente: a) El número de tiendas que debe tener para maimizar sus beneficios semanales b) El valor de dichos beneficios máimos a) El máimo de B (n) se da en las soluciones de B ( n) que hacen negativa a B (n) Operando y derivando: B( n) 4nn 5n 4 8n 6n 96n B ( n) 4n n 96 ; B ( n) n 5n 4 n = o n = 4 Derivando otra vez: B ( n) 48n Como B ( ) y B ( 4), el máimo buscado se da cuando n = 4 b) Para n = 4, B(4) euros

26 ANÁLISIS (Selectividad ) 6 4 País Vasco, julio Dadas las funciones: f ( ), g( ) 9, h( ) 5 a) Dibujar el recinto finito, en el primer cuadrante, limitado por las tres gráficas b) Calcular el área de dicho recinto a) Las funciones dadas pueden representarse dando valores f ( ) es una hipérbola Puntos: (, ); (, /); (5, /5); (/5, 5) g( ) 9 es una recta Puntos: (, ); (, 9) h( ) 5 es otra recta Puntos: (, ); (, 5) Corte de la hipérbola con las rectas (en el primer cuadrante): 9 9 = / Punto C(/, ) 5 5 = /5 Punto A(/5, 5) El recinto es el sombreado en la figura adjunta Hago un cambio de escala para apreciar mejor los detalles b) El área del recinto sombreado Se puede encontrar como sigue: Área del recinto ABC = área del triángulo OAB + área del recinto de etremos BACD área del triángulo OCD El área del recinto BACD es igual a: / / 5 d = ln ln ln ln ln5 ln / 5 / 5 5 (/5) 5 El área del triángulo OAB = (/) El área del triángulo OCD = 5 5 Por tanto, el área pedida vale ln ln u

27 ANÁLISIS (Selectividad ) 7 4 País Vasco, julio Dadas la función: f ( ) A B C a) Hallar los valores de los parámetros A, B y C para que f tenga un etremo en = y otro en = Son únicos dichos parámetros? b) Determinar de qué tipo de etremo se trata (máimo o mínimo) c) Representar f en el caso C = a) Derivando: f ( ) A B C f ( ) A B Si f tiene etremos en = y en = f ( ) ; f ( ) Por tanto: B ; 4A A = El parámetro C no puede determinarse; por tanto puede tomar cualquier valor Luego, la función será f ( ) C b) Haciendo la derivada segunda: f ( ) 6 6 Como f ( ) 6, en = se tiene un máimo relativo Como f ( ) 6, en = se tiene un mínimo relativo Puede hacerse notar que en =, f ( ) Se da un punto de infleión c) Para C =, la función es f ( ) Corta al eje OX en las abscisas = y = El máimo relativo se da en el punto (, ); su mínimo relativo, en (, 4) Otros puntos son: (, 4); (, ), PI Su gráfica es la adjunta 4 País Vasco, julio Eplicar en qué consiste el método de integración por partes y aplicarlo para calcular las siguientes integrales ln( ) d y cos( ) d ln( ) d Tomando: u ln du d ; dv d v Se tiene: ln( ) d = ln d ln d ln c 4 cos( ) d Haciendo: = u d = du; dv cos d v sin Se tiene: cos d sin sind sin cos c 4

28 ANÁLISIS (Selectividad ) 8 4 UNED, junio ln7 Se considera la función f ( ) Estudie el dominio, asíntotas, crecimiento, posibles puntos de máimo y mínimo relativo y haga un dibujo aproimado de la gráfica de la función f Nota: ln designa el logaritmo neperiano de La función está definida sólo para valores de >, pues así lo eige el logaritmo Asíntotas: ln7 ln lim La recta = es una asíntota vertical de la curva; que tiende hacia por la derecha del ln7 lim L H lim La recta y = es asíntota horizontal de la curva; que tiende hacia por encima de la asíntota, pues toma valores positivos Crecimiento: ln7 ln7 ( ) f se anula cuando ln7 7 e e Si, f ( ) f () es creciente 7 e Si, f ( ) f () es decreciente 7 En consecuencia, en e la función tiene un 7 máimo (absoluto) No tiene mínimo e El valor de la función en es 7 lne 7 f ( e / 7),56 e/ 7 e 44 UNED, junio d Calcule Operando la epresión Por tanto: d d = 8 c = e 7

29 ANÁLISIS (Selectividad ) 9 45 UNED, junio 6 Sea la función f ( ) Estudie el dominio, asíntotas, crecimiento, posibles 6 5 puntos de máimo y mínimo relativo y haga un dibujo aproimado de la gráfica de la función f 6 La función está definida en todo R, pues 5 para todo Asíntotas: 6 lim 6, pues el numerador y el denominador tienen el mismo grado y el 5 mismo coeficiente principal Por tanto, la recta y = es asíntota horizontal de la curva; que tiende hacia por debajo de la asíntota, pues el denominador siempre vale más que el numerador Crecimiento: f ( ) se anula cuando Si <, f ( ) f () es decreciente Si >, f ( ) f () es creciente En consecuencia, en la función tiene un mínimo (absoluto) No tiene máimos En =, f ( ) Otros puntos son: (, 64/69); (, /6); (, /6); (, 64, 69) Puede observarse que la función es par, simétrica respecto del eje OY Su gráfica es la siguiente

30 ANÁLISIS (Selectividad ) 46 UNED, junio Calcule e d cos Para calcular e d cos hay que aplicar dos veces el método de integración por partes ) Haciendo: u e y dv cos d du e d ; v sin Luego: e cos d = e sin e sin d La segunda integral, e sin d, también debe hacerse por el método de partes ) Tomando: u e y dv sin d du e d ; v cos Luego: e d cos = e sin e sin d = e sin e ( cos ) e ( cos ) d e d cos = e sin e cos e cos d Pasando la integral del segundo miembro al primero: e cos d = e sin e cos Por tanto, e d cos = e (sin cos ) c