GUÍA DOCENTE DE LA ASIGNATURA CÁLCULO II

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1 GUÍA DOCENTE DE LA ASIGNATURA CÁLCULO II 1. DATOS FORMALES DE LA ASIGNATURA Universidad: Centro: Departamento: UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID E. U. I. T. AERONÁUTICA MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA Titulación: INGENIERO TÉCNICO AERONÁUTICO, ESPECIALIDAD EN AERONAVES Plan de estudios 2002 Nombre Asignatura: CÁLCULO II Código: 121 Descriptores (BOE): CÁLCULO. ELEMENTOS DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL. Tipo: TRONCAL Curso: PRIMERO Créditos Totales LRU/ECTS: 7,5 / 5,8 Teóricos: 3,75 / 2,9 Prácticos: 3,75 / 2,9 Área de Conocimiento: ANÁLISIS MATEMÁTICO. CIENCIA DE LA COMPUTACIÓN E INTELIGENCIA ARTIFICIAL. ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA. MATEMÁTICA APLICADA. Nivel del alumno: El establecido por las enseñanzas reguladas de Bachillerato. Es recomendable haber superado las asignaturas CÁLCULO I y ÁLGEBRA LINEAL, del primer cuatrimestre Profesores MARÍA DICTINIA PÉREZ VÁZQUEZ PEDRO PLAZA MENÉNDEZ

2 2. PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA 2.1 Presentación de la Asignatura: La asignatura CÁLCULO II es una asignatura troncal que se imparte en el primer curso y durante el segundo cuatrimestre. En el plan de estudios actualmente en vigor tiene asignados un total de 7,5 créditos. Con esta asignatura se pretende que el alumno amplíe los conocimientos adquiridos en funciones reales de una variable real pasando al estudio de funciones de dos o más variables y que profundice en el estudio de campos vectoriales y escalares. De este modo, se establecerán las bases imprescindibles para que el estudiante pueda abordar posteriormente el estudio de las distintas ramas que conforman los estudios de la titulación. Estos objetivos son compartidos con las asignaturas troncales de ÁLGEBRA LINEAL, CÁLCULO I y MÉTODOS MATEMÁTICOS. 2.2 Conocimientos Previos Los propios de la enseñanza de las matemáticas en Bachillerato y es recomendable haber superado las asignaturas de Cálculo I y Álgebra Lineal del primer cuatrimestre.

3 3. PROGRAMACIÓN DE ACTIVIDADES DOCENTES 3.1. Objetivo General de la Asignatura: Familiarizar al alumno con las nociones y herramientas del Cálculo de funciones de dos o tres variables y sus aplicaciones, además de profundizar en la formalización matemática de los conceptos matemáticos Temario Teórico y Planificación Temporal: 1. Series. (Su desarrollo se realizará en las 3 1/2 semanas últimas) 1.1 Series numéricas. Definición y convergencia. Series de términos positivos: algunos criterios de convergencia. Series alternadas: criterio de Leibniz. 1.2 Series de potencias. Definición. Intervalo de convergencia. Propiedades de funciones definidas por series de potencias. Series de Taylor y McLaurin. 1.3 Series de Fourier. Definición y convergencia. Desarrollo en serie de Fourier de funciones: cálculo de coeficientes. 2 Cálculo diferencial de funciones de varias variables. (4 ½ semanas) 2.1 Campos escalares. Curvas de nivel. Superficies de nivel. 2.2 Límites y continuidad. 2.3 Cálculo diferencial. Derivadas parciales y direccionales. Diferenciabilidad. Vector gradiente. Derivación de funciones compuestas e implícitas. 2.4 Fórmula de Taylor. Teorema de Taylor. 2.5 Extremos de funciones. Extremos relativos y absolutos. Funciones de dos variables: condiciones necesarias y suficientes. Extremos condicionados: Método de los multiplicadores de Lagrange. Problemas de optimización. 3 Cálculo integral de funciones de varias variables. Elementos de Geometría Diferencial en curvas y superficies. Cálculo Vectorial. (6 semanas) 3.1 Curva regular: distintas representaciones paramétricas, orientación y longitud de arco. 3.2 Curvatura y torsión: vector tangente, curvatura y su cálculo. Plano osculador. Triedro intrínseco. 3.3 Campos vectoriales. Operadores diferenciales. 3.4 Superficies regulares. Representación paramétrica regular de una superficie. Algunas superficies particulares 3.5 Integral de línea. Independencia del camino y campos conservativos. Campos conservativos: función potencial. Aplicaciones. Teorema de Green 3.6 Integrales dobles. Teorema de Fubini. Teorema del cambio de variable. Integración en coordenadas polares. Aplicaciones geométricas y físicas 3.7 Integrales de superficie de campos escalares y vectoriales. Área de una superficie y flujo de un campo vectorial. Teorema de Stokes 3.8 Integrales triples. Teorema de Fubini. Teorema del cambio de variable Integración en coordenadas cilíndricas y esféricas. Aplicaciones. Teorema de Gauss

4 3.3. Temario Práctico y Planificación Temporal: 1. Clases prácticas en aula 2. Clases prácticas en aula de informática 2.1 Funciones de varias variables. Gráficas. Gradiente 2.2 Series de Taylor y de Fourier 3.4. Otras Actividades Académicamente Dirigidas 1. Tutorías dirigidas. (6 h) 2. Trabajos en grupo 3.6. Metodología Docente: Dependiendo del tema a tratar las actividades a realizar serán las siguientes: 1. Clases magistrales. Exposición por parte del profesor de los conceptos fundamentales del tema. Sesiones de 1 hora 2. Clases prácticas: problemas y Casos-problema Sesiones de 1 hora de trabajo del alumno con presencia y ayuda del profesor. 3. Trabajos en grupo. Formación de grupos para la realización de problemas, ejercicios y exposiciones de contenidos teóricos. 4. Trabajos individuales. Realización de problemas de forma individual fuera del aula 5. Clases prácticas en aula de informática. Utilización del programa Derive en los contenidos teóricos y resolución de problemas. 6. Tutorías dirigidas. Orientadas a la resolución dirigida de problemas. 7. Pruebas parciales. Exámenes individuales de algún tema o grupos de temas. 8. Examen final. Prueba final, común a todos los grupos, de toda la materia

5 3.7. Bibliografía Fundamental: STEWART, J. Cálculo multivariable : Thomson Learning, Bibliografía Complementaria: LARSON, R., et al. Cálculo, Volumen 1 y 2 McGraw-Hill, 2003 SMITH, R., et al. Cálculo, Tomo 1 y 2 McGraw-Hill, DESTREZAS A ADQUIRIR 4.1. Competencias específicas: Al finalizar el curso el alumno debe saber: Determinar el carácter de una serie numérica y acotar el error. Aproximar funciones mediante series de Taylor y calcular el radio de convergencia de una serie de potencias. Obtener desarrollos en serie trigonométricos de funciones periódicas. Obtener el dominio de definición de una función de dos o tres variables. Calcular las curvas de nivel y las superficies de nivel. Calcular límites de funciones de dos variables. Dominar los conceptos de continuidad, derivada parcial y diferenciabilidad de una función de dos variables. Aplicar las reglas de la cadena y el teorema de la función implícita a funciones de dos y tres variables. Calcular el gradiente y derivadas direccionales de una función. Obtener la ecuación del plano tangente a una superficie. Calcular los puntos críticos, extremos absolutos, extremos relativos extremos condicionados de funciones de más de una variable. Aplicar la fórmula de Taylor a funciones de dos variables para el cálculo de extremos relativos. Representar vectorial y parametricamente curvas y superficies. Reconocer curvas y superficies regulares. Calcular los elementos del triedro móvil de Frenet.y la velocidad y la aceleración de un movimiento en el espacio. Manejar funciones vectoriales así como calcular la divergencia y el rotacional de un campo vectorial. Calcular integrales de línea de campos escalares y vectoriales. Reconocer los campos conservativos y obtener la función potencial. Conocer algunas aplicaciones de las integrales de línea. Calcular integrales dobles mediante integración iterada. Efectuar cambios de variables. Conocer algunas aplicaciones de las integrales dobles.. Aplicar el Teorema de Green Calcular integrales de superficie de campos escalares y vectoriales. Aplicar las integrales de superficie y el Teorema de Stokes. Calcular integrales triples mediante integración iterada. Efectuar cambios de variables. Conocer algunas aplicaciones de las integrales triples y aplicar el Teorema de Gauss

6 4.2. Competencias transversales: Habilidad para expresarse en lenguaje matemático. Capacidad de razonamiento lógico Capacidad para adaptarse al cambio Capacidad de análisis y de síntesis. Habilidad en el manejo de programas de cálculo simbólico. Capacidad para planificar y organizar su propio trabajo. Capacidad para trabajar en grupo 5. EVALUACIÓN 5.1. Criterios de evaluación (detallados para cada uno de los grupos de actividades): 1. Examen escrito sobre los contenidos teóricos y prácticos. (65 %) 2. Problemas resueltos en grupo. (5 %) 3. Problemas resueltos individualmente. (10 %) 4. Pruebas individuales. (15%) 5. Clases prácticas en aula de informática. (5 %) 6. VOLUMEN DE TRABAJO Actividad Horas presenciales Factor de trabajo del estudiante Horas de trabajo del estudiante Horas totales de trabajo Clases magistrales Tutorías dirigidas Clases de problemas no evaluadas Clases de problemas con evaluación grupal Clases de problemas con evaluación individual Clases prácticas en aula de informática Examen final Pruebas individuales TOTAL: 77 1,