TEMA 2: CÁLCULO DIFERENCIAL DE UNA VARIABLE.

Transcripción

1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA TITULACIONES Ingeniería Industrial (GITI/GITI+ADE) Ingeniería de Telecomunicación (GITT/GITT+ADE) CÁLCULO Curso TEMA : CÁLCULO DIFERENCIAL DE UNA VARIABLE. Contenidos: Derivada en un punto. Función derivada. Derivadas sucesivas. Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy. Regla de L Hôpital. Polinomios de Taylor. Fórmula de Taylor y aplicaciones. Aplicaciones de la derivada: Crecimiento y decrecimiento. Etremos. Concavidad y conveidad. Resultados de aprendizaje: Interpretar geométricamente el significado de la derivada de una función real de variable real en un punto. Derivar funciones de una variable, utilizando de forma epresa la regla de la cadena y la derivación logarítmica. Entender y aplicar los teoremas del valor medio. Manejar la regla de L`Hopital. Aplicar los polinomios de Taylor al cálculo de límites y cálculos aproimados. Hallar etremos de funciones así como estudiar su crecimiento, decrecimiento, concavidad y conveidad. Modelar problemas utilizando conceptos relacionados con el cálculo diferencial de una variable real. Bibliografía básica: Los contenidos teóricos de estos temas corresponden al capítulo 7 (ecepto el epígrafe.0), capítulo 8 (ecepto los epígrafes.,.6 y.7) y capítulo 9 del libro Cálculo I: Teoría y problemas de Análisis Matemático en una variable de Alfonsa García, F. García, A. López de la Rica, A de la Villa y otros. HOJA A. Calcular, utilizando la definición de derivada, la derivada de la función f ( ) en el punto. Hallar las rectas tangente y normal a la gráfica de f ( ) en dicho punto. 0. Es derivable en el punto 0 la función f ( )? Razonar la respuesta. 0. Estudiar la derivabilidad de las funciones en los puntos que se indican ( ) para a) f ( ) para 0 en y 0 sen para 0 b) f ( ) en 0

2 . Estudiar la derivabilidad de las funciones en los puntos que se indican sen si 0 a) f ( ) en 0 0 si 0 si 0 b) f ( ) en 0 sen si 0 5. Hallar la derivada de las siguientes funciones: a) f ( ) log b) f ( ) c) f ( ) arctg d) f ( ) sen para e) f ( ) para si si Hallar un valor aproimado de 00 adecuadas. L y, 0, utilizando las rectas tangentes a curvas ( sen) ( ) ( ) intervalo 0,. 7. Sea h 8. Demostrar que la función h ( ) tiene al menos una raíz en el 8. Hallar el número de raíces reales del polinomio P ( ) Localizar dichas raíces en intervalos disjuntos de longitud. 9. Demostrar que la ecuación e tiene una única solución real. 0. Calcúlense, si eisten, los siguientes límites: e cos a) lim 0 e 5 b) lim cos 5 8 d) lim sen Ln e) lim Ln 0 tg c) tg lim f e en 0.. a) Hallar el polinomio de Taylor de orden de b) Hallar el polinomio de Taylor de orden n de e f en 0 y.

3 . Calcular de forma aproimada 0 utilizando el polinomio de Mc-Laurin de orden de la función f ( ). Estimar el error cometido.. Calcular e de forma aproimada con un error menor que Calcular los siguientes límites: cos a) lim 0 c) lim 0 sen Lntg b) cos lim 0 ( tg sh ) 5. Calcular el orden y la parte principal de los siguientes infinitésimos en 0 : a) f e Ln( ) b) tg 6. Hallar los intervalos de crecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones a) f e para 0 b) f ( ) para 0 7. Calcular los máimos y mínimos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos que se indican: si 0 a) f ( ) en, si 0 b) ( ),. g en 8. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máima que tiene un lado sobre el eje X y está inscrito en el triángulo determinado por las rectas y 0, y e y 9. Hallar el radio y la altura del cilindro circular inscrito en una esfera de radio R que tenga volumen máimo. 0. Estudiar la concavidad y conveidad y hallar los puntos de infleión de la función f ( ). Determínense los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los máimos y mínimos relativos, los intervalos de conveidad y concavidad (concavidad hacia arriba y concavidad f que tiene segunda derivada hacia abajo), y los puntos de infleión de la función continua en y tal que la gráfica de la curva y f está representada en la figura adjunta.

4 . Representar la gráfica de la función f e HOJA B. Calcular, utilizando la definición de derivada, la derivada de la función f ( ) Ln en el punto. Hallar las rectas tangente y normal a la gráfica de f ( ) en dicho punto. 0. Sea g una función acotada en un entorno de 0. Estúdiese si son derivables en el punto 0 las funciones: a) f ( ) g( ) b) h( ) g( ).. Estudiar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican: sen si 0 a) f ( ) en 0 0 si 0 b) c) log( ) si 0 f ( ) si 0 si en 0 y ( ) si f ( ) si en y. Hallar el ángulo que forman las curvas y e y ln en el punto de abscisa. Nota: El ángulo que forman dos curvas en su punto de corte es el ángulo que forman las rectas tangentes a las curvas en dicho punto. 5. Hallar la derivada de las siguientes funciones: a) f ( ) arctg() Ln sen b) f ( ) a si 0 c) f ( ) e si 0 d) f ( )

5 6. Hállese, utilizando la derivada de la función inversa, la derivada de la función f ( ) arcsen. 7. Hallar las rectas tangente y normal a cada una de las siguientes curvas en el punto 0 indicado: a) y sen, 0 b) y 5, 0 8. Dígase, justificando la respuesta, si son ciertas o falsas las siguientes proposiciones: a) Si f es una función con derivada primera continua en el intervalo, que f '() y '() tangente a la curva f, entonces en algún punto del intervalo, y f es paralela al eje X. 0 y tal 0 la recta b) No eiste una función par f con derivada primera continua en y periódica de periodo f. T que verifique 9. Hállese un valor aproimado de 06, 0,98 y curvas adecuadas. 0 e, utilizando las rectas tangentes a 0. Sea f sen ( )( ) ( )( ) cos ( ) ( )( ) ( ). Demostrar que eiste un punto 0 en el que se verifica f a) Demostrar que la ecuación entera de la misma? tiene una única solución. Cuál es la parte 5 b) Hallar el número de raíces reales de la función g ( ) 9.. Hallar el número de puntos de corte de las gráficas de las funciones f ( ) e y g( ) cos e y localizar las abscisas de dichos puntos de corte en un intervalo de longitud.. Probar que la ecuación Ln e 0 tiene una única solución real en 0.. Hallar razonadamente el número de raíces de la función f ( ) e ln( ) para 0

6 5. Calcúlense, si eisten, los siguientes límites: 9 a) lim cot b) lim 0 sen sh d) lim ch e) lim sen 0 0 e c) lim arctg Ln 6. a) Hallar el polinomio de Taylor de orden de f sen L n en 0. b) Hallar el polinomio de Mc-Laurin de orden n de f Ln. 7. Determinar un valor aproimado de 8 0 utilizando el polinomio de Mc-Laurin de orden de la función f ( ) 8. Estimar el error cometido. 8. Calcular aproimadamente sen, utilizando el polinomio de Taylor de orden 5 de la función f ( ) sen en el punto 0. Estimar el error cometido. 9. Calcular los siguientes límites: a) ch cos lim 0 sen tg sen ( e ) Log b) lim 0 sen sh arctglog tg 0. Se considera la función Ae si 0 f( ) 6sen 6 5arctg ln si 0 8 Se pide: i) Estudiar la continuidad de la función f ( ) en el punto 0 0, según los distintos valores del parámetro real A. ii) Estudiar la derivabilidad de la función f ( ) en el punto 0 0, según los distintos valores del parámetro real A.. Sea g : una función con derivada tercera continua y sea la función f e sen g( ) sen e arctg se verifique que lim f ( ). 0. Hallar los valores de g( 0), g (0) y g (0) para que. Calcúlense el orden y la parte principal de los siguientes infinitésimos en 0 : a) f e b) f tg sen sen f e cos c)

7 . a) Calcular el orden y la parte principal del infinitésimo f ( ) cos e a b en 0, según los distintos valores de los parámetros a, b b) Hallar el orden y la parte principal del infinitésimo f n n 8n8 Log sen en 0 según los diversos valores del número natural n.. Hallar los intervalos de crecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones si 0 e a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) si 0 6 si 5. Sea f ( ) e y sea g () una función derivable y estrictamente decreciente en 0, verificando g ( 0) g() 0. Hallar razonadamente el número de veces que se cortan las curvas y f () e y g() en Sea f : derivable y tal que f ( ) 0 con f ( ). Hallar los 6 intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos de la función g( ) f 5 f ( ) f ( ). 7. Hallar los etremos absolutos de las funciones siguientes en los intervalos que se indican. a) f ( ) en, b) f ( ) cos en 0, para c) f ( ) en, para 8. Un triángulo equilátero T tiene dos vértices en los puntos,0 y,0. Sea un triángulo T inscrito en el triángulo T de modo que uno de los lados sea paralelo al eje X. Se pide probar que el área del triángulo T es siempre menor o igual que del área del triángulo T. 9. Se dispone de un alambre de 5 centímetros de largo. Se pide hallar el radio del sector circular de área máima cuyo perímetro sea dicho alambre. Considérense los casos siguientes: a) el ángulo del sector verifica 0 b) el ángulo del sector verifica 0.

8 0. Un eplorador está situado en el punto 0, y debe llegar al punto, debiendo aprovisionarse de agua en un río cuyo curso tiene por ecuación y 0 figura). Sabiendo que los tramos recorridos desde los puntos 0, y, 0, (véase, al río son segmentos rectilíneos, hallar la máima y la mínima distancia que puede recorrer el eplorador.. a) Determínense las dimensiones de un cilindro circular de volumen V para que su área total sea mínima. b) Hallar el radio y la altura del cilindro circular inscrito en una esfera de radio R que tenga área lateral máima.. Sea f una función tal que ( 0) 0 f y a) Hallar las raíces reales de la función f. f '( ) sh para. Se pide: b) Hallar los intervalos de concavidad y conveidad y los puntos de infleión de la función f.. Sea f () una función suficientemente derivable en y tal que los primeros términos del polinomio de Taylor de f () en 0 son 5. Se pide hallar razonadamente el valor del número real a para que la función g f ( ) cos a sen tg en 0 un punto de infleión. tenga

9 n... n. Sea ( ) e f donde n es un número natural. Se pide: a) Hallar para 0 el orden y la parte principal de f () b) Determinar si la curva y f () tiene en 0 un máimo relativo, un mínimo relativo o un punto de infleión. 5. Representar las gráficas de las siguientes funciones: Ln a) f b) f e c) e f ( ) si 0 si 0