2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN

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1 2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN 1.) Resuelve las siguientes derivadas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) f(x) = arcsen 2.) Resuelve la siguiente derivada, simplificando al máximo y, si es necesario, utilizando la fórmula fundamental de la trigonometría: 1= sen 2 x + cos 2 x 3.) Determina los valores de las constantes A, B, C y D para los cuales la función tiene tangente horizontal en el punto (0,4) y además su derivada segunda es: f (x) = 3sen x ) Considera la función definida por f (x) = (x + 1) (x - 1) (x - 2) Halla la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. 5.) Hallar la ecuación de la tangente a la curva f(x) = x2-3x + 4 paralela a la recta y = 3x 2. 6.) Calcular derivada de en x = 2, utilizando la definición de derivada. 7.) Dibujar la gráfica de la función f(x) = indicando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y asíntotas. 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 1

2 8.) Sea f : R R la función definida por f (x) = (5x + 8) / (x 2 + x + 1). a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados. b) Halla las asíntotas de la gráfica de f. c) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). d) Esboza la gráfica de f 9.) Representar la siguiente función calculando previamente el dominio, simetría, puntos de corte con los ejes, asíntotas, crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, concavidad y convexidad y puntos de inflexión: 10.) Sea f : R R la función definida por. a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). c) Esboza la gráfica de f 11.) a) Halla los valores de a y b para que la gráfica de la función pase por el punto (1, - 3) y tenga el punto de inflexión en x = - 1. b) Halla los intervalos de monotonía y los extremos relativos de la función definida por 12.) De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima. 13.) Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo. 14.) En un terreno con forma de semicírculo de radio metros, se dibuja un rectángulo que tiene dos vértices sobre la semicircunferencia del perímetro del terreno. Los otros dos vértices del rectángulo están sobre el segmento rectilíneo de dicho perímetro y distan x metros. Obtener razonadamente: a) El área del rectángulo en función de x (1,3 puntos) b) El valor de x para el que es máxima el área del rectángulo. (2 puntos) 15.) Estudiar si se verifica el teorema de Rolle en el intervalo [0, 3] de la función: 16.) Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = ln (5 x 2 ) en el intervalo [ 2, 2]? 17.) Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = x 3 en [ 1, 2]? 18.) Comprobar si se cumplen las hipótesis del teorema de Cauchy para las funciones f(x) = x 3 y g(x) = x + 3 en el intervalo [0, 2]. 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 2

3 19.) De la función se sabe que f (2) = 0 y que: a) Determina f. b) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0,1). 20.) Halla una función F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2 tome el valor ) Calcula: a) b) 22.) De la función se sabe que f (2) = 0 y que: a) Determina f. b) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0, 1). 23.) Halla la función f definida en todo número real que verifica las dos condiciones siguientes: a) b) Su gráfica pasa por el punto (0, 2). 24.) Calcula las siguientes integrales: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 3

4 SOLUCIONES: 1.) a) b) c) d) e) 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 4

5 f) g) h) i) j) 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 5

6 k) l) m) n) o) 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 6

7 p) q) r) f(x) = arcsen => f (x) = 2.) Simplificada la expresión realizamos la derivada: Tal como pide el enunciado, debemos operar y simplificar el resultado todo lo posible: De la ecuación fundamental de la trigonometría: y simplificando quedará: 3.) 1. Tiene tangente horizontal en el punto (0,4). Por tanto f (0) = 4, ya que el punto (0,4) es un punto por el que pasa la función, y f'(0) = 0, ya que al tener tangente horizontal en x=0, la derivada en ese punto debe coincidir con la pendiente de la recta tangente en ese punto y, como se sabe, las rectas horizontales tienen pendiente nula. 2. Si la derivada segunda es f''(x)=3sen x - 10, debe ocurrir que cuando realicemos la derivada segunda de f (x), la expresión que resulte deberá tener como coeficiente de senx un 3 y como término independiente un Convertimos todas estas condiciones en ecuaciones: 1. f (0) = 4, luego f (0) = A sen 0 + B 0 + C 0 + D = D, por tanto D = f'(0) = 0, hallamos primero f'(x): f'(x) = A cos x + 2B x + C. 3. f'(0) = A cos 0 + 2B 0 + C = A + C, por tanto A + C = f''(x) = 3sen x-10; hallamos f''(x) derivando f'(x): f''(x) = -A sen x + 2B, por tanto A = 3 y 2B = -10. Resolvemos el sistema de 4 ecuaciones: 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 7

8 4.) La ecuación de la recta tangente a una función en un punto es de la forma: y- f(a) = f' (a).(x - a) Los datos que necesitamos calcular para completar la fórmula son f(a), que es la coordenada y del punto de tangencia y f'(a), que es la pendiente de la recta tangente. Operamos los productos de la función f (x), pues será más fácil hallar f (a) y f (x): En la expresión polinómica calculamos f (a), f'(x) y f'(a). Así pues: Sustituimos estos resultados en la ecuación de la recta tangente y obtenemos: la recta tangente resulta:. En cuanto a la recta normal, se trata de una recta perpendicular a la recta tangente, que pasa por el mismo punto de tangencia. Lo único que varía en la expresión de la ecuación anterior es la pendiente. Dos rectas perpendiculares deben cumplir que el producto de sus pendientes es -1, o lo que es lo mismo, que la pendiente de una de ellas es la inversa y opuesta de la otra. Por tanto, la pendiente de una recta normal coincide con, siendo a la coordenada x del punto de tangencia. Por tanto la expresión de la ecuación de la recta normal es: Luego sustituyendo: 5.) Para que dos rectas sean paralelas tienen que tener la misma pendiente m = m (si fueran perpendiculares debería ocurrir que el producto de las dos pendientes fuera -1, es decir m = -1/m). Calculamos la derivada de la función: f (x) = 2x -3. Como la ecuación de la recta tangente es y-f(a) = f (a) (x-a) y tiene que ser paralela a y = 3x -2, la derivada tiene que ser igual a 3 => 2x -3 = 3 => 2x = 6 => x=3 por lo tanto en el punto x=3 la función tiene una tangente paralela a 3x-2. Veamos cuál es el valor de f(3) = 4, así pues tenemos que la función pasa por el punto (3,4) y en ese punto la tangente es paralela a y= 3x -2 => como la ecuación es y f(a) = f (a) (x-a), sustituyendo los valores que conozco: y -4 = 3(x- 3) => y = 3x => y= 3x- 5 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 8

9 6.). Nota: También se podía haber sustituido la x por el valor 2 desde un principio. 7.) Dom(f) = R {1} Asíntotas: Tiene una asíntota vertical, la recta x = 1, pues cuando x 1, f(x) + y cuando x 1+, f(x). La recta y = 2 es una asíntota horizontal, pues cuando x, f(x) 2+ (la curva va por encima de la asíntota.) cuando x +, f(x) 2 (la curva va por debajo de la asíntota.) Crecimiento: Como la derivada es positiva para todo x de su dominio, la curva es siempre creciente. Su gráfica es la siguiente: 8.) (a) Corte con los ejes Para x = 0, punto (0,f(0)) = (0, 8) Para f(x) = 0, tenemos 5x + 8 = 0, de donde x = -8/5. Punto (-8/5, 0) (b) Asíntotas Resolvemos el denominador igualado a cero x 2 + x + 1 = 0, y vemos que no tiene ninguna solución real, por tanto la función no tiene asíntotas verticales (A.V.) 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 9

10 Como, la recta y = 0 es una asíntota horizontal (A.H.) de la gráfica de f tanto en + como en -. Veamos su posición relativa. Como, f(x) está por encima de la A.H. en +. Como, f(x) está por debajo de la A.H. en -. (c) Monotonía. Estudio de f (x) f (x) = (5x + 8) / (x 2 + x + 1) f (x) = [5(x 2 + x + 1) - (5x + 8)(2x + 1)] / (x 2 + x + 1) 2 = (-5x 2 16x 3) / (x 2 + x + 1) 2 Los posibles máximos o mínimos relativos son las soluciones de f (x) = 0 f (x) = 0, de donde -5x 2 16x 3 = 0. Resolviéndolo se obtiene x = -1/5 y x = -3. Como f (-4) = -19/(+) < 0, f(x) es estrictamente decreciente en (-, -3) Como f (-2) = 9/(+) > 0, f(x) es estrictamente creciente en ( -3, -1/5) Como f (0) = -3/(+) < 0, f(x) es estrictamente decreciente en (-1/5, + ) Por definición x = -3 es un mínimo relativo que vale f(-3) = - 1 Por definición x = -1/5 es un máximo relativo que vale f(-1/5) = 25/3 (d) Esbozo de la gráfica de f Teniendo en cuenta los apartados anteriores la gráfica sería 9.) Dominio : Simetría: Puntos de corte con OX: Punto de corte con OY: 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 10

11 Asíntota horizontal: Asíntotas verticales: Asíntota oblicua: ; Crecimiento y decrecimiento: Creciente: ; Decreciente: Mínimos: Concavidad y convexidad: Cóncava: ; Convexa: Puntos de inflexión: 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 11

12 Representación gráfica 10.) (a) Asíntotas Calculamos el límite cuando x tiende a ± para ver si tiene asíntotas horizontales. Verticales no tiene puesto que no hay ningún número que anule el denominador, al ser el denominador una exponencial, que como sabemos no se anula nunca. Le aplicamos la regla de L Hôpital, (( si "f" y "g" son funciones continuas en [a -δ, a + δ ], derivables en (a -δ, a + δ ), verificando que f(a) = g(a) = 0 y, entonces si existe se verifica que = que:. Haciendo un cambio de variable se puede aplicar a / )) tenemos Por tanto La recta y = 0 es una asíntota horizontal (AH) de f(x) en +, y también en - puesto que también Como, la función f(x) esta por encima de la AH en ± (b) Para ver el crecimiento y decrecimiento de f(x) estudiamos su primera derivada f (x). 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 12

13 f (x) = 0, por tanto Como siempre, por ser una exponencial, lo que es cero es 2x 2x 3. 0 = 2x 2x 3 = 2x (1 x 2 ). Por tanto las soluciones de f (x) = 0 son x = 0, x = - 1 y x = +1. Como f (- 2) > 0, f(x) crece en (-, - 1) Como f (- 0 1) < 0, f(x) decrece en (- 1, 0) Como f (+ 0 1) > 0, f(x) crece en (0, +1) Como f (+ 2) < 0, f(x) decrece en (1, + ) Por definición x = -1 y x = + 1, son máximos relativos y valen f(- 1) = f(1) = 1 e -1 = 1 / e Por definición x = 0 es un mínimo relativos y vale f(0) = 0 e 0 = 1 0 = 0. (c) Teniendo en cuenta los apartados (a) y (b) la gráfica de la función f(x) es 11.) a) Calculemos las derivadas y apliquemos en ellas las condiciones que el enunciado indica: Luego, a = 1 y b = - 2. b) Para hallar los intervalos de monotonía derivamos y estudiamos el signo de la función derivada: Y podemos asegurar que, la función es creciente en el intervalo y decreciente en (0, 2). Tendremos por tanto un mínimo en x = 0, punto del plano (0, 7) y un máximo en x = 2, punto del plano (2, 3). 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 13

14 Estudiamos ahora la posibilidad de punto de inflexión, para ello, calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: Luego, x = 1 es un punto de inflexión. 12.) De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima. La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo: Relacionamos las variables: 2x + 2y = 12 x = 6 y Sustituimos en la función: Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces. Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero. 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 14

15 Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo. La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilatero. 13.) S = 22 > 0 => es mínimo 14.) a) Tenemos el siguiente esquema: 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 15

16 Y en el triángulo rectángulo de catetos h y x/2 e hipotenusa r = el Teorema de Pitágoras:, tenemos por Y el área del rectángulo: A = b h = en función de x como se ha pedido. b) El valor de x que maximiza el área será, derivando e igualando a cero: 200-2x 2 = 0 x 2 = 100 x = 10 m Para ese valor la altura y el área son, respectivamente: h = = 5 m A = 10 5 = 5 m 2 Falta demostrar que el valor obtenido para x da un máximo y no un mínimo, lo haremos por el criterio de la derivada segunda: Y para x = 10: A (10) = -2 < 0 y efectivamente se trata de un máximo. 15.) Estudiar si se verifica el teorema de Rolle en el intervalo [0, 3] de la función: En primer lugar comprobamos que la función es continua en x = 1. En segundo lugar comprobamos si la función es derivable en x = 1. 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 16

17 Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en el intervalo (0, 3) y por tanto no se cumple el teorema de Rolle. 16.) Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = ln (5 x 2 ) en el intervalo [ 2, 2]? En primer lugar calculamos el dominio de la función. La función es continua en el intervalo [ 2, 2] y derivable en ( 2, 2), porque los intervalos están contenidos en. Además se cumple que f( 2) = f(2), por tanto es aplicable el teorema de Rolle. 17.) Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = x 3 en [ 1, 2]? f(x) es continua en [ 1, 2] y derivable en ( 1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio: 18.) Comprobar si se cumplen las hipótesis del teorema de Cauchy para las funciones f(x) = x 3 y g(x) = x + 3 en el intervalo [0, 2]. Las funciones f(x) y g(x) son continuas en el intervalo [0, 2] y derivables en (0, 2), por ser funciones polinómicas. Y además g(0) g(2). Como g' (0) = 0 no se puede aplicar el teorema de Cauchy. 19.) a) Como conocemos la función f', sabemos que la función f será una primitiva de f': 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 17

18 Calculamos el valor de la constante de integración que verifica f (2) = 0: Luego: b) La primitiva de f'(x) es la misma, solo cambiará la constante de integración. Como la información de este apartado es que pasa por (0,1) se entiende que f (0) = 1: Luego: 20.) Halla una función F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2 tome el valor ) a.) Calculamos el límite: La regla de nos dice que si f (x) y g (x) son dos funciones continuas y derivables y y entonces: Aplicamos la regla de Aplicamos la regla de nuevamente: 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 18

19 b.) Resolver: c.) Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo miembro tenemos: 22.) a) Como conocemos la función f', sabemos que la función f será una primitiva 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 19

20 de f': Calculamos el valor de la constante de integración que verifica f (2) = 0: Luego: b) La primitiva de f'(x) es la misma, solo cambiará la constante de integración. Como la información de este apartado es que pasa por (0, 1) se entiende que f (0) = 1: Luego: 23.) a) Como conocemos la función f', sabemos que la función f será una primitiva de f', pero para que se cumpla que el punto (0, 2) es punto de la función, será necesario calcular el valor que debe tomar la constante de integración en dicho caso.en cuanto a la integral a resolver, se trata de un producto que debemos resolver por el método de integración por partes y en el que además tendremos que aplicar en dos ocasiones ya que el factor polinómico es de grado 2.Resolveremos la integral por la expresión: Asignamos las siguientes variables: por tanto: Como ya adelantamos antes, para resolver la integral nuevamente el método por partes, asignando:, aplicamos Retomando la integral: b) Una vez resuelta la integral, obtenemos la constante de integración exigiendo la condición de que el punto (0, 2) pertenezca a la función, es decir, que se cumpla f (0) = 2: luego: Y la función buscada es: 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 20

21 24.) a) b) Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1. 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 21

22 c.) Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación. d.) 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 22

23 e.) Se efectúa la suma: Como las dos fracciones tienen el mismo denominador, los numeradores han de ser iguales: Calculamos los coeficientes de A, B y C dando a la x los valores que anulan al denominador. 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 23

24 f.) Para calcular los valores de A, B y C, damos a x los valores que anulan al denominador y otro más. g) 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 24

25 h) i) j) 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 25

26 k) l) m) 2º Bachillerato: Ejercicios de repaso 1ª evaluación Página 26