TÍTULO: CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA V2 Disponibilidad Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 900 Cónicas y cálculo 900 Hypatia

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1 TÍTULO: CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA V2 Pág. Disponibilidad Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 900 Cónicas y cálculo 900 Hypatia (biografía) 900 Secciones cónicas 900 Parábolas 901 Ecuación canónica de una parábola (teorema) 901 Determinación del foco de una parábola (ejemplo) 901 Longitud de una cuerda focal y del arco correspondiente (ejemplo) 902 Propiedad de reflexión de la parábola (teorema) 903 Elipses 903 Nicolás Copérnico (biografía) 904 Ecuación canónica de la elipse (teorema) 904 Completando cuadrados (ejemplo) 905 La orbita de la luna (ejemplo) 905 Propiedad de reflexión de una elipse (teorema) 906 Definición de la excentricidad de una elipse 906 Cálculo de la longitud de una elipse (ejemplo) 907 Área y perímetro de una elipse 907 Estimación del valor de una integral elíptica (ejemplo) 907 Hipérbolas 908 Ecuación canónica de la hipérbola (teorema) 908 Asíntotas de una hipérbola (teorema) 908 Uso de las asíntotas para esbozar una hipérbola (ejemplo) 909 Definición de la excentricidad de una hipérbola 909 Un sistema de detección hiperbólico (ejemplo) 910 Caroline Herschel (biografía) 910 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 916 Definición de curva plana 917 Trazado de una curva (ejemplo) 917 Eliminación del parámetro 918 Ajuste del dominio después de eliminar el parámetro (ejemplo) 919 Uso de la trigonometría para eliminar un parámetro (ejemplo) 920 Determinación de ecuaciones paramétricas 921 Búsqueda de ecuaciones paramétricas de una grafica dada (ejemplo) 921 Ecuaciones paramétricas de una cicloide (ejemplo) 922 Cicloides 922 Definición de curva suave 923 Los problemas de la tautocrona y la braquistocrona 923 James Bernoulli (biografía) 924 Ecuaciones paramétricas y cálculo 928 Pendiente y rectas tangentes 928 Forma paramétrica de la derivada (teorema) 928 Derivación en forma paramétrica (ejemplo) 929 Determinación de la pendiente y la concavidad (ejemplo) 929 Una curva con dos tangentes en un punto (ejemplo) 930 Longitud de arco 930 Longitud de arco en forma paramétrica (teorema) 931 Cálculo de una longitud de arco (ejemplo) 931 Arco de una cicloide 931 Longitud de una cinta magnetofónica (ejemplo) 932 Área de una superficie de revolución 933 Determinación del área de una superficie de revolución (ejemplo) 934 Coordenadas polares y graficas en polares 938 Coordenadas polares 938 Cambio de coordenadas (teorema) 939 Cambio de coordenadas polares a rectangulares (ejemplo) 939 Cambio de coordenadas rectangulares a polares (ejemplo) 939 Graficas en polares 940 Representación grafica de ecuaciones en polares (ejemplo) 940 Representación de una grafica en polares (ejemplo) 941 Pendientes y rectas tangentes 942 Pendiente en polares (teorema) 942 Rectas tangentes horizontales o verticales (ejemplo) 942 Rectas tangentes en el polo (teorema) 943 Graficas en polares especiales 944 Área y longitud de arco en coordenadas polares 948 Área de una región en polares 948

2 Área en coordenadas polares (teorema) 949 Área de una región en polares (ejemplo) 949 Cálculo del área limitada por una curva (ejemplo) 950 Puntos de intersección de graficas en polares 950 Área de la región comprendida entre dos curvas (ejemplo) 951 Longitud de arco en polares (teorema) 952 Cálculo de la longitud de una curva en polares (ejemplo) 952 Área de una superficie de revolución (teorema) 953 Ecuaciones de las cónicas en polares y leyes de Kepler 957 Ecuaciones de las cónicas en polares 957 Clasificación de las cónicas según la excentricidad (teorema) 957 Ecuaciones en polares de las cónicas (teorema) 958 Determinación de una cónica a partir de su ecuación (ejemplo) 959 Grafica de una cónica a partir de su ecuación en polares (ejemplo) 959 Johannes Kepler (biografía) 960 Leyes de Kepler 960 El cometa Halley (ejemplo) 960 El asteroide Apolo (ejemplo) 961 Vectores y geometría del espacio 970 Vectores en el plano 970 Expresión de un vector en componentes 970 Representación de vectores por segmentos dirigidos (ejemplo) 970 Definición de las componentes de un vector en el plano 971 Componentes y longitud de un vector (ejemplo) 972 Operaciones con vectores 972 Definición de la suma de vectores y de la multiplicación por un escalar 972 William Rowan Hamilton (biografía) 973 Operaciones con vectores (ejemplo) 973 Propiedades de las operaciones con vectores (teorema) 974 Emmy Noether (biografía) 974 Longitud de un múltiplo escalar (teorema) 975 Vector unitario en la dirección de v (teorema) 975 Construcción de un vector unitario (ejemplo) 976 Vectores unitarios canónicos 976 Expresión de un vector como combinación lineal de vectores unitarios (ejemplo) 976 Expresión de un vector conocidas su longitud y su dirección (ejemplo) 977 Fuerza resultante (ejemplo) 977 Cálculo de la velocidad (ejemplo) 978 Coordenadas y vectores en el espacio 983 Coordenadas en el espacio 983 Distancia entre dos puntos en el espacio (ejemplo) 984 Ecuación de una esfera (ejemplo) 984 Vectores en el espacio 985 Expresión en componentes de un vector en el espacio (ejemplo) 985 Definición de vectores paralelos 986 Vectores paralelos (ejemplo) 986 Puntos colíndales (ejemplo) 987 Notacion de vectores unitarios canónicos (ejemplo) 987 Magnitud de una fuerza (ejemplo) 987 El producto escalar de dos vectores 992 El producto escalar 992 Definición del producto escalar 992 Propiedades del producto escalar (teorema) 992 Cálculo de productos escalares (ejemplo) 993 Angulo entre dos vectores (teorema) 993 Definición de vectores ortogonales 994 Angulo entre dos vectores (ejemplo) 994 Cósenos directores 995 Cálculo de los ángulos directores (ejemplo) 996 Proyecciones y vectores componentes 996 Definición de proyección y de los vectores componentes 997 Cálculo del vector componente de u ortogonal a v (ejemplo) 997 La proyección mediante producto escalar (teorema) 997 Descomposición de un vector en vectores componentes (ejemplo) 998 Cálculo de la fuerza (ejemplo) 998 Trabajo 999 Definición de trabajo 997 El producto vectorial de dos vectores en el espacio 1002 El producto vectorial 1002

3 Definición del producto vectorial de dos vectores en el espacio 1002 Cálculo del producto vectorial (ejemplo) 1003 Propiedades algebraicas del producto vectorial (teorema) 1004 Propiedades geométricas del producto vectorial (teorema) 1004 Utilización del producto vectorial (ejemplo) 1005 Aplicación geométrica del producto vectorial (ejemplo) 1006 El producto mixto (teorema) 1007 Interpretación geométrica del producto mixto (teorema) 1007 Cálculo de un volumen mediante el producto mixto (ejemplo) 1008 Rectas y planos en el espacio 1011 Rectas en el espacio 1011 Ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio (teorema) 1011 Ecuaciones paramétricas y simétricas de una recta (ejemplo) 1011 Ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por dos puntos (ejemplo) 1012 Planos en el espacio 1012 Ecuación canónica de un plano en el espacio (teorema) 1013 Ecuación de un plano en el espacio (ejemplo) 1013 Recta intersección de dos planos (ejemplo) 1014 Trazado de planos en el espacio 1015 Distancia entre puntos, rectas y planos 1016 Distancia de un punto a un plano (teorema) 1016 Distancia de un punto a un plano (ejemplo) 1017 Distancias entre dos planos paralelos (ejemplo) 1017 Distancia de un punto a una recta en el espacio (teorema) 1018 Distancia de un punto a una recta (ejemplo) 1018 Superficies en el espacio 1023 Superficies cilíndricas 1023 Definición de los cilindros 1023 Ecuación de un cilindro 1023 Graficas de cilindros (ejemplo) 1024 Superficies cuádricas 1024 Graficas de las superficies cuádricas (graficas ) 1025 Grafica de una superficie cuádrica (ejemplo) 1027 Una superficie cuádrica no centrada en el origen (ejemplo) 1028 Superficies de revolución 1029 Ecuación de una superficie de revolución (ejemplo) 1029 Curva generatriz de una superficie de revolución (ejemplo) 1030 Coordenadas cilíndricas y esféricas 1033 Coordenadas cilíndricas 1033 El sistema de coordenadas cilíndricas 1033 Cambio de coordenadas cilíndricas a rectangulares (ejemplo) 1034 Cambio de coordenadas rectangulares a cilíndricas (ejemplo) 1034 Conversión de coordenadas rectangulares a cilíndricas (ejemplo) 1035 Conversión de coordenadas cilíndricas a rectangulares (ejemplo) 1036 Coordenadas esféricas 1036 El sistema de coordenadas esféricas 1038 Conversión de coordenadas rectangulares a esféricas 1038 Funciones vectoriales 1046 Curvas en el espacio y funciones vectoriales 1046 Definición de funciones vectoriales 1046 Trazado de una curva en el plano (ejemplo) 1047 Trazado de una curva en el espacio (ejemplo) 1047 Representación de una grafica mediante una función vectorial (ejemplo) 1048 Limites y continuidad 1049 Definición del limite de una función vectorial 1050 Definición de continuidad para funciones vectoriales 1050 Continuidad de funciones vectoriales (ejemplo) 1051 Derivación e integración de funciones vectoriales 1055 Derivación de funciones vectoriales 1055 Definición de la derivada de una función vectorial 1055 Derivación de funciones vectoriales (teorema) 1056 Derivación de funciones vectoriales (ejemplo) 1056 Derivadas de orden superior (ejemplo) 1057 Intervalos en los que una curva es suave (ejemplo) 1057 Propiedades de la derivada (teorema) 1058 Uso de las propiedades de la derivada (ejemplo) 1059 Integración de funciones vectoriales 1059 Definición de la integral de una función vectorial 1060 Integral de una función vectorial (ejemplo) 1060

4 Integral definida de una función vectorial (ejemplo) 1061 Una primitiva particular de una función vectorial (ejemplo) 1061 Velocidad y aceleración 1064 Definición de la velocidad y de la aceleración 1065 Velocidad y aceleración a lo largo de una curva en el plano (ejemplo) 1066 Vectores velocidad y aceleración en el plano (ejemplo) 1066 Cálculo de la función posición por integración (ejemplo) 1068 Movimiento de proyectiles 1069 Función posición de un proyectil (ejemplo) 1069 La trayectoria de una pelota de béisbol 1074 Función posición de un proyectil (teorema) 1070 La trayectoria de una pelota de béisbol (ejemplo) 1070 Vectores tangentes y vectores normales 1074 Definición del vector tangente unitario 1075 Cálculo del vector tangente unitario (ejemplo) 1075 Recta tangente a una curva en un punto (ejemplo) 1076 Definición del vector normal principal (unitario) 1077 Cálculo del vector normal principal (ejemplo) 1077 Componentes tangencial y normal de la aceleración 1079 Vector aceleración (teorema) 1079 Componentes tangencial y normal de la aceleración (teorema) 1080 Componentes tangencial y normal de la aceleración (ejemplo) 1080 Longitud de arco y curvatura 1085 Longitud de arco 1085 Longitud de arco de una curva en el espacio (teorema) 1085 Formula para la longitud de arco 1085 Longitud de arco de una curva en el espacio (ejemplo) 1086 Cálculo de la longitud de arco de una hélice (ejemplo) 1086 Parámetro longitud de arco 1087 Definición de la función longitud de arco 1087 Función longitud de arco para una recta (ejemplo) 1087 Parámetro longitud de arco (teorema) 1088 Curvatura 1089 Definición de curvatura 1089 Curvatura de un circulo (ejemplo) 1089 Formulas para la curvatura (teorema) 1090 Cálculo de la curvatura de una curva en el espacio (ejemplo) 1090 Curvatura en coordenadas rectangulares (teorema) 1091 Cálculo de la curvatura en coordenadas rectangulares (ejemplo) 1092 Aceleración, rapidez y curvatura (teorema) 1093 Componentes tangencial y normal de la aceleración (ejemplo) 1093 Fuerza de rozamiento (ejemplo) 1094 Resumen sobre la velocidad, aceleración y curvatura 1095 Funciones de varias variables 1104 Introducción a las funciones de varias variables 1104 Funciones de varias variables 1104 Definición de una función de dos variables 1104 Comparación de dimensiones (exploración) 1104 Mary Fairfax Somerville (biografía) 1105 Variables independientes y variable dependiente 1105 Dominios de funciones de varias variables (ejemplo) 1105 Función polinómica 1106 Función racional 1106 La grafica de una función de dos variables 1106 Descripción de la grafica de una función de dos variables 1107 Curvas de nivel o líneas de contorno 1108 Líneas equipotenciales 1108 Mapas topográficos 1108 Un mapa de contorno (ejemplo) 1108 Paraboloide hiperbólico de ecuación (figura) 1109 La función de producción de Cobb-Douglas 1109 Superficies de nivel 1110 Graficas en una calculadora 1110 Limites y continuidad 1116 Entornos en el plano 1116 Un disco abierto (figura) 1116 Limite de una función de dos variables 1117 Definición del limite de una función de dos variables 1117 Sonya Kovalevsky (biografía) 1117

5 Verificando un limite mediante la definición (ejemplo) 1118 Cálculo de limites (ejemplo) 1118 Un limite que no existe (ejemplo) 1119 Continuidad de una función de dos variables 1120 Definición de continuidad de funciones de dos variables 1121 Funciones continuas de dos variables (teorema) 1121 Continuidad de las funciones compuestas (teorema) 1122 Análisis de la continuidad (ejemplo) 1122 Continuidad de una función de tres variables 1123 Una esfera abierta en el espacio 1123 Definición de continuidad de funciones de tres variables 1123 Continuidad de una función de tres variables (ejemplo) 1123 Derivadas parciales 1126 Derivadas parciales de una función de dos variables 1126 Definición de las derivadas parciales de una función de dos variables 1126 Cálculo de derivadas parciales (ejemplo) 1126 Jean Le Rond Dalembert (biografía) 1126 Notacion para las derivadas parciales 1127 Cálculo de las primeras derivadas parciales (ejemplo) 1127 Cálculo de las pendientes de una superficie en las direcciones x e y (ejemplo) 1128 Las derivadas parciales como ritmos de cambio (ejemplo) 1129 Cálculo de derivadas parciales (ejemplo) 1130 Derivadas parciales de orden superior 1130 Derivadas parciales cruzadas o mixtas 1130 Cálculo de derivadas parciales de segundo orden (ejemplo) 1131 Igualdad de las derivadas parciales cruzadas (teorema) 1131 Cálculo de derivadas parciales de orden superior (ejemplo) 1131 Diferenciales 1135 Incrementos y diferenciales 1135 Definición de la diferencial total 1136 Cálculo de la diferencial total (ejemplo) 1136 Diferenciabilidad 1136 Definición de diferenciabilidad 1136 Demostración de que una función es diferenciable (ejemplo) 1137 Condiciones suficientes para la diferenciabilidad (teorema) 1137 Aproximación por diferenciales 1138 Aproximación lineal 1138 Aproximación mediante la diferencial 1138 Diferenciable 1139 Análisis de errores (ejemplo) 1139 Diferenciabilidad implica continuidad (teorema) 1140 Una función no diferenciable (ejemplo) 1141 Reglas de la cadena para funciones de varias variables 1144 Regla de la cadena: una variable independiente (teorema) 1144 La regla de la cadena con una variable independiente (ejemplo) 1144 Aplicación de la regla de la cadena a ritmos de cambio relacionados 1145 Trayectorias de dos objetos en orbita elípticas (figura) 1146 Cálculo de las derivadas parciales por sustitución (ejemplo) 1147 Regla de la cadena dos variables independientes (teorema) 1147 La regla de la cadena con dos variables independientes (ejemplo) 1147 La regla de la cadena para una función de tres variables (ejemplo) 1149 Derivación parcial implícita 1149 Regla de la cadena: derivación implícita (teorema) 1150 Derivación implícita (ejemplo) 1150 Cálculo implícito de derivadas parciales (ejemplo) 1150 Derivadas direccionales y gradientes 1153 Derivadas direccionales 1153 Definición de la derivada direccional 1154 Derivada direccional (teorema) 1154 Cálculo de una derivada direccional (ejemplo) 1155 El gradiente de una función de dos variables 1157 Definición del gradiente de una función de dos variables (teorema) 1157 Cálculo del gradiente de una función (ejemplo) 1157 Forma alternativa de la derivada direccional (teorema) 1157 Aplicaciones del gradiente 1158 Propiedades del gradiente (teorema) 1159 Cálculo de la dirección de máximo crecimiento (ejemplo) 1160 Cálculo de la trayectoria de un rastreador térmico (ejemplo) 1160 Trayectoria seguida por un rastreador térmico (figura) 1161

6 El gradiente es normal a las curvas de nivel (teorema) 1161 Cálculo de un vector normal a una curva (ejemplo) 1161 Funciones de tres variables 1162 Derivada direccional y gradiente para funciones de tres variables 1163 Cálculo del gradiente de una función de tres variables (ejemplo) 1163 Planos tangentes y rectas normales 1167 Plano tangente y recta normal a una superficie 1167 Ecuación de una superficie (ejemplo) 1167 Bolas de billar y rectas normales 1168 Definición de plano tangente y recta normal 1169 Ecuación del plano tangente (teorema) 1169 Cálculo de la ecuación del plano tangente 1169 Ecuación de una recta normal a una superficie 1171 Ecuación de la recta tangente a una curva (ejemplo) 1171 Angulo de inclinación de un plano 1172 Comparación de los gradientes 1173 El gradiente es normal a las superficies de nivel (teorema) 1173 Diversidad de la flora silvestre 1176 Extremos de funciones de dos variables 1177 Extremos absolutos y extremos relativos 1177 Teorema del valor extremo (teorema) 1177 Mínimo absoluto y máximo absoluto 1177 Definición de extremos relativos 1177 Karl Weierstrass (biografía) 1177 Definición de los puntos críticos 1178 Los extremos relativos solo pueden ocurrir en los puntos críticos (teorema) 1178 Cálculo de extremos relativos (ejemplo) 1179 Criterio de las segundas derivadas parciales (teorema) 1180 Aplicación del criterio de las segundas derivadas parciales (ejemplo) 1181 El criterio de las segundas derivadas parciales no es concluyente (ejemplo) 1182 Búsqueda de los extremos absolutos (ejemplo) 1182 Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables 1186 Problemas de optimización 1186 Cálculo de un volumen máximo (ejemplo) 1186 Beneficio máximo (ejemplo) 1187 El método de mínimos cuadrados 1188 Suma de los errores cuadráticos 1189 Recta de regresión o de mínimos cuadrados (teorema) 1189 Adrián Marie Legendre (biografía) 1189 Recta de regresión (ejemplo) 1190 Multiplicadores de Lagrange 1195 Teorema de Lagrange (teorema) 1196 Joseph Louis Lagrange (biografía) 1196 Método de los multiplicadores de Lagrange 1196 Problemas de optimización con ligaduras 1197 Multiplicador de Lagrange para una ligadura (ejemplo) 1197 Una aplicación a la economía (ejemplo) 1198 Productividad marginal del capital 1199 Multiplicadores de Lagrange en tres variables (ejemplo) 1199 Optimización en el interior de una región (ejemplo) 1200 Optimización con dos ligaduras (ejemplo) 1200 Integración múltiple 1210 Tratamiento de tumores por hipertermia 1208 Integración múltiple 1210 Integrales iteradas y áreas en el plano 1210 Integrales iteradas 1210 Integración respecto de y (ejemplo) 1211 La integral de una integral (ejemplo) 1211 Limites interiores de integración, limites exteriores de integración 1212 Área de una región plana 1212 Región verticalmente simple (figura) 1213 Región horizontalmente simple (figura) 1213 Área de una región en el plano 1213 Área de una región rectangular (ejemplo) 1213 Cálculo del área por una integral iterada (ejemplo) 1214 Comparación de ordenes de integración distintos (ejemplo) 1215 Un área dada por la suma de dos integrales iteradas 1216 Integrales dobles y volumen 1219 Integrales dobles y volumen de sólidos 1219

7 Estimación del volumen de un solidó (ejemplo) 1220 Definición de integral doble 1221 Volumen de una región sólida 1222 Propiedades de las integrales dobles (teorema) 1222 Cálculo de integrales dobles 1222 Teorema de Fubini 1224 Cálculo de una integral doble como integral iterada (ejemplo) 1224 Cálculo de un volumen mediante una integral doble (ejemplo) 1225 Comparación de ordenes de integración diferentes (ejemplo) 1226 Volumen de una región acotada por dos superficies (ejemplo) 1227 Cambio de variables coordenadas polares 1231 Integrales dobles en coordenadas polares 1231 Descripción de una región en coordenadas polares (ejemplo) 1231 Cambio de variable a forma polar (teorema) 1233 Volumen de un paraboloide 1233 Cálculo de una integral doble (ejemplo) 1234 Cambio de variables a forma polar (ejemplo) 1234 Área de una región polar (ejemplo) 1235 Cambio del orden de integración (ejemplo) 1237 Centros de masas y momentos de inercia 1240 Masa 1240 Definición de la masa de una lamina plana de densidad variable 1240 Masa de una lamina plana (ejemplo) 1241 Cálculo de la masa en coordenadas polares (ejemplo) 1241 Momentos y centros de masas 1242 Momentos y centros de masas de una lamina plana de densidad variable 1243 Cálculo del centro de masas (ejemplo) 1243 Momentos de inercia 1245 Cálculo del momento de inercia (ejemplo) 1245 Cálculo del radio de giro (ejemplo) 1246 Área de una superficie 1249 Definición del área de una superficie 1250 Área de una región plana (ejemplo) 1251 Cálculo del área de una superficie (ejemplo) 1252 Cambio de variables a coordenadas polares (ejemplo) 1252 Área de una superficie (ejemplo) 1253 Aproximación del área de una superficie por la regla de Simpson (ejemplo) 1254 Capilaridad 1257 Integrales triples y aplicaciones 1258 Integrales triples 1258 Definición de integral triple 1258 Evaluación de integrales iteradas 1259 Volumen de un sector de paraboloide 1259 Cálculo de una integral iterada triple (ejemplo) 1259 Una integral triple para calcular un volumen (ejemplo) 1260 Cambio del orden de integración (ejemplo) 1261 Determinación de los limites de integración (ejemplo) 1262 Centro de masas y momentos de inercia 1263 Centro de masas de una región sólida (ejemplo) 1265 Momentos de inercia de una región sólida (ejemplo) 1266 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 1269 Integrales triples en coordenadas cilíndricas 1269 Pierre Simón de Laplace (biografía) 1269 Cálculo de un volumen en coordenadas cilíndricas (ejemplo) 1270 Cálculo de la masa en coordenadas cilíndricas (ejemplo) 1271 Momento de inercia (ejemplo) 1272 Integrales triples en coordenadas esféricas (ejemplo) 1273 Volumen en coordenadas esféricas (ejemplo) 1273 Centro de masas de una región sólida (ejemplo) 1274 Esferas deformadas 1276 Cambio de variables jacobianos 1277 Jacobianos 1277 Carl Gustav Jacob (biografía) 1277 Definición del jacobiano 1277 El jacobiano de la conversión rectangular polar (ejemplo) 1277 Un cambio de variables que simplifica la región (ejemplo) 1278 Cambio de variables en integrales dobles 1279 Un cambio de variables que simplifica la región (ejemplo) 1281 Un cambio de variables que simplifica el integrando (ejemplo) 1281

8 Escultura matemática 1288 Análisis vectorial 1290 Campos de vectores 1290 Definición de un campo de vectores 1290 Definición de campos cuadráticos inversos 1292 Esbozo de un campo vectorial (ejemplo) 1292 Campos vectoriales conservativos 1294 Definición de campos vectoriales conservativos 1294 Campos vectoriales conservativos (ejemplo) 1294 Criterio para campos conservativos en el plano 1295 Investigación de campos conservativos en el plano (ejemplo) 1295 Rotacional de un campo vectorial 1297 Definición del rotacional de un campo vectorial 1297 Criterio para campos conservativos en el espacio (teorema) 1298 Divergencia de un campo vectorial 1299 Definición de la divergencia de un campo vectorial 1299 Divergencia de un campo vectorial (ejemplo) 1299 Relación entre divergencia y rotacional (teorema) 1299 Integrales de línea 1302 Curvas suaves a trozos 1302 Una parametrización suave a trozos 1302 Integrales de línea 1303 Definición de integral de línea 1303 Cálculo de una integral de línea como integral definida (teorema) 1304 Cálculo de una integral de línea (ejemplo) 1304 Cálculo de una integral de línea sobre un camino (ejemplo) 1305 Masa de un muelle (ejemplo) 1307 Integrales de línea de campos vectoriales 1307 Definición de la integral de línea de un campo vectorial 1308 Trabajo realizado por una fuerza (ejemplo) 1308 Orientación y parametrización de una curva (ejemplo) 1310 Integrales de línea en forma diferencial 1311 Cálculo de una integral de línea en forma diferencial (ejemplo) 1311 Cálculo del área de la superficie lateral 1316 Campos vectoriales conservativos e independencia del camino 1316 Integral de línea de un campo vectorial conservativo (ejemplo) 1316 Teorema fundamental de las integrales de línea 1317 Aplicación del teorema fundamental de las integrales de línea (ejemplo) 1318 Independencia del camino 1319 Independencia del camino y campos conservativos (teorema) 1320 Cálculo del trabajo en un campo conservativo 1321 Condiciones equivalentes (teorema) 1322 Cálculo de una integral de línea (ejemplo) 1322 Conservación de la energía 1323 Michael Faraday (biografía) 1323 Teorema de Green 1327 Aplicación del teorema de Green (ejemplo) 1328 George Green (biografía) 1329 Cálculo del trabajo usando el teorema de Green (ejemplo) 1329 Teorema de Green y campos conservativos (ejemplo) 1330 Aplicación del teorema de Green sobre una curva suave a trozos (ejemplo) 1331 Una integral de línea para el área 1332 Cálculo del área mediante una integral de línea (ejemplo) 1332 El teorema de Green aplicado a una región con un agujero (ejemplo) 1332 Funciones hiperbólicas y trigonometricas 1337 Superficies paramétricas 1338 Definición de superficie paramétrica 1338 Grafica de una superficie paramétrica (ejemplo) 1339 Ecuaciones paramétricas para las superficies 1340 Representación paramétrica de una superficie (ejemplo) 1340 Representación paramétrica de una superficie de revolución (ejemplo) 1340 Vectores normal y planos tangentes 1341 Vector normal a una superficie paramétrica suave 1342 Plano tangente a una superficie paramétrica (ejemplo) 1342 Área de una superficie paramétrica 1343 Área de una superficie 1343 Integrales de superficie 1349 Cálculo de las integrales de superficie (teorema) 1349 Masa de una lamina bidimensional 1353

9 Superficies paramétricas e integrales de superficie 1354 Cálculo de una integral de superficie (ejemplo) 1354 Orientación de una superficie 1355 Integrales de flujo 1356 Definición de la integral de flujo 1356 Cálculo de integrales de flujo (teorema) 1357 Cálculo del flujo de masa mediante una integral de flujo (ejemplo) 1357 Flujo de un campo cuadrático inverso 1358 Resumen de integrales de línea y superficie 1360 Hiperboloide de una hoja 1362 Teorema de la divergencia 1363 Aplicación del teorema de la divergencia (ejemplo) 1365 Verificación del teorema de la divergencia (ejemplo) 1366 Flujo y el teorema de la divergencia 1368 Cálculo del flujo por el teorema de la divergencia (ejemplo) 1369 Teorema de Stokes 1371 Aplicación del teorema de Stokes 1372 Verificación del teorema de Stokes (ejemplo) 1374 Interpretación física del rotacional 1375 Una aplicación del rotacional (ejemplo) 1376 Resumen de formulas de integración 1377 El planímetro 1381 Interacción entre poblaciones 1382 Ecuaciones diferenciales 1384 Ecuaciones diferenciales exactas 1384 Definición de ecuación diferencial exacta 1384 Criterio de exactitud (teorema) 1385 Verificando la exactitud (ejemplo) 1385 Resolución de una ecuación diferencial exacta (ejemplo) 1385 Factores integrantes 1387 Multiplicación por un factor integrante (ejemplo) 1387 Factores integrantes (teorema) 1388 Cálculo de un factor integrante (ejemplo) 1388 Una aplicación a los campos de fuerzas (ejemplo) 1389 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 1392 Definición de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 1392 Anna Johnson Pell Wheeler (biografía) 1393 Solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden 1393 Resolución de una ecuación diferencial lineal de primer orden (ejemplo) 1394 Ecuaciones de Bernoulli 1395 Resolución de una ecuación de Bernoulli 1396 Resumen de ecuaciones diferenciales de primer orden 1397 Aplicaciones ecuación diferencial 1397 Un problema de mezclas (ejemplo) 1397 Objeto en caída con resistencia del aire (ejemplo) 1398 Un problema de circuitos eléctricos (ejemplo) 1399 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden 1403 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden 1403 Definición de ecuación diferencial lineal de orden n 1403 Funciones linealmente dependientes y linealmente independientes 1403 Combinaciones lineales de soluciones (teorema) 1404 Ecuación característica con raíces reales y distintas (ejemplo) 1405 Soluciones de ecuaciones 1406 Ecuación característica con raíces complejas (ejemplo) 1406 Ecuación característica con raíces iguales (ejemplo) 1407 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 1407 Resolución de una ecuación de tercer orden (ejemplo) 1408 Una ecuación de cuarto orden (ejemplo) 1408 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales lineales 1409 Movimiento de un muelle sin amortiguamiento (ejemplo) 1409 Ecuaciones lineales inhomogéneas de segundo orden 1412 Ecuaciones inhomogéneas 1412 Solución de la ecuación lineal inhomogénea (teorema) 1413 Método de los coeficientes indeterminados 1413 Elección de la forma de la solución particular (ejemplo) 1416 Resolución de una ecuación de tercer orden (ejemplo) 1416 Variación de las constantes 1417 Soluciones de ecuaciones diferenciales en forma de series 1421 Series de potencias solución de una ecuación diferencial 1421

10 Solución mediante series de potencias 1421 Aproximación por series de Taylor 1423 Demostraciones de teoremas seleccionados 1431 Clasificación de las cónicas según la excentricidad 1431 Regla de la cadena una variable independiente (teorema) 1436 Derivadas e integrales 1486 Reglas básicas de derivación 1486 Formulas básicas de integración 1486 Formulas de geometría (graficas) 1487 Triangulo 1487 Triangulo rectángulo 1487 Triangulo equilátero 1487 Parelelogramo 1487 Trapecio 1487 Circulo 1487 Sector circular 1487 Anillo circular 1487 Sector de un anillo circular 1487 Elipse 1487 Cono 1487 Cono circular recto 1487 Tronco de cono 1487 Cilindro circular recto 1487 Esfera 1487 Cuña 1487 Algebra 1488 Factores y ceros de polinomios 1488 Teorema fundamental del algebra 1488 Formula cuadrática 1488 Factorizaciones especiales 1488 Teorema del binomio 1488 Teorema de los ceros racionales 1488 Factorización por agrupamiento 1488 Operaciones aritméticas 1488 Exponentes y radicales 1488 Trigonometría 1489 Definición de las seis funciones trigonometricas 1489 Identidades reciprocas 1489 Identidades de tangente y cotangente 1489 Identidades de Pitágoras 1489 Identidades de cofunciones 1489 Formulas de reducción 1489 Formulas de suma y diferencia 1489 Formulas del ángulo doble 1489 Formulas de reducción de potencias 1489 Formulas suma producto 1489 Formulas producto suma 1489