Objetivos de la materia:

Transcripción

1 Objetivos de la materia: Desarrollar formal y sistemáticamente competencias y habilidades de cálculo diferencial e integral necesarias como herramienta fundamental para la ingeniería y concurrentemente brindar una estructura de pensamiento lógico formal contribuyente a la independencia intelectual necesaria a toda profesión, a fin de: enfrentar y resolver problemas. conocer y manejar con soltura conceptual conjuntos numéricos. reconocer y representar funciones. interpretar correctamente los conceptos de límite y continuidad. comprender y calcular incrementos y razones de incrementos y saber utilizarlos en el estudio de funciones. alcanzar un adecuado dominio del cálculo diferencial, como elemento integrador del nivel alcanzado. resolver y aplicar derivadas. interpretar la derivada como una razón de cambio, utilizarla correctamente para la optimización y aprender la información que brinda la derivada con respecto a la función original. seguir la evolución del concepto de integral definida y su cada vez más ajustada apreciación. relacionarla con el cálculo diferencial. resolver y aplicar integrales. alcanzar un adecuado dominio del cálculo integral, como elemento integrador del nivel alcanzado. aplicar la integración para el cálculo de áreas, volúmenes, longitudes, valor promedio de una función y resolución de ecuaciones diferenciales. operar correctamente con sucesiones y series numéricas. aproximar funciones mediante serie de potencias.

2 UNIDAD TEMÁTICA 1: Conjuntos numéricos. Números naturales. N. Ordinales y cardinales. El infinito. Conjuntos numerables. El cero. Conjunto N 0. Los enteros Z. Operaciones en N, N 0 y Z. El conjunto de los números racionales Q. Numerabilidad de Q. Operaciones en Q. Los números irracionales. Los números reales R. No numerabilidad de R. La recta real. Completitud. Los números complejos C. Conjuntos numéricos en R. Intervalos, entornos, entornos reducidos. UNIDAD TEMÁTICA 2: Funciones. Funciones de R en R. Dominio e imagen. Representación gráfica de funciones. Funciones lineales, parabólicas, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, racionales, etc. Composición de funciones. Asíntotas verticales y oblicuas. Sistema de coordenadas polares. Gráficos en coordenadas polares. Funciones definidas en forma implícita y paramétrica. Gráficos. UNIDAD TEMÁTICA 3: Límite y Continuidad. Evolución del concepto de límite. Arquímedes, Kepler, Newton, Leibniz, Cauchy. La aritmetización del límite. El límite ε, δ. Propiedades. Cálculo de límites. Indeterminaciones: cero/cero; infinito/infinito; 1 ; - ; etc. Límite infinito y límite para x. Teoremas relativos al cálculo de límites. Infinitésimos. Definición. Orden de infinitésimos. Comparación de infinitésimos. Teoremas relativos al cálculo con infinitésimos. Infinitos. Continuidad en un punto y en un intervalo. Propiedades de las funciones continuas. Teoremas relativos a las funciones continuas. Discontinuidades, tipos de discontinuidades. UNIDAD TEMÁTICA 4: Derivada. El problema de la tangente. Cociente incremental. Definición de derivada en un punto. Derivadas laterales. Función derivada. Cálculo de derivadas de funciones elementales. Teoremas relativos al

3 cálculo de derivadas. Derivada de función de función. Derivada de funciones inversas. Derivada de funciones definidas en forma paramétrica, polar e implícitas. Derivadas sucesivas. Tablas. UNIDAD TEMÁTICA 5: Aplicaciones a la derivada. Recta tangente y recta normal. Estudio de funciones: función creciente, función decreciente, puntos estacionarios. Máximos, mínimos. Concavidad, convexidad, puntos de inflexión. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio. Teorema de Cauchy. Regla de L'Hopital. Angulo entre curvas. Aplicaciones a la física. Problemas de optimización. Velocidad y aceleración. Razones de cambio relacionadas. UNIDAD TEMÁTICA 6: Diferencial. La diferencial de una función. Relación con el incremento. Propiedad invariante de la diferencial. Diferenciales de orden superior. Aplicación de las diferenciales al cálculo de errores. Aproximación. UNIDAD TEMÁTICA 7: Integral Definida. Áreas y volúmenes. Introducción histórica del concepto de integral. Partición. Norma de una partición. Suma inferior y suma superior. Acotación de las sumas inferior y superior. La integral definida según Riemann. Condiciones de integrabilidad. Propiedades de las integrales definidas. Teorema del valor medio del cálculo integral. Función integral. Regla de Barrow. Integrales impropias. Tipos. Integración numérica: fórmula del punto medio, de los trapecios y de Simpson. UNIDAD TEMÁTICA 8: Integrales Indefinidas. Integrales inmediatas. Integración por sustitución. Integración por partes. Integración por descomposición en fracciones simples. Integración de expresiones donde aparecen radicales. Integración de expresiones de la forma P n (x)/q m (x). Tablas de integrales.

4 UNIDAD TEMÁTICA 9: Aplicaciones de las Integrales. Aplicaciones geométricas y físicas de la integral definida. Longitud de arco. Calculo de áreas, longitudes y volúmenes. Resolución de ecuaciones diferenciales por el método de variables separables. UNIDAD TEMÁTICA 10: Sujeciones y series numéricas. Sucesión como aplicación de N (N 0 ) en Z, Q, R y C. Término genérico. Límite de una sucesión. Sucesiones convergentes y divergentes. Series de términos positivos. Sucesión de sumas parciales. Serie convergente y divergente. Propiedad del término general de una serie convergente. Criterio general de convergencia de Cauchy. Criterios de comparación: series mayorantes convergentes y minorantes divergentes. Serie geométrica, armónica y armónica generalizada. Criterios de convergencia: Cauchy o de la raiz; D'Alambert o del cociente; de Raabe y de la integral. Suma de una serie. Aproximación. Series alternadas. Criterio de convergencia. Series de términos cualesquiera. Series absolutamente convergentes. UNIDAD TEMÁTICA 11: Aproximación de funciones. Serie de potencias alrededor de un punto. Campo de convergencia. Coeficientes. Radio de convergencia. Teorema de Cauchy Hadamard. Cálculo de los coeficientes para una función derivable. Serie de Taylor. Polinomio de Taylor. Término complementario. Serie de Mc Laurin. Desarrollo en serie de potencias de funciones elementales sen(x), cos(x), ln(1+x), ln(1-x), etc. Operaciones con series de potencias. Cálculo aproximado de integrales mediante desarrollos en serie de potencias. Derivación e integración de series de potencias.

5 Bibliografía obligatoria para el alumno: Texto elaborado por la cátedra de libre disponibilidad para los alumnos en forma electrónica en el aula virtual asignada a Análisis Matemático I para ingeniería. Bibliografía para el docente: Cálculo Multivariable. J. Stewart. International Thompson Editores. Mexico Cálculo Diferencial e Integral N. Piskunov Montaner y Simon. Introducción AL Cálculo y al Análisis Matemático. R Courant y F John Limusa Cálculo Avanzado Watson Fulks Limusa Cálculo Diferencial e Integral. Edwin Purcell y Dale Varberg Prentica Hall Calculus Tom M. Apostol Reverte Análisis Matemático Tom M. Apostol Reverte (teórico) Elementos de Cálculo Diferencial e Integral Sadosky Guber Lib y Ed. Alsina Bibliografía complementaria: Calculus Tom M. Apostol Reverte Análisis Matemático Tom M. Apostol Reverte (teórico)