TÍTULO: MATEMÁTICA EXPERIMENTAL V9

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1 TÍTULO: MATEMÁTICA EXPERIMENTAL V9 Disponibilidad Revisión de conceptos y repaso 12 Preguntas y respuestas sobre los números reales 12 Cómo esta constituido el conjunto de los números reales y como se representa? 12 Números reales (mapa conceptual) 12 Cuáles expresiones no representan números reales? 13 Qué establece la propiedad de completez en los números reales? 14 Por qué los números reales constituyen una estructura de campo? 14 Qué consecuencias algebraicas se obtienen de la estructura de campo de los números reales? 15 Preguntas y respuestas sobre productos notables y factorización de polinomios 18 Como se define el concepto de polinomio algebraico real en la variable x? 18 Qué son productos notables? Cuáles son los principales productos notables? 18 Qué es factorizar un polinomio en un conjunto numérico dado? 19 Cuándo se dice que un polinomio es primo en un conjunto numérico dado? 19 Como se factoriza el polinomio 19 Como se factoriza el polinomio 20 Como se determina un trinomio de la forma ax +bx +c es primo en los reales 21 Falso o verdadero? si un trinomio de la forma ax+bx+ces primo en los reales y el coeficiente a es positivo, entonces este trinomio es positivo para todo valor real que le asignemos a x 22 Cuándo el numero real x= a es cero de un polinomio p(x)? 22 Qué establece el teorema del factor? 22 Cómo se hallan los ceros racionales de un polinomio con coeficientes enteros p(x), en caso de que existan? 23 Cómo se hallan los ceros irracionales de un polinomio con coeficientes reales p(x), de grado mayor que 2? 24 Preguntas y respuestas sobre fracciones y ecuaciones de primer grado 25 Programa para factorizar polinomios con una variable 26 Ejercicios preguntas y respuestas sobre fracciones y ecuaciones de primer grado 29 Cómo se simplifica la expresión: 29 Cómo se resuelve la ecuación? 30 Ejercicios Prepárate para las pruebas del icfes 32 Sistema de ecuaciones lineales 33 Historia del algebra (11) 34 Ejercicio revisión de los conceptos de función y función lineal 35 El concepto de función 35 Funciones lineales 37 Ejercicios Diviértete mientras piensas 1 40 Sistemas de ecuaciones lineales 41 Solución algebraica de sistemas lineales 45 Método de igualación 46 Método de sustitución 47 Método de reducción 48 Ejercicios Ecuaciones lineales con tres variables 53 Ejercicios Solución de sistemas de ecuaciones lineales con tres variables 57 Ejercicios Determinantes y matrices 61 Menor 62 Cofactor 63 Ejercicios Solución de sistemas lineales por determinantes 66 Ejercicios Taller de repaso de la unidad 1 69 Prepárate para las pruebas del icfes 71 Solución de problemas con sistemas de ecuaciones 73 Historia del algebra (12) 74 Ejercicios Modelos de solución de problemas 75 Primera Aplicación (hasta) 75 Octava aplicación 80 Talleres de repaso de la unidad 2 81 Prepárate para las pruebas del icfes 83 Potenciación y radiación 85 Historia del algebra (13) Pierre de Fermat 86 Exponentes enteros positivos 87 Exponente cero y exponente entero negativo 88 El exponente cero 88 El exponente entero negativo 89

2 Ejercicios Diviértete mientras piensas 1 93 Notación científica 94 Ejercicios Exponentes racionales 96 Introducción y repaso 96 Origen del exponente fraccionario racional 98 Ejercicio Diviértete mientras piensas Propiedades de los radicales 102 Ejercicios Diviértete mientras piensas Simplificación de radicales 104 Ejercicios Diviértete mientras piensas Taller de repaso de la unidad Prepárate para las pruebas del icfes 109 Operaciones con radicales y nacionalización 111 Historia del algebra (14) la historia de los logaritmos 112 Ejercicios Suma y resta de radicales 113 Multiplicación y división de radicales 114 Ejercicios Diviértete mientras piensas Racionalización de denominadores 116 El denominador es un monomio con un factor raíz cuadrada 117 El denominador es un monomio con un factor raíz n-sima con n>2 118 El denominador es un binomio de la forma a x +- by 119 El denominador es un binomio de la forma a3x +- b3y 120 Ejercicio Diviértete mientras piensas Taller de repaso de la unidad Prepárate para las pruebas del icfes 125 Números complejos 127 Historia del algebra (15) Isaac Newton 128 Ejercicio Historia de los números complejos 129 Definición de los números complejos 130 Igualdad, suma y multiplicación de complejos 130 Ejercicio Diviértete mientras piensas 132 Conjugados e inversos 132 Propiedades de los conjugados 133 Ejercicio Diviértete mientras piensas Representación geométrica de los números complejos 135 Valor absoluto y argumento de un numero complejo 136 Definición de valor absoluto o módulo 136 Ejercicio Diviértete mientras piensas Taller de repaso de la unidad Prepárate para las pruebas del icfes 140 Funciones cuadráticas 141 Historia del algebra (16) Paolo Ruffini 142 Ejercicio La función cuadrática 143 Funciones cuadráticas de ecuación y= ax a la 2 y y= ax a la 2+q 145 Funciones cuadráticas de ecuación y= ax2 + bx+c 145 Diviértete mientras piensas Ejercicio Funciones cuadráticas de la ecuación y=ax+bc+c 148 Ejercicio Diviértete mientras piensas Aplicaciones de la función cuadrática 154 Taller de repaso de la unidad Prepárate para las pruebas del icfes 160 Ecuaciones de 2 grado o cuadráticas 161 Historia del algebra (17) Carl F. Gauss 162 Ejercicio Experiencia de repaso 163 Ecuaciones de 2 grado o cuadráticas 163

3 Solución grafica de la ecuación cuadrática 165 Ejercicio Diviértete mientras piensas Solución algebraica de la ecuación cuadrática 167 Solución por factorización 167 Solución mediante la formula cuadrática 173 Ejercicio Diviértete mientras piensas Suma y productos de las raíces de una ecuación cuadrática 178 Taller de repaso de la unidad Prepárate para las pruebas del icfes 184 Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas 185 Historia del algebra (18) Niels H. Abel 186 Ejercicio Ecuaciones de forma cuadrática 187 Ecuaciones irracionales 190 Ejercicio Diviértete mientras piensas Ecuaciones polinómicas (opcional) 193 Soluciones racionales 193 Teoremas para ceros racionales 194 Soluciones irracionales 195 Teorema de valor intermedio para polinomios 197 Ejercicio Diviértete mientras piensas Solución de problemas 198 Ejercicio Diviértete mientras piensas 209 Taller de repaso de la unidad Prepárate para las pruebas del icfes 212 Funciones exponencial y logarítmica 213 Historia del algebra (19) Evariste Galois 214 La función exponencial 215 Definición de ecuaciones exponencial 216 Definición de función exponencial 217 El numero e y la función f(x) = ex 219 Ejercicio Diviértete mientras piensas Logaritmos y sus propiedades 223 Definición de logaritmo 223 Propiedades de los logaritmos 224 Logaritmos naturales, logaritmos comunes y cambio de base 226 Antilogaritmo de un numero 228 Definición de antilogaritmo 228 Ejercicio Diviértete mientras piensas 230 La función logarítmica 231 Definición de función de logarítmica 231 Ecuaciones logarítmicas y exponenciales 232 Ejercicio Diviértete mientras piensas 237 Taller de repaso de la unidad Prepárate para las pruebas del icfes 238 Sucesiones y progresiones 241 Historia del algebra (20) George Boole 242 Ejercicio Concepto de sucesión 243 El operador sumatoria 246 Propiedades del operador 246 Ejercicio Diviértete mientras piensas1 250 Progresiones aritméticas (concepto) 250 Calculo de un termino cualquiera de una progresión aritmética 250 Termino n-esimo de una progresión aritmética 251 Suma de los términos de una progresión aritmética 253 Teorema: suma de los teoremas de una progresión aritmética 253 Ejercicio Diviértete mientras piensas Progresiones geométricas (concepto) 256 Definición de progresión geométrica 256 Cálculo de un termino cualquiera 257

4 Termino n-esimo de una progresión geométrica 257 Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica 258 Teorema: suma de los términos de una progresión geométrica 259 Medios geométricos 260 Teorema 261 Progresiones geométricas infinitas 261 Ejercicio Diviértete mientras piensas3 264 Taller de repaso de la unidad Prepárate para las pruebas del icfes 267 Sistemas de datos 269 Historia del algebra (21) George Cantor 270 Ejercicio Técnicas de recuento: regla del producto 271 Regla del producto 273 Variaciones 273 Variaciones simples o sin repetición 274 Variaciones con repetición 275 Ejercicio Diviértete mientras piensas 277 Permutaciones simples 278 Ejercicio Diviértete mientras piensas Combinaciones simples 280 Combinaciones ordinarias o simples 281 Ejercicio Diviértete mientras piensas3 284 El azar 284 Frecuencia y probabilidad 286 Regla del producto 288 Ejercicio Diviértete mientras piensas Taller de repaso de la unidad Prepárate para las pruebas icfes 293 Revisión de conceptos de repaso de geometría euclidiana 295 Introducción 296 Preguntas y respuestas sobre conceptos básicos de geometría 296 Por qué la geometría euclidiana es considerada como una teoría lógicamente estructurada? 296 teoría lógicamente estructurada (mapa conceptual) 296 Cuáles son el lenguaje y el método axiomático de la geometría euclidiana? 296 Cuáles son las primeras definiciones, los primeros axiomas y los primeros teoremas de la geometría euclidiana? 297 Qué clase de proposiciones son los teoremas? 298 Cuáles son la reciproca y la contra reciproca de una implicación? 299 Cuándo una proposición es de la forma p si y solo si q? 299 Cómo se demuestra en geometría, un teorema de la forma si p entonces q? 300 En que consiste el método directo? 300 En que consiste el método indirecto o de reducción al absurdo? 301 Ejercicio Preguntas y respuestas sobre líneas rectas semirrectas segmentos y ángulos 304 Cómo se definen los conceptos de semirrecta, segmento, semiplano, conjunto convexo y conjunto cóncavo? 304 Cómo se definen los conceptos de ángulo, ángulo convexo y ángulo cóncavo? Cómo se miden ángulos? Qué es bisectriz de un ángulo? 305 Cómo se clasifican los ángulos de acuerdo con su medida y de acuerdo con su posición? 306 Cuáles son las posiciones relativas de dos rectas en el plano? 307 Ejercicio Preguntas y respuestas sobre polígonos y triángulos 310 Cuándo dos rectas son perpendiculares y como se define la distancia de un punto a una recta? 310 Cómo se define un polígono? 310 Cuáles son los elementos de un polígono convexo? 311 Cómo se clasifican los polígonos? 312 Cómo se clasifican los triángulos de acuerdo con sus lados y de acuerdo con sus ángulos? 312 Cuáles son las líneas y los puntos notables de un triangulo? 313 Cuáles son las propiedades fundamentales de un triangulo? 314 Cuáles son los casos de congruencia o igualdad de triángulos? 315 Ejercicio Preguntas y respuestas sobre cuadriláteros 319 Cómo se clasifican los cuadriláteros? 319 Cuáles son las propiedades generales de los paralelogramos? 320 Cuáles son las propiedades particulares del rectángulo, el rombo y el cuadrado? 320 Cuáles dos propiedades de los triángulos son consecuencia de las propiedades de los paralelogramos? 321 Qué es base media de un trapecio y que propiedad tiene? 321 Ejercicio

5 Qué es área de una figura y en que unidades se mide el área? 326 El área de un triangulo equilátero, el área de un trapecio, el área de un polígono regular, el área de un circulo? 326 Como se calcula el área de un cuadrado, el área de un triangulo cualquiera, el área de un paralelogramo, el área de un rombo, la longitud de una circunferencia, el área de un rectángulo. 326 Ejercicio Prepárate para las pruebas icfes 331 La circunferencia y el circulo 333 Historia de la geometría (9) los elementos de Euclides 334 Ejercicio Circunferencia y circulo: revision de concepto 335 La circunferencia 335 Ejercicio Diviértete mientras piensas 339 Propiedades de los ángulos centrales, arcos cuerdas y tangentes 339 Ejercicio Diviértete mientras piensas 342 Medida de un arco de circunferencia 343 Propiedades de las cuerdas 343 Ejercicio Diviértete mientras piensas Propiedades de las tangentes 347 Ejercicio Diviértete mientras piensas 350 Medidas de otros ángulos de la circunferencia 350 Medida de un ángulo inscrito 350 Medida de un ángulo semi inscrito 353 Medida de un ángulo interior 356 Medida de un ángulo exterior 358 Ejercicio Diviértete mientras piensas Polígonos inscritos y circunscritos 362 Polígono regular 363 Longitud de una circunferencia y área de un circulo 363 Longitud de una circunferencia 363 Área del circulo 364 Longitud de un arco y área de un sector circular 365 Ejercicio Diviértete mientras piensas 369 Construcciones relacionadas con la circunferencia 370 Trazado de perpendiculares utilizando la circunferencia 370 Trazado de una tangente desde un punto exterior a la circunferencia 370 Construir un triangulo rectángulo dados la hipotenusa y un cateto 371 Construir polígonos inscritos en una circunferencia 372 Taller de repaso de la unidad Prepárate para las pruebas icfes 377 Proporcionalidad y semejanza 379 Historia de la geometría (10) Arquímedes 380 Ejercicio Razones y proporciones: lo que ya sabemos 381 Revisión del concepto de razón 381 Revisión del concepto de proporción 382 Concepto de proporción 383 Propiedades de las proporciones 384 Propiedades fundamentales de las proporciones 384 Ejercicio Diviértete mientras piensas 386 Segmentos proporcionales 386 Teorema de Thales 387 Dos consecuencias del teorema de Thales 387 Propiedades de la bisectriz 389 Ejercicio Diviértete mientras piensas El concepto de semejanza 393 Idea de semejanza 394 Semejanza de triángulos criterios de semejanza de triángulos 396 Teorema fundamental de la semejanza de triángulos 396 Criterios de semejanza ángulo-ángulo 397 Criterios de semejanza lado-lado 397 Criterios de semejanza lado-ángulo-lado 398 Resumen 399 Ejercicio Diviértete mientras piensas3 403

6 Construcciones 404 Dividir un segmento dado en partes iguales 404 Dividir un segmentos dado en partes proporcionales a tres segmentos dados 404 Construir figuras semejantes a otra dada 405 Taller de repaso de la unidad Prepárate para las pruebas icfes 409 Relaciones métricas 411 Historia de la geometría (11) Apolio de Perga 412 Ejercicio Relaciones métricas en el triángulo 413 Proyección ortogonales 413 Relaciones métricas en el triangulo rectángulo 415 Ejercicio Diviértete mientras piensas 422 Relaciones métricas en la circunferencia 423 Relaciones entre los segmentos de dos cuerdas 423 Relaciones entre los segmentos de dos secantes 424 Relaciones entre una secante y una tangente 425 Ejercicio Diviértete mientras piensas Relaciones métricas en los polígonos regulares 428 Lado del cuadrado inscrito 428 Lado del exágono regular inscrito 429 Lado del triangulo equilátero inscrito 430 Ejercicio Diviértete mientras piensas Taller de repaso de la unidad Prepárate para las pruebas icfes 435 Introducción a la trigonometría 437 Historia de la geometría (12) geometría analítica 438 Ejercicio Ampliación del concepto de ángulo 439 El ángulo desde el punto de vista trigonométrico 439 Definición de ángulo en posición normal 440 Ejercicio Diviértete mientras piensas 443 Las funciones trigonometricas 444 Ejercicio Diviértete mientras piensas Funciones trigonometricas en el triangulo rectángulo y funciones de ángulos especiales 449 Funciones en el triangulo rectángulo 449 Funciones trigonometricas de Funciones trigonometricas de 30 y Ejercicio Diviértete mientras piensas3 454 Empleo de las tablas y aplicaciones 454 Empleo de las tablas y calculadora 454 Tablas de funciones trigonometricas 454 Manejo de la calculadora 455 Aplicaciones 456 Definición de ángulos de elevación y depresión 456 Aplicaciones de la función cuadrática 456 Ejercicio Diviértete mientras piensas Taller de repaso de la unidad Prepárate para las pruebas icfes 462 Geometría del espacio 463 Historia de la geometría (13) las geometrías no euclidianas 464 Ejercicio Cuerpos geométricos 465 Planos, rectas y puntos 466 Angulo diedro 467 Poliedros clasificación y áreas 468 Los poliedros 468 Prismas 469 Áreas lateral y total de un prisma 470 Pirámides 471 Áreas lateral y total de la pirámide regular 472 Áreas laterales y total de una pirámide regular 473 Ejercicio Diviértete mientras piensas 477

7 Cuerpos redondos clasificación y áreas 477 Cuerpos redondos: conceptos y clasificación 477 Áreas lateral y total del cilindro 478 Área lateral y total de un cono 479 Área de una esfera 480 Ejercicio Diviértete mientras piensas Volumen de los cuerpos geométricos 484 Concepto de volumen 484 Volumen del ortoedro 485 Volumen del prisma (volumen de un prisma recto) y del cilindro 486 Volumen de prisma recto 487 Volumen del cilindro 487 Volumen de la pirámide y del cono 488 Volumen de una pirámide y de un cono 488 Volumen de la esfera 489 Ejercicio Diviértete mientras piensas 494 Taller de repaso de la unidad Prepárate para las pruebas icfes 497 Respuestas 499 Núcleo temático 499 Ejercicios 500 Prepárate para las pruebas icfes 500 Núcleo temático Ejercicios 501 Taller de repaso de la unidad1 501 Diviértete mientras piensas 501 Prepárate para las pruebas del icfes 502