ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS CONTENIDO DE CURSO

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1 A. IDIOMA DE ELABORACIÓN Español ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL B. DESCRIPCIÓN DEL CURSO Cálculo de Varias Variables es un curso dirigido a la formación de profesionales de las áreas de ingeniería, ciencias naturales y ciencias sociales, que requieran desarrollar habilidades de planteo y solución de problemas en el contexto n-dimensional. Para el efecto, el curso consta de cuatro grandes temas: geometría analítica en el espacio tridimensional, diferenciabilidad de funciones de varias variables, integración múltiple y aplicaciones con campos vectoriales. Entre las principales aplicaciones que se realizan en el curso están la optimización de funciones de varias variables, el cálculo de longitudes, áreas, volúmenes, trabajo y flujo, empleando objetos del plano y del espacio. C. CONOCIMIENTOS PREVIOS DEL CURSO Los estudiantes deben tener conocimientos y experiencias previas con problemas del cálculo diferencial e integral en una variable, física básica y problemas de la vida cotidiana. Además deberán poseer capacidad para visualizar cuerpos en el espacio y sus correspondientes vistas, ya sea con dibujos hechos a mano alzada o con un software graficador tridimensional. D. OBJETIVO GENERAL Resolver problemas que requieran el uso del cálculo diferencial e integral con funciones de varias variables. E. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE DEL CURSO El estudiante al finalizar el curso estará en capacidad de: Resolver problemas de geometría analítica del espacio, empleando superficies, rectas y planos. Analizar límites, continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables. Resolver problemas de aproximación y optimización utilizando gradientes y diferenciales Resolver integrales con campos vectoriales o escalares, incluyendo aplicaciones con trayectorias, longitudes de arco, superficies orientadas, volúmenes y teoremas de la teoría vectorial. Resolver integrales múltiples, utilizando diversos órdenes de integración y cambios de variable. F. ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE Aprendizaje asistido por el profesor Aprendizaje cooperativo/colaborativo: Aprendizaje de prácticas de aplicación y experimentación: Aprendizaje autónomo: G. EVALUACIÓN DEL CURSO Actividades de Evaluación DIAGNÓSTICA FORMATIVA SUMATIVA Exámenes Lecciones Tareas Proyectos Laboratorio/Experimental Participación en Clase Visitas Otras IG Página 1 de 8

2 ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL H. PROGRAMA DEL CURSO UNIDADES Geometría Analítica en R^ Ecuaciones de la recta en R^ Ecuación del plano en R^ Distancia de un punto a un plano Rectas y planos en R^ Superficies: gráfico y conjunto de nivel Superficies cuadráticas: esfera, elipsoide, paraboloide hiperbólico, Hiperboloide de una y dos hojas, Cilindros y conos Superficies cilíndricas Superficies de revolución Coordenadas cilíndricas y esféricas Diferenciación de funciones de varias variables..-.- Límite y continuidad Definiciones de derivada direccional y parcial Derivadas de orden superior: iteradas y mixtas Derivada implícita Teoremas de derivabilidad y continuidad Definición de diferenciabilidad Regla de la cadena Aplicaciones de los diferenciales Vector gradiente y aplicaciones geométricas Teorema de la derivada direccional Definición de la matriz Hessiana Fórmula de Taylor de 1er y 2do orden Optimización de funciones escalares de varias variables Definiciones de conjuntos cerrados en R^n. Uso de la notación n bola de radio r y centro x_0 : Bn (xo, r) Puntos internos, externos y de frontera Extremos relativos de funciones de varias variables Teorema del Valor Extremo Extremos con restricciones y multiplicadores de Lagrange, aplicaciones Horas Docencia UNIDAD 6 15 IG Página 2 de 8

3 H. PROGRAMA DEL CURSO UNIDADES Funciones Vectoriales ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL Componente tangencial y normal de la aceleración Vectores tangente y normal Funciones vectoriales de variable vectorial Divergencia y rotacional de un campo vectorial Teoría de los campos conservativos, función potencial Operador de Laplace. Campos armónicos Integrales de Línea Definición de integrales de línea, formas de expresarla Integrales de línea de funciones escalares y vectoriales Dependencia e independencia de la trayectoria Integración Múltiple Integrales dobles Cálculo de una integral doble en regiones generales Cambio de orden de integración Cálculo de una integral triple en regiones generales Integrales de Superficie Definición y evaluación de un integral de superficie Área de una superficie Integrales de superficie escalar Integrales de superficie vectorial orientadas Teoremas de la Teoría Vectorial Teorema de Gauss, aplicaciones Teorema de Stokes, aplicaciones Teorema de Green, aplicaciones I. RECURSO BIBLIOGRÁFICO BÁSICA Interpretación de una trayectoria como una función vectorial de variable escalar, parametrización Definición de velocidad, rapidez y aceleración Cambio de variable en integrales dobles a coordenadas polares y transformaciones lineales Otros cambios de variable en R^ Aplicaciones de las integrales dobles al cálculo de áreas y volúmenes Integrales triples Cambio de variable en integrales triples a coordenadas cilíndricas y esféricas Aplicaciones de las integrales triples Horas Docencia UNIDAD Claudio Pita Ruiz. (INGRESAR Año Publicación). Cálculo Vectorial. (Primera). INGRESAR Lugar Publicación: INGRESAR Editorial. ISBN-10: IG Página de 8

4 COMPLEMENTARIA J. DESCRIPCIÓN DE UNIDADES ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL Stewart, James B.. (INGRESAR Año Publicación). Calculo varias variables/ Calculus Several Values (Spanish Edition). (Paperback; ). INGRESAR Lugar Publicación: INGRESAR Editorial. ISBN-10: , ISBN-1: Geometría Analítica en R^ Familiariza al estudiante con la notación, gráficas y proyecciones de sólidos en el espacio, así como se dan los teoremas de distancias entre objetos del espacio Ecuaciones de la recta en R^ Ecuación del plano en R^ 1..- Distancia de un punto a un plano Rectas y planos en R^ Superficies: gráfico y conjunto de nivel Superficies cuadráticas: esfera, elipsoide, paraboloide hiperbólico, Hiperboloide de una y dos hojas, Cilindros y conos Superficies cilíndricas Superficies de revolución Coordenadas cilíndricas y esféricas Resolver problemas con rectas y planos aplicando teoría vectorial y álgebra Identificar superficies en el espacio, utilizando coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas Utilizar software especializado para graficar superficies en D (Proyector) Proyección de gráficas tridimensionales Diferenciación de funciones de varias variables Se dan las nociones topológicas necesarias para definir los conceptos de límite, continuidad, derivada y diferenciabilidad de funciones de varias variables en el espacio finito dimensional R^n, así como la aplicación de estos conceptos en el estudio de las funciones de varias variables Definiciones de conjuntos cerrados en R^n. Uso de la notación n bola de radio r y centro x_0 : Bn (xo, r) Puntos internos, externos y de frontera 2..- Límite y continuidad Definiciones de derivada direccional y parcial Derivadas de orden superior: iteradas y mixtas Derivada implícita Teoremas de derivabilidad y continuidad IG Página 4 de 8

5 ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL J. DESCRIPCIÓN DE UNIDADES Definición de diferenciabilidad Regla de la cadena Aplicaciones de los diferenciales Vector gradiente y aplicaciones geométricas Teorema de la derivada direccional Definición de la matriz Hessiana Fórmula de Taylor de 1er y 2do orden Identificar dominio, rango y conjuntos de nivel de una función de varias variables Calcular límites, establecer continuidad, derivabilidad y diferenciabiliad de una función de varias variables Resolver problemas con diferenciales, vector gradiente y fórmula de Taylor de 1º y 2º orden, de una función de varias variables (Proyector) Proyección del material preparado por el profesor Optimización de funciones escalares de varias variables Se estudian los conceptos de extremos relativos o locales, extremos absolutos, puntos de silla y extremos condicionados, así como los teoremas y métodos que le permiten al estudiante plantear y resolver problemas de optimización empleando funciones de varias variables..1.- Extremos relativos de funciones de varias variables.2.- Teorema del Valor Extremo..- Extremos con restricciones y multiplicadores de Lagrange, aplicaciones.1.- Plantear y resolver problemas de optimización, empleando teoremas sobre extremos relativos y absolutos..2.- Plantear y resolver problemas con extremos condicionados..1.- (Proyector) Proyección de gráficas de funciones con extremos Funciones Vectoriales Se describen las funciones vectoriales y su utilidad en el estudio de trayectorias y campos vectoriales. También se estudian las operaciones con el operador nabla, entre las cuales están la divergencia, el rotacional y el operador de Laplace Interpretación de una trayectoria como una función vectorial de variable escalar, parametrización Definición de velocidad, rapidez y aceleración IG Página 5 de 8

6 ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL J. DESCRIPCIÓN DE UNIDADES 4..- Componente tangencial y normal de la aceleración Vectores tangente y normal Funciones vectoriales de variable vectorial Divergencia y rotacional de un campo vectorial Teoría de los campos conservativos, función potencial Operador de Laplace. Campos armónicos Parametrizar trayectorias expresándolas como funciones vectoriales Calcular velocidad, aceleración, longitud de arco y curvatura en trayectorias Aplicar conceptos y propiedades de la divergencia y el rotacional de un campo vectorial (Proyector) Proyección del material preparado por el profesor Integrales de Línea Se definen las integrales de línea vectorial y escalar así como se hace una interpretación demostrativa de la primera al cálculo del trabajo. Finalmente se estudia el Teorema Fundamental de las integrales de línea Definición de integrales de línea, formas de expresarla Integrales de línea de funciones escalares y vectoriales 5..- Dependencia e independencia de la trayectoria Evaluar integrales de línea en forma escalar y vectorial, empleando trayectorias suaves y simples Calcular el trabajo de un campo vectorial a lo largo de una trayectoria empleando la definición o el Teorema Fundamental de las Integrales de Línea (Proyector) Proyección del material preparado por el profesor Integración Múltiple Se dan las nociones de intervalo cerrado en R^n y se generalizan los conceptos de partición y suma de Riemann para funciones de dos y de tres variables. Se estudian los conceptos, teoremas y métodos para resolver integrales Múltiples mediante el Teoreama de Fubini Integrales dobles Cálculo de una integral doble en regiones generales 6..- Cambio de orden de integración Cambio de variable en integrales dobles a coordenadas polares y IG Página 6 de 8

7 J. DESCRIPCIÓN DE UNIDADES transformaciones lineales ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL Otros cambios de variable en R^ Aplicaciones de las integrales dobles al cálculo de áreas y volúmenes Integrales triples Cálculo de una integral triple en regiones generales Cambio de variable en integrales triples a coordenadas cilíndricas y esféricas Aplicaciones de las integrales triples Resolver integrales múltiples en dos y tres dimensiones Calcular volúmenes de sólidos empleando integrales múltiples Realizar cambios de variable para resolver integrales múltiples (Proyector) Proyección del material preparado por el profesor Integrales de Superficie Se definen las integrales de superficie escalar y vectorial, tanto en forma rectangular como en forma paramétrica. Para el cálculo del flujo se introduce de manera intuititva el concepto de superficie orientada Definición y evaluación de un integral de superficie Área de una superficie 7..- Integrales de superficie escalar Integrales de superficie vectorial orientadas Calcular áreas de superficies en forma rectangular y paramétrica Calcular integrales de superficie escalar y de superficie vectorial, empleando superficies orientadas (Proyector) Proyección del material preparado por el profesor Teoremas de la Teoría Vectorial De manera intuitiva se introduce el concepto de región plana múltiplemente conexa, lo cual posibilita el enunciado y la aplicación del Teorema de Green; adicionalmente se enuncian y aplican los Teoremas de Stokes y de Gauss para el cálculo de trabajo y de flujo en el espacio, respectivamente Teorema de Gauss, aplicaciones IG Página 7 de 8

8 ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL J. DESCRIPCIÓN DE UNIDADES Teorema de Stokes, aplicaciones 8..- Teorema de Green, aplicaciones Resolver problemas aplicando los teoremas de Green, Stokes y Gauss (Proyector) Proyección del material preparado por el profesor K. RESPONSABLES DE LA ELABORACIÓN DEL Profesor Correo Participación SOLIS GARCIA SOVENY SORAYA ssolis@espol.edu.ec Coordinador de materia IG Página 8 de 8