PROGRAMA DE CURSO UNIDADES TEMÁTICAS. Cálculo en varias variables. Unidades Docentes Cátedra Auxiliares Trabajo Personal

Transcripción

1 PROGRAMA DE CURSO Código MA1003 Nombre del Curso Cálculo en varias variables Unidades Docentes Cátedra Auxiliares Trabajo Personal Requisitos Requisitos específicos Carácter del curso MA1002, MA1102 Cálculo diferencial e integral en una variable y álgebra lineal Objetivo General Obligatorio para todas las especialidades Al finalizar el curso el alumno será capaz de manejar los conceptos de derivadas de funciones de múltiples variables de modo de poder estudiar funciones y resolver problemas de optimización con o sin restricciones. Conocerá los teoremas de derivación de funciones inversas e implícitas y sus consecuencias. Será capaz de calcular integrales dobles y triples usando los teoremas de Fubini y cambio de variables. Aplicará estos conceptos en el cálculo de volúmenes, masas, momentos de inercia, etc. UNIDADES TEMÁTICAS Unidad Duración Nombre semanas Topología en R n 2 1 Funciones de varias variables, límites y continuidad 3 2 Cálculo diferencial en R n Teoremas de la función inversa e implícita 5 1 Derivadas de orden superior Máximos y mínimos de funciones de R n en R 7 2 Integral de Riemann 8 3 Teorema de Fubini, cambio de variables y aplicaciones Parametrización e integración en superficies Total 15

2 1 1.5 sem. Topología en R n 1. Conocer normas en R n. 2. Calcular límites de sucesiones. 3. Determinar si un conjunto dado es abierto, cerrado o compacto. (0.5) Distancias, normas, equivalencia de normas. Bolas abiertas y cerradas. (0.5) Sucesiones en R n : convergencia, sucesión de Cauchy, subsucesión y punto de acumulación. (0.5) Conjunto abierto, cerrado, compacto.

3 2 1 sem. Funciones de varias variables, límites y continuidad 1. Graficar funciones simples de R 2 en R y sus conjuntos de nivel, 2. Determinar la continuidad de funciones de varias variables. (1/3) Funciones de R n en R m. Grafos y conjuntos de nivel. (1/3) Límite y continuidad de una función de varias variables. Álgebra de límites y funciones continuas. (1/3) Propiedades de funciones continuas sobre conjuntos compactos.

4 3 2 sem. Cálculo diferencial en R n 1. Calcular derivadas parciales. 2. Determinar diferenciabilidad. 3. Utilizar regla de la cadena. 4. Calcular planos tangentes, direcciones de máximo ascenso y descenso. 5. Aplicar el teorema de los incrementos finitos. 6. Conocer el siguiente resultado: si las derivadas parciales existen y son continuas entonces la función es diferenciable. (1/3) Derivadas direccionales y parciales. (1/3) Definición de derivada fuerte (según Frechet). Matriz Jacobiana. Enunciado del siguiente resultado: si las derivadas parciales existen y son continuas entonces la función es diferenciable. (1/3) Regla de la cadena. (1/3) Aproximación de primer orden y plano tangente. (1/3) Gradiente. Dirección de máximo ascenso y descenso. Vector normal a una curva o superficie de nivel. (1/3) Teorema de los incrementos finitos.

5 4 1.5 sem. Teoremas de la función inversa e implícita 1. Conocer los teoremas de la función inversa e implícita. 2. Aplicar estos teoremas en el cálculo de diferenciales. (0.5) Teoremas de la función inversa e implícita. (1/3) Teorema del punto fijo. (1/3) Demostración del teorema de la función inversa. (1/3) Demostración del teorema de la función implícita. 5 1 sem. Derivadas de orden superior 1. Calcular aproximaciones de 1er y 2o orden para funciones de varias variables. (0.5) Definiciones y teorema de Schwartz. (0.5) Matriz Hessiana. Teorema de Taylor de 1er y 2o orden.

6 6 1.5 sem. Máximos y mínimos de funciones de R n en R 1. Encontrar puntos críticos y determinar si corresponden a mínimos o máximos locales. 2. Aplicar las condiciones de segundo orden para determinar la convexidad de una función. 3. Calcular mínimos o máximos con restricciones. (1/3) Máximos y mínimos locales; puntos críticos. (0.5) Condiciones necesarias y suficientes de segundo orden. Puntos tipo silla. (1/3) Funciones convexas. (1/3) Multiplicadores de Lagrange.

7 7 2 sem. Integral de Riemann 1. Comprender la noción de función Riemann integrable. 2. Conocer que toda función continua en un rectángulo es Riemann integrable. 3. Conocer que toda función continua definida en un rectángulo menos el grafo de otra función continua es Riemann integrable. Definición de integral de Riemann en rectángulos mediante particiones. Propiedades básicas. Relación entre la continuidad y el dominio de una función, y su integrabilidad.

8 8 3 sem. Teorema de Fubini, cambio de variables y aplicaciones 1. Calcular integrales de Riemann mediante integrales iteradas. 2. Calcular integrales interadas intercambiando los diferenciales. 3. Aplicar el teorema de cambio de variables. 4. Calcular centro de masa y momentos de inercia. (2/3) Teorema de Fubini. Integración sobre dominios generales (no rectangulares). (1/3) Teorema del cambio de variables. Integración en coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Aplicaciones: centro de masa, momentos de inercia.

9 9 1.5 sem. Parametrización e integración en superficies 1. Parametrizar superficies. 2. Calcular los vectores tangentes y plano tangente. 3. Calcular integrales de funciones escalares sobre superficies. (0.5) Descripción de técnicas para parametrizar superficies. Parametrizaciones equivalentes. (0.5) Vectores tangentes, plano normal y recta normal a una superficie. (0.5) Integración de funciones escalares sobre una superficie. T. Apostol, Calculus Vol II, Reverté (2) C. Buck, Advanced Calculus, Mc Graw-Hill (3) H. Cartan, Cálculo Diferencial. Omega Evaluación La evaluación consistirá en tres controles y un examen. Para aprobar el curso el alumno debe tener promedio de control superior o igual a cuatro (4) W. Fleming, Funciones de Varias Variables, CECSA Vigencia Elaborado por Revisado por Otoño 2006 DIM (Juan Diego Dávila)