SELECTIVIDAD APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS

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1 SELECTIVIDAD APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Septiembre 008: Calcula los valores del número real a sabiendo que punto) 0 a e a = 8. ( Septiembre 008: Hallar, de entre los puntos de la parábola de ecuación y =, los que se encuentran a distancia mínima del punto A,. (3 puntos) Junio 008: Calcular: 0 sen (). ( punto) 3 Junio 008: Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función f() = 3 + a en el punto = 0 sea perpendicular a la recta y + = 3. ( punto) Septiembre 007: Sea la función f() = f () e. a) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos y las asíntotas de f. ( 5 puntos) b) Determina el número de soluciones de la ecuación f() = en el intervalo [0,]. ( 5 puntos) Septiembre 007: Determina en qué puntos de la gráfica de la función y = , la recta tangente a la misma es paralela a la recta y = + 7. ( punto) Septiembre 007: 0 e e ( punto) Septiembre 007: Discutir si la ecuación + sen = tiene alguna solución real. ( punto) Junio 007: Demuestra que las curvas f() = sen y g() = se cortan en algún punto del intervalo 5,. ( punto) Junio 007: Sea la función f() = + e -. a) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos, los intervalos de concavidad y conveidad y las asíntotas. Esboza su gráfica. ( puntos) b) Demuestra que eiste algún número real c tal que c + e -c = 4. ( punto) Septiembre 006: a) Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f() = e -, sus máimos y mínimos, asíntotas y puntos de infleión. ( puntos)

2 b) Demuéstrese que para todo se tiene que f() alguna solución en,. ( punto) e. Pruébese que la ecuación 3 = e tiene Septiembre 006: 0 Ln(cos()) cos() ( punto) Septiembre 006: Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función f() = en el punto = 0. ( punto) Junio 006: Considérense las funciones f() = e, g() = -e -. Para cada recta r perpendicular al eje OX, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g, respectivamente. Determínese la recta r para la cual el segmento AB es de longitud mínima. (3 puntos) Junio 006: 0 Ln(cos()) ( punto) Junio 006: Sea f() = a 3 + b + c + d. Determínese a, b, c y d para que la recta y + = 0 sea tangente a la gráfica de f en el punto (0,-), y la recta y = 0 sea tangente a la gráfica de la función en el punto (,-). ( punto). Junio 006: Determínense a y b para los cuales 0 a b cos() sen =. ( punto). Septiembre 005: Calcúlense los valores de punto). 0 para los cuales sen( ) 0 cos ( ). ( Septiembre 005: Sea P(a,sena) un punto de la gráfica de gráfica de la función f() = sen en el intervalo [0, ]. Sea r P la recta tangente a dicha gráfica en el punto P y A P el área de la región itada por las rectas r P, = 0, =, y = 0. Calcula el punto P para el cual el área A P es mínima. Septiembre 005: Calcúlese Ln()sen(). ( punto) 0 Junio 005: Calcúlese Ln ( punto) e Junio 005: Aplicando el teorema de Lagrange de los incrementos finitos, demuéstrese que para > 0 se verifica: arctg() arctg () < Septiembre 005: ( punto) sen(6) tg() I.E.S. MARÍA MOLINER

3 Septiembre 004: a) Dada la función f: [,e] R definida por f() = Ln determina de entre todas las rectas tangentes a la gráfica de f la que tiene pendiente máima. Escribe la ecuación de dicha recta. ( puntos) b) Calcúlese una función primitiva de f() que pase por el punto P(e,). ( punto). Septiembre 004: Determina el valor de a para que se verifique punto) a =. ( Junio 004: Demuéstrese que las gráficas de las funciones f() = e y g() = se cortan en un punto > 0. ( punto) Junio 004: Sea f() = 3 + a + b + c. Determina a, b y c de modo que f() tenga un etremo relativo en = 0, la recta tangente a la gráfica de f() en = sea paralela a la recta y 4 = 0, y el área comprendida por la gráfica de f(), el eje OX y las rectas = 0, =, sea igual a. Junio 004: Calcula: ( punto) sen 0 Septiembre 003: Calcula: Ln( ) Ln ( punto) Septiembre 003: Halla los puntos de la gráfica de la función f() = en los que la tangente es paralela a la recta y =. ( punto) Septiembre 003: a) Halla las coordenadas del punto P de la gráfica de la función y = cos siendo 0 ( 5 puntos). con la propiedad de que la suma de la ordenada y la abscisa es máima. b) Calcula el área comprendida por la curva y = cos, y la recta y = en el intervalo, ( 5 puntos). Junio 003: Calcula e cos 0 sen ( punto) Junio 003: Demostrar que la ecuación = 0 tiene eactamente una raíz en el intervalo [-,]. En qué resultado te basas? ( punto) Septiembre 00: a) Enuncia el teorema de los incrementos finitos. ( punto) I.E.S. MARÍA MOLINER 3

4 b) Una función f(), derivable en toda la recta real, verifica: f(0) = -, f() = 6. b) Aplicando el teorema anterior, probar que eiste un punto c en el intervalo (0,) tal que f (c) = 4. ( punto) b) Si además f() tiene derivada continua y f (0) = 0, probar que hay un punto en el intervalo (0,) en el que la derivada de f toma el valor 3. ( punto) Septiembre 00: Calcula 0 sen ( punto) Septiembre 00: Halla a, b y c para que la función f() = 3 + a + b +c tome el valor 0 para =, presente un máimo relativo en = - y un mínimo relativo en = 0. ( punto) Junio 00: Calcula ( punto) e Septiembre 00: Calcula 0 ( )e sen ( punto) Septiembre 00: Dada la curva y = + a: a) Calcular el valor de a para que las tangentes a la curva en los puntos de abscisa de valor absoluto uno, pasen por el origen de coordenadas. ( 5 puntos) b) Para a =, hallar el área del recinto itado por la curva y las tangentes a la curva en los puntos (,) y (-,). ( 5 puntos) Septiembre 00: Sean f() y g() dos funciones derivables en todo valor de, que verifican que f(0) = g(0) y que f () > g () para 0. Se puede asegurar que f() > g() para > 0? Razona la respuesta. ( punto) Junio 00: Calcula e ( punto) 0 cos Junio 00: Dada la función f() = a b, siendo a y b constantes positivas, se pide: a) Demostrar que el mínimo calor de f() en 0, es ab. ( punto). b) Deducir que ab a b.( punto). c) Para a =, b = 8, hallar las asíntotas y la gráfica de f() en 0,.( punto). Junio 00: Se puede aplicar el teorema de Bolzano a la función f() = 0,. Razonar la respuesta. ( punto) cos en el intervalo I.E.S. MARÍA MOLINER 4

5 Septiembre 000: Utilizando el teorema de los incrementos finitos demostrar que para cualesquiera números reales a < b, se verifica que sen a sen b b a. ( punto) Septiembre 000: Tenemos que vallar un terreno circular y un terreno cuadrado, que por uno de sus lados está itado por una casa. Calcular el área del terreno circular y del terreno cuadrado que se puede cercar, utilizando 50 m de valla, con la condición de que la suma de dichas áreas sea mínima. (3 puntos). Septiembre 000: Calcular las asíntotas de la función f() = ( punto) Junio 000: Utilizando el teorema de los incrementos finitos demostrar que para cualesquiera números reales a < b, se verifica que sen a sen b b a. ( punto). Junio 000: a) Definir los conceptos de máimo y mínimos locales de una función. (0 75 puntos) b) Caracterizar, en función de la derivada la condición de que un punto sea máimo o mínimo local de una función. (0 75 puntos). c) Hallar sobre la recta + 3y = 30 un punto P con la propiedad de que la suma de sus distancias al origen y al eje OX sea mínima. ( 5 puntos). Junio 000: Enuncia el teorema del valor medio de Rolle. ( punto) Septiembre.999: Una partícula se mueve por la curva y =, >. En el punto P de abscisa = 3, abandona la curva y se desplaza a lo largo de la recta tangente a la curva en dicho punto. a) Calcula la ecuación de la recta tangente en P. ( punto) b) Hallar el punto en el que la partícula encuentra a la asíntota horizontal de la curva. ( punto) c) Hallar el área encerrada por la curva, la recta tangente y las rectas cuyas ecuaciones son = 3 y = 4. ( punto) Septiembre.999: Hallar un punto de la gráfica y = + + 5, en el que la recta tangente sea paralela a la recta y = 3 8. ( punto). Solución: f (c) = 3; f () = + ; f (c) = c +, c + = 3, c = ; P(,7). Septiembre.999: Calcular ( 0 ) 4. ( punto). Septiembre.999: Dentro del triángulo itado por los ejes OX, OY y la recta + y = 8, se inscribe un rectángulo de vértices (a,0), (0,0), (a,b) y (0,b). Determinar el punto (a,b) al que corresponde el rectángulo de área máima. (3 puntos) Junio.999: a) Concepto de máimo y mínimo local. ( punto) I.E.S. MARÍA MOLINER 5

6 b) Se quiere dividir un alambre de unidades de longitud en dos partes para construir un triángulo equilátero y una circunferencia, de forma que la suma del área del triángulo y del círculo correspondiente sea mínima. Determinar las longitudes de cada una de las partes. ( puntos). Junio.999: Calcular 0 arctg sen ( punto). - Junio.999: Determinar los intervalos de crecimiento de la función f() =. ( punto)..999: a) Concepto de máimo y mínimo local ( punto). b) Se quiere dividir un alambre de unidades de longitud en dos partes para construir un triángulo equilátero y una circunferencia, de forma que la suma del área del triángulo y del círculo correspondiente sea mínima. Determinar las longitudes de cada una de las partes..999: Determinar los intervalos de crecimiento de la función f() =. Junio.998: Se desea construir un jardín itado en dos de sus lados por un río que forma un codo de 35º y en los otros dos por una valla ABC de m de longitud (ver figura). Hallar las dimensiones del jardín de área máima. (3 puntos) Junio.998: Hallar los intervalos de crecimiento de la función f() = 4 4. ( punto) Junio.997: Dada la función f() = 3 + b +c +d. Se pide: a) Poner un ejemplo de b, c y d de forma que la función carezca de máimos y mínimos relativos. ( 5 puntos) b) Demostrar que si c = 0 y b < 0, entonces la función presenta un máimo y un mínimo relativos. ( 5 puntos). Junio.997: Calcular el dominio y los intervalos de crecimiento de la función f() = punto).. ( Junio.996: Dada la función f() = I.E.S. MARÍA MOLINER 6

7 a) Comprobar que tiene un único máimo relativo. b) La tangente a la gráfica de la función dada, en el punto en que se alcanza el máimo, ita con la misma un recinto. Hallar el área del recinto. Junio.996: Si sobre la parábola y = a + b + c se toman los puntos A y B, de abscisas y, comprueba que la tangente en el punto se abscisa es paralela a la cuerda AB. Septiembre.995: a) Determinar los números reales b, c y d, sabiendo que la función h definida en R, por h() = 3 + b + c +d, verifica: ) La gráfica de la función pasa por el punto (,-4) y admite en este punto una recta tangente paralela al eje de abscisas. ) h (0) = -. b) Hallar el máimo absoluto y el mínimo absoluto de la función h() = en el intervalo cerrado [,5] Septiembre.995: Estudiar los intervalos de crecimiento de la función f() =. Septiembre.994: Hallar el máimo y el mínimo absolutos de f() = en [0,]. Junio.994: Un segmento de longitud 5 apoya sus etremos en los semiejes positivos OX y OY, de manera que forma con estos un triángulo rectángulo. Hallar las dimensiones del triángulo de área máima así construido. Junio.994: Calcular 0 a b, siendo a, b >. Cataluña.999: Dada la función f() = ; 4 a) Estudiar su continuidad. b) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máimos y mínimos locales. Valencia.999: Con un hilo de 60 cm. Forma un rectángulo que, al girar alrededor de uno de sus lados, engendre un cilindro de área total (área lateral + áreas de las bases) máima. Galicia.999: La curva y = corta al eje OX en = y tiene un punto de infleión en (3,). Calcula los puntos de la curva que tengan rectas tangentes paralelas al eje OX. Baleares.999: Demuestra que la función f() = tiene un único punto de infleión. P (6 puntos). Halla la ecuación de la recta tangente a la curva que representa esta función en el punto P. (4 puntos). I.E.S. MARÍA MOLINER 7

8 Andalucía.999: Considera la función f definida en R por f() = +. a) Halla la derivada de f. ( punto). b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. (0 5 puntos). cuál de las rectas tangentes a la gráfica de la función tiene la máima pendiente. Andalucía.999: Dada la función f : [, e] definida por f() = Ln, determinar Castilla La Mancha.999: Se desea construir un depósito de latón con forma de cilindro de área total igual a 54 m. Determinar el radio de la base y la altura del cilindro para que el volumen sea máimo. I.E.S. MARÍA MOLINER 8