PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 7 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 3, Ejercicio, Opción A Reserva 3, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Sean f : y g : las funciones definidas mediante 3 f ( ) 3 y g( ) 3 a) Esboza las gráficas de f y de g calculando sus puntos de corte. b) Calcula el área de cada uno de los dos recintos limitados entre las gráficas de f y g. MATEMÁTICAS II. 7. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Para dibujar la función con los ejes. f ( ) 3 3, vamos a calcular sus etremos relativos y puntos de corte f f ''( ) 6 6 f ''() 6 mínimo (,) f ''( ) 6 Máimo (, 4) '( ) 3 6 ; La función corta al eje X en (,) y( 3,). Para dibujar la función g( ) 3, basta con hacer una tabla de valores, ya que es una recta. Vemos claramente en el dibujo que las funciones se cortan en los puntos: ( 3,) ; (, ) y (,4) b) A ( 3 ) ( 3) d ( 3 3) d 3 4u A ( 3) ( 3 ) d ( 3 3) d 3 4u 4 3

3 Dada la función f : definida por f ( ) Ln( ), halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas (Ln denota la función logaritmo neperiano). MATEMÁTICAS II. 7. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B Ln( ) d Ln( ) d Ln( ) d d Ln( ) arc tg C dv d; v u Ln( ); du d De todas las primitivas de f() F( ) Ln( ) arctg C nos piden la que pasa por el punto (,), luego: F Ln arc tg C C () ( ) Por lo tanto, la primitiva que nos piden es: Ln( ) arc tg

4 Considera Sea las funciones f : y g : definidas por f ( ) g( ) e a) Esboza las gráficas de f y de g y determina su punto de corte. b) Calcula el área del recinto limitado por el eje OY y las gráficas de f y g. MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA. EJERCICIO.OPCIÓN A. e y a) La gráfica de f ( ) e, es eactamente igual que la de e pero desplazada una unidad a la derecha en abscisas OX (en negro). Como g( ) e e e, sabemos que la gráfica de e es eactamente igual que la de e pero simétrica respecto al eje de ordenadas OY, y al estar multiplicada por e, está dilatada a lo largo de dicho eje OY. En concreto si =, g() = e, por tanto un esbozo de dichas gráficas es Para encontrar el punto de corte igualamos las funciones cual el punto de corte es (,). e e, con lo A e e d e e e e u e e b)

5 Sea f : la función definida por f ( ) ( 3). a) Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Haz un esbozo de la gráfica de f. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA. EJERCICIO.OPCIÓN B. a) Calculamos la derivada de la función 3 f ( ) ( 3) ( 6 9) 6 9 f '( ) 3 9 ; 3,,3 3, Signo y ' + + Función C D C Máimo (,4) mínimo (3,) b) Para hacer un esbozo de la gráfica calculamos los cortes con los ejes. Puntos de corte (, ) y (3, ) c) A ( 6 9 ) d u

6 Sea I d. e a) Epresa I haciendo el cambio de variable t e. b) Calcula I. MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA. EJERCICIO.OPCIÓN A. a) t e dt e d d dt dt I d e t t t b) dt A B I d dt dt ln( t) ln t ln( e ) ln e C ln( e ) C e t t t t A B At B( t) t B B t t t t ( t) t t A A

7 Sea f : (,) la función definida mediante a) Determina y sabiendo que f es derivable. si f( ) si b) Calcula f ( ) d. MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA. EJERCICIO.OPCIÓN B. a) Para que sea derivable, primero tiene que ser continua en, luego: lim lim Estudiamos la derivabilidad de f() en si f '( ) si f '( ) f '( ) Sustituyendo en la ecuación anterior nos queda: 3 b) d ln ln

8 si Sea f : la función definida por f( ) e si a) Determina el valor de sabiendo que f es derivable. b) Haz un esbozo de la gráfica de f. c) Calcula f ( ) d. MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Estudiamos la derivabilidad de f() en si f '( ) e si f '( ) f '( ) b) Para hacer un esbozo de la gráfica tenemos en cuenta que es una recta y con dos puntos nos basta para dibujarla, en concreto (,) y (, ). La gráfica de e es eactamente igual que la de la eponencial de ordenadas OY. Un esbozo sería: e pero simétrica respecto al eje c) ( ) d e d e e 5 e

9 Calcula 3 4 a) d b) 4 cos d MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) d d d d 4 d ln 4arctg C b) Calculamos primero la integral por partes sen sen cos d sen d cos 4 u ; du d dv cos d; v sen Ahora, calculamos la integral que nos piden: 4 4 sen cos d cos 4 8 4

10 Calcula Sea para que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f : y g : definidas por f ( ) g( ) sea 7 (unidades de área). MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. y La gráfica de f ( ) Como, la gráfica de es una parábola que tiene su vértice en (,) y las ramas hacia arriba. g( ) es igual que la de respecto el ej OX) pero desplazada hacia arriba conjuntas son: (como la de pero simétrica en OY. Aunque no lo piden las gráficas Para encontrar el punto de corte igualamos las funciones ; d

11 Sea Sea f : la función definida por f ( ). a) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. b) Dibuja el recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y el eje OX. Calcula su área. MATEMÁTICAS II. 7. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) La ecuación de la recta tangente en es: y f () f '() ( ) - f () - f '() Luego, la recta tangente es: y ( ) y b) Un esbozo de la gráfica de ambas funciones es: Las funciones se cortan en el punto (, ) El área pedida es: 3 ( ) A d d u

12 Sea Sea f : la función definida por f ( ). a) Estudia la derivabilidad de f en. b) Esboza la gráfica de f. c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II. 7. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. si a) Lo primero que hacemos es abrir la función. f ( ) si Las funciones y por ser polinómicas son continuas y derivables en. En el único punto donde puede haber problemas es en, que es el punto donde cambiamos de una a otra. Vamos a estudiar la continuidad y derivabilidad en Veamos la continuidad de f() en : ) f () ) 3) lim ( ) f lim ( ) lim ( ) f () lim f ( ) Por lo tanto, la función es continua en Estudiamos ya la derivabilidad de f(), en particular en si f '( ) f '( ) f '( ) f '( ) si f '( ) b) No derivable c) El área pedida será: A ( ) d 4 u 3 3 3

13 Sea f : (, ) la función definida por f ( ) Ln( ). (Ln denota la función logaritmo neperiano). a) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida en el apartado anterior y la recta. MATEMÁTICAS II. 7. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) La recta tangente en es y f () f '() ( ) f () Ln f '( ) f '() Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y ( ) y b) El área de la región pedida es: 3 A ( Ln( )) d Ln( ) Ln( ) Ln u Ln( ) d Ln( ) d Ln( ) d Ln( ) Ln( ) u Ln( ); du d dv d; v