PROBLEMAS DE RECTA TANGENTE. 6 en el punto de abscisa 2. Halla la ecuación de la recta tangente a. ( en el punto de abscisa. x 3x

Transcripción

1 PROBLEMAS DE RECTA TANGENTE º Bachillerato CCSS Halla la ecuación de la recta tangente a ( ) 6 en el punto de abscisa Halla la ecuación de la recta tangente a Halla la ecuación de la recta tangente a ( en el punto de abscisa ) e ( ) en el punto de abscisa Dada la unción ( ) determina la ecuación de la recta tangente a su gráica en el punto de ordenada y 5 Halla la ecuación de la recta tangente a ( ) en el punto de ordenada y 0 6 Halla la ecuación de la recta tangente a 7 Halla la ecuación de la recta tangente a 8 Halla la ecuación de la recta tangente a ( ) en el punto de ordenada y ( ) paralela a la recta de ecuación r : y 9 0 ( paralela a la recta de ecuación : y 0 ) e r 9 Halla los puntos de la curva ( ) en los que la recta tangente es paralela a la recta y 5 0 Escribe las ecuaciones de dichas tangentes 0 Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráica de la unción ( ) en el punto de abscisa Calcula el área del triángulo determinado por dichas rectas y el eje de abscisas Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráica de la unción ( ) ln( ) en el punto de ordenada y 0 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva ( ) 0 en su punto de inleión Dada la unción ( ) a) Ecuación de la recta tangente a () en un punto cualquiera a b) Halla el valor o los valores de a para que dicha recta tangente pase por el origen de coordenadas Halla los puntos de la curva y 5 en los que la recta tangente a ella pasa por el origen de coordenadas Escribe las ecuaciones de dichas tangentes 5 Halla los puntos de la curva y en los que la recta tangente a ésta pasa por el punto P ( 0, 8) Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes

2 MONOTONÍA Y CURVATURA º Bachillerato CCSS Estudia la monotonía y la curvatura y determina las etremos relativos y los puntos de inleión de las siguientes unciones: ) ( ) ) ( ) 9 5 ) ) 7) 0) ) ( ) 5) 0 ( ) 5 0 8) ( ) ) 8 ( ) ) 6) ( ) 7) ( ) 9) ) ( ) 0) ( ) e ) ) 5) ( ) ln 8) ( ) 6 ( ) 6) ( ) ln ( ) 9) ( ) ( ) ) ( ) 9 ( ) 5) ) ( 6 6 ( ) ( ) 8) ( ) ( ) ( ) e ) ( e ) 6) ( ) ln 7) ( ) 9) ln ( ) 0) ( ) e ( ) 6 ln ( ) ( ) Estudia la monotonía y la curvatura de las siguientes unciones Determina los etremos relativos, los etremos absolutos y los puntos de inleión a) ( ) e) ( ) b) ( ) c) ( ) si ) ( ) d) ( ) si Determina los máimos y mínimos relativos y los puntos de inleión de las siguientes unciones utilizando el criterio de las derivadas sucesivas a) ( ) 6 5 b) ( ) c) ( ) d) ( ) 5 e) ( ) 5 ) ( ) g) ( ) h) ( ) i) ( ) e j) ( ) ( ) e k) ( ) ln l) ( ) ln( )

3 PROBLEMAS CON CONDICIONES º Bachillerato CCSS Halla a, b y c en ( ) a b c de modo que la gráica de, un punto de inleión en y que pase por P(,) Halla a, b y c sabiendo que ( ) a b c pasa por el punto y Qué tipo de etremos son? La unción ( ) a b c veriica que Halla a, b y c ( ) Halla a y b sabiendo que ( ) a b 5 tiene en horizontal, ( ) 0 y () (0,) () tenga tangente horizontal en y tiene etremos relativos en no tiene etremo relativo en un punto de inleión con tangente 5 Dada la unción ( ) a b a, calcula los valores de a y b sabiendo que la unción tiene dos puntos de inleión, uno en y otro en 6 Sea ( ) a b c d una unción polinómica que cumple: a) Pasa por el punto b) La recta tangente a en es paralela a y 0 c) Tiene etremos relativos en y Halla el valor de a, b, c y d Son máimos o mínimos los etremos relativos? P(,0) () 0 7 Halla una unción polinómica de º grado sabiendo que pasa por el punto recta tangente a en vale 0 () Q(, ) P(0,) 8 Halla una unción polinómica de grado sabiendo que tiene un etremo relativo en inleión en (, ) 9 Halla a, b y c sabiendo que ( ) a b c tiene en horizontal 0 La curva y a b c Calcula a, b, y c (,) y que la pendiente de la (0,) y un punto de un punto de inleión con tangente corta al eje de abscisas en y tiene un punto de inleión en P (, ) De la unción ( ) a b sabemos que pasa por P (, ) y en ese punto tiene tangente paralela a la recta y 0 a) Calcula a y b b) Monotonía y etremos relativos Curvatura y puntos de inleión Determina la parábola y a b c que es tangente a la recta y en el punto P (, ) y que pasa por Q ( 5, ) La parábola y b c es tangente a la recta y en el punto (, ) Encuentra la ecuación de la recta tangente a la parábola en el punto de la misma de abscisa Halla el valor de a y b para que la recta tangente a la curva ( ) a b en el punto P,0 sea paralela al eje de abscisas 5 La curva y a b c corta al eje de abscisas en y tiene un punto de inleión en P (,) a) Calcula a, b, y c b) Determina los puntos de la curva que tengan recta tangente paralela al eje de abscisas

4 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN º Bachillerato CCSS Con un alambre de m de longitud queremos ormar un rectángulo de supericie máima Cuáles serán las dimensiones del rectángulo? Con una cuerda de 0 m de longitud queremos ormar un triángulo isósceles de área máima Cuáles serán las dimensiones del triángulo? Descomponer 8 como suma de dos números positivos, de manera que el producto de uno ellos por el cuadrado del otro sea máimo Halla dos números cuya suma es y tales que el producto de uno de ellos por el cubo del otro sea máimo 5 Una hoja de papel debe contener 8 cm de teto impreso, los márgenes superior e inerior deben tener cm cada uno y los márgenes laterales cm cada uno Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo 6 Entre todos los rectángulos inscritos en una circunerencia de cm de radio, calcula las dimensiones del de área máima 7 De una chapa cuadrangular de 6 cm de ancho se quitan de cada una de las esquinas cuatro cuadrados iguales para ormar una caja sin tapa Calcula el lado del cuadrado para que el volumen de la caja sea máimo 8 De todos los conos que tienen generatriz g, halla las dimensiones del que tiene volumen máimo 9 Se dispone de 8800 para vallar un terreno rectangular colindante con un camino recto Si el precio de la valla que ha de ponerse en el lado del camino es de 80 /m y el de la valla de los restantes lados es de 0 /m, cuáles son las dimensiones y el área del terreno rectangular de área máima que se puede vallar? 0 Una empresa abrica cajas de latón sin tapa de volumen 500 cm para almacenar un líquido colorante Las cajas tienen la base cuadrada Hállense la altura y el lado de la base de cada caja para que la cantidad de latón empleada en abricarlas sea la mínima posible Un agente comercial cobra por la venta de mercancías una comisión dada por la unción C( ) 00 donde representa la cantidad en miles de euros de la venta eectuada Determinar la cantidad que habrá que vender para que la comisión que reciba sea máima Un triángulo isósceles de 0 cm de perímetro gira alrededor de su altura engendrando un cono Halla las longitudes de los lados del triángulo para que el volumen del cono sea máimo Se quiere construir un recipiente metálico de orma cilíndrica de 6 cm de volumen Hallar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de metal empleada en su construcción sea mínima en el caso de que: a) el recipiente sea abierto (sin tapa) b) el recipiente sea cerrado (con tapa) Se desea dividir un alambre de 5 m de largo en dos partes, de manera que la suma del cuadrado de una de ellas con el cuádruplo del cuadrado de la otra sea la mínima posible Dónde hay que dar el corte? 5 Se quiere construir el marco de una ventana rectangular de m de supericie El metro lineal de tramo horizontal cuesta 6 y el de tramo vertical 5 a) Calcular las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo b) Calcula el coste de este marco 6 Un campo de atletismo de 00 m de perímetro consiste en un rectángulo con un semicírculo en cada uno de dos de sus lados opuestos Halla las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible 7 Un jardinero dispone de 0 m de valla y desea delimitar un terreno rectangular y dividirlo en cinco lotes iguales con vallas paralelos a uno de los lados del rectángulo Qué dimensiones debe tener el terreno para que el área sea la mayor posible? 8 Se quiere construir botes de enlatar de orma cilíndrica con 0 litros de capacidad Calcula sus dimensiones si se desea que el gasto de material sea mínimo 9 Un triángulo isósceles tiene 0 cm de base (que es el lado desigual) y 0 cm de altura Se inscribe en este triángulo un rectángulo uno de cuyos lados se apoya en la base del triángulo Halla las dimensiones del rectángulo así construido y que tenga la mayor área posible

5 º Bachillerato CCSS 0 Se ha de construir un gran depósito cilíndrico de de volumen La supericie lateral ha de ser construida con un material que cuesta 0 /m y las dos bases con un material que cuesta 5 /m a) Determina la relación que hay entre el radio,, de las bases circulares y la altura, h, del cilindro, y da el coste, C(), del material necesario para construir este depósito en unción de r b) Qué dimensiones (radio y altura) ha de tener el depósito para que el coste de los materiales necesarios para construirlo sea el mínimo posible? c) Cuál será, en ese caso, el coste del material? 8 m El coste de producción de unidades de un producto viene dado por la epresión C euros y el precio de venta de una unidad es U 000 euros Cuántas unidades se deben vender para que el beneicio sea máimo? Determina las dimensiones de los lados y el área del rectángulo de área máima que, teniendo uno de los lados sobre el diámetro, se puede inscribir en un semicírculo de m de radio En un terreno con orma de triángulo rectángulo, los catetos miden AB 60 m y AC 5 m En este terreno se puede construir una casa de planta rectangular como indica la parte sombreada de la igura siguiente: C 5 m A 60 m Se quiere vender este terreno y nos pagan 00 por cada metro cuadrado no ediicable y 500 por cada metro cuadrado ediicable a) Determina la relación que hay entre la anchura y la proundidad y del rectángulo que determina la parte ediicable b) Determina la epresión que da el valor del terreno en unción de la anchura del rectángulo ediicable c) Cuáles son las dimensiones de la parte ediicable que nos permiten obtener un valor máimo para este terreno? d) Cuál es el valor máimo? Se desea construir un jardín, limitado en dos de sus lados por un río que orma un codo de 5º y en los otros dos por una valla ABC de, Km de longitud (ver igura) Hallar las dimensiones del jardín de área máima B C A B