TERCER EXAMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II

Transcripción

1 TERCER EXAMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II FILA A //8 NOTA IMPORTANTE: Para obtener la puntuación máima, es necesario que, además de no equivocarte en el desarrollo del proceso: º.- Epliques brevemente los diferentes pasos que vas dando al resolver cada apartado. º.- Todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. 3º.- Al final de cada apartado escribas de forma clara y precisa las respuestas. Cada error en la utilización de la simbología matemática se penalizará con,5 puntos hasta un máimo del % de la nota total. La misma penalización se aplicará sino se eplican correctamente, o se omiten, los procesos y métodos utilizados. Ejercicio º.- Se considera la función f :( O, ) R dada por: f ( ) Ln( ) a) ( puntos) Calcula los etremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de la función f en el intervalo,e. e b) (,5 puntos) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = e. SOLUC: a) En el intervalo la función f tiene un MÁXIMO ABSOLUTO en el punto (/e, e - ) y un MÍNIMO ABSOLUTO en el punto,e e de coordenadas (, ) b) La ecuación eplícita de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = e es: e y e e Ejercicio º.- Considera la región limitada por la gráfica de la función f ( ) para, la recta y = 5 y el eje de abscisas. a) (,75 puntos) Esboza la gráfica de la región mencionada y halla los puntos de corte entre la gráfica de f y las rectas. b) (,75 puntos) Epresa mediante integrales el área del recinto anterior. c) ( punto) Calcula el área de dicho recinto. SOLUC: a) Un solo punto de corte entre la gráfica de f y la recta y = 5 y las coordenadas de dicho punto son: (9, 4). Un solo punto de corte entre la gráfica de f y el eje de abscisas (y = ) y las coordenadas de dicho punto son: (, ). b) 9 9 A d ( 5) d 5 c) 4 A u 3 Ejercicio 3º.- Considera la integral definida: 8 d a) (,5 puntos) Eprésala en función de la variable t, siendo: t b) (,5 puntos) Calcula el valor de dicha integral. SOLUC: a) 8 5t 4 d dt 3 t (observa como han cambiado los límites de integración con la nueva variable) b) t d dt 4 4 Ln(5) 4 Ln(3) 4 Ln(5) Ln(3) 4 Ln( ) 4 Ln( ) t Ejercicio 4º.- (,5 puntos) Una cuerda de m de longitud se divide en dos trozos con los que se construyen un cuadrado y una circunferencia respectivamente. Determina, si es posible, las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima. SOLUC: Relación entre variables: r 4 (siendo la longitud de cada lado del cuadrado y r el radio de la circunferencia)

2 Función a optimizar: Suma de las áreas de las dos figuras 4 4 A( ) 4 El trozo de cuerda con el que formamos el cuadrado debe tener una longitud de: m, m cm El trozo de cuerda con el que formamos la circunferencia debe tener una longitud de: m, m cm Ejercicio 5º.- Se sabe que la función f : R R es continua, siendo: 3 si f ( ) a cos( ) si a b si a) (,5 puntos) Determina los valores de a y b. b) (,5 puntos) Estudia la derivabilidad de f y calcula su función derivada. SOLUC: a) a = y b = - b) La función f es derivable en R {} y su función derivada es: 3 si f '( ) sen( ) si si RESPUESTA APARTADO A Como la función f es continua en R, también tiene que serlo en los puntos de ruptura = y = π. º.- Apliquemos que f() es continua en = : Como f() es continua en =, los límites laterales de la función en dicha abscisa tienen que ser finitos e iguales, es decir: Calculemos los límites laterales y los igualamos: lim f ( ) lim 3 lim f ( ) lim a cos( ) lim f ( ) lim 3 a a a lim f ( ) lim a cos( ) a º.- Apliquemos que f() es continua en = π: Como f() es continua en = π, los límites laterales de la función en dicha abscisa tienen que ser finitos e iguales, es decir: lim f ( ) lim a cos( ) lim f ( ) lim a b Calculemos los límites laterales y los igualamos (teniendo en cuenta que a = ): lim f ( ) lim cos( ) cos( ) ( ) lim f ( ) lim b b b b RESPUESTA APARTADO B La epresión 3 + es una función polinómica, que es continua y derivable en todo su dominio que es R. Por tanto la función f es continua y derivable en el intervalo (-, ) y su derivada vale 3. La epresión +.cos() es una la suma de dos funciones, una función polinómica y una trigonométrica, que es continua y derivable en todo su dominio que es R. Por tanto la función f es continua y derivable en el intervalo (, π) y su derivada vale.sen().

3 La epresión - es una función polinómica, que es continua y derivable en todo su dominio que es R. Por tanto la función f es continua y derivable en el intervalo (π, ) y su derivada vale. Veamos si la función también es derivable en los puntos de ruptura, = y = π. Derivabilidad en = Para que la función sea derivable en =, la función tiene que ser continua en este punto, que lo es, y sus derivadas laterales en dicho punto tienen que coincidir. Calculemos las derivadas laterales en = y veamos si coinciden: f f '( ) lim '( ) lim 3 3 f f sen sen '( ) lim '( ) lim ( ). () f'( ) 3 f'( ) La función f() NO es derivable en =. Derivabilidad en = π Para que la función sea derivable en = π, la función tiene que ser continua en este punto, que lo es, y sus derivadas laterales en dicho punto tienen que coincidir. Calculemos las derivadas laterales en = π y veamos si coinciden: f '( ) lim f '( ) lim. f '( ) lim f '( ) lim sen( ) sen( ) f'( ) f'( ) La función f() SI es derivable en = π. CONCLUSIÓN: La función es derivable en R {} y su función derivada es: 3 si f '( ) sen( ) si si TERCER EXAMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II FILA B //8 Ejercicio º.- Considera la función definida por f( ) para - y ( )( ) a) ( punto) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f. b) ( punto) Determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de f y calcula los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) (,5 puntos) Calcula si eiste algún punto de la gráfica de f dónde esta corte a su asíntota horizontal. SOLUC: a) AV: Hay dos cuyas ecuaciones son = - y = ; AH: Hay una a ambos lados de ecuación y = ; AO: No hay, pues hay horizontal a ambos lados. b) Decrece: (-, 4)U(,)U(, ) Crece: (-4,-)U(-,)

4 Hay un mínimo relativo en el punto (-4, 6/9) y un máimo relativo en el origen de coordenadas, es decir, en el punto (,) Ejercicio º.- (,5 puntos) Se quiere hacer una puerta rectangular coronada por un semicírculo (puerta normanda). El hueco de la puerta tiene que tener 6 m. Si es posible, determina la longitud de la base de la puerta para que el perímetro sea mínimo. SOLUC: Relación entre variables: 8 6 h h (siendo y h lo indicado en la figura) 8 Función a optimizar: Perímetro de la puerta P(,h ) h P( ) 4 4 La base de la puerta debe medir: 8 m 4, 3m 4 Ejercicio 3º.- Considera el recinto del primer cuadrante limitado por el eje OX, la recta y =, la gráfica de la función f( ) 3 (para ) y la recta = 3. a) (,5 puntos) Haz un esbozo del recinto descrito. b) (,5 puntos) Calcula el área de dicho recinto. c) (,5 puntos) Si consideras la gráfica de la función g ( ) en lugar de la de f( ) 3, el área del recinto correspondiente será mayor o menor? Por qué? SOLUC: b) A d d u c) El área será mayor, pues basta con dibujar la región delimitada con la función g para ver que la segunda región es mayor. Ejercicio 4º.- (,5 puntos) Determina la función f : R R de la que se sabe que que su gráfica pasa por el origen de coordenadas y que tiene un etremo relativo en =. f ''( ).e, SOLUC: ( ) f e e Ejercicio 5º.- (,5 puntos) Halla a y b sabiendo que es continua la función f : R R definida por: cos( ) a e si f( ) b si SOLUC: a = y b = - RESPUESTA Como la función f es continua en R, también lo tiene que ser en =. Y para que la función sea continua en =, deben de cumplirse tres condiciones: ª. Que eista f(), y ente caso eiste y vale b: f ( ) b ª. Que eista el límite de la función en = y que este límite sea finito: 3ª. Que ambos valores coincidan: Lim f ( ) f ( ) b Lim f ( )

5 En resumen, la función f en = tiene límite, es finito y vale b. Calculemos dicho límite: cos( ) a e cos( ) a e Lim f ( ) Lim (IND. TIPO L'HOPITAL) ' ' Lim cos( ) a e...