TEXTO: MATEMÁTICA II PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA QUÍMICA"

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA UNIDAD DE INVESTIGACIÓN DE INGENIERÍA QUÍMICA INFORME FINAL DEL TEXTO TEXTO: MATEMÁTICA II PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA QUÍMICA" AUTOR: Lic. FERNANDO HIPÓLITO LAYZA BERMÚDEZ (PERÍODO DE EJECUCIÓN : Del 01 de julio del 2014 al 30 de junio del 2016 Resolución Rectoral No R) CALLAO 2016

2 I.INDICE II.-PRÓLOGO... 8 III.-INTRODUCCIÓN... 9 IV.-CUERPO DEL TEXTO O CONTENIDO CAPITULO I LA INTEGRAL DEFINIDA EN EL PLANO CARTESIANO LA INTEGRAL DEFINIDA INTRODUCCIÓN Definición de la Integral Definida Propiedades de la Integral Definida SUMAS DE RIEMANN Sumatoria Propiedades TEOREMAS FUNDAMENTALES Primer Teorema Fundamental Segundo Teorema Fundamental APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Áreas de regiones planas Volúmenes CAPITULO II FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL FUNCIONES VECTORIALES INTRODUCCIÓN DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Dominio y Rango de una función vectorial Operaciones con Funciones Vectoriales LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Definición : Propiedades CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Definición Propiedades de Continuidad DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Definición Propiedades INTEGRALES Definición de la Integral definida

3 Propiedades LONGITUD DE ARCO Definiciones Función longitud de arco VECTORES FUNDAMENTALES Vector Tangente Unitario Vector Normal Principal Vector Binormal CURVATURA Y TORSIÓN Definición de vector curvatura Definición de Curvatura Definición de Torsión CAPITULO III FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES DE VARIABLES REALES FUNCIONES DE DOS VARIABLES INTRODUCCIÓN Definición de una Función de dos variables Dominio de una de una Función de varias Variables GRÁFICA de una Función de varias Variables CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL Definición de una Curva de Nivel Definición de una Superficie de Nivel LÍMITES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Definición de Límite de una Función de dos variables Propiedades de Límite de una Función de varias Variables CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Definición de continuidad Propiedades DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Definición de las Derivadas Parciales de una Función de varias Variables Derivadas Parciales de Orden Superior de una Función de varias Variables Derivadas Parciales Mixtas de una Función de varias Variables Derivadas Direccionales La Gradiente El plano Tangente y la recta Normal REGLA DE LA CADENA Propiedad Propiedades

4 Derivación Implícita DIFERENCIABILIDAD Definición Funciones diferenciables Aproximaciones EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN Máximos y Mínimos Propiedades (Criterio de las segundas derivadas parciales) Máximos y Mínimos condicionados CAPITULO IV INTEGRALES MULTIPLES INTEGRALES DOBLES INTRODUCCIÓN Definición de una integral doble Propiedades fundamentales de una integral doble Integrales iteradas APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Áreas y volúmenes Masa, centro de masa y momentos INTEGRALES TRIPLES Definición de una integral triple Cambio de variable en integrales triples El Jacobiano COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS Definición Ecuaciones APLICACIONES DE LAS INTEGRAL TRIPLE Volúmenes Centro de masa y momentos de un solido CAMPOS VECTORIALES Definición Campos vectoriales conservativos, divergentes y rotacional Integrales curvilíneas o de línea Teorema fundamental de la integral de línea Teorema de Green

5 CAPITULO V SUPERFICIES SUPERFICIES INTRODUCCIÓN Definición de una superficie Parametrización de una superficie Área de una superficie paramétrica Integral de una superficie Orientación de una superficie INTEGRAL DE FLUJO Definición de una integral de flujo Calculo de integrales de flujo Teorema de la divergencia y de Stokes V.-REFERENCIALES VI.-APENDICES VII.-ANEXOS

6 TABLAS DE CONTENIDO GRÁFICOS GRÁFICO Nº 1.1 REGION R LIMITADA POR LA FUNCION.. 16 GRÁFICO Nº 1.2 REGION R LIMITADO POR LA FUNCION F(X)=X^2-X,Y EL INTERVALO [0,1] 17 GRÁFICO Nº 1.3 REGION R LIMITADO POR LA FUNCION F(X)=X^2+X-1 Y EL INTERVALO [0,1].. 17 GRÁFICO Nº 1.4 REGION R LIMITADO POR LA FUNCION F(X)=1-X^2 Y EL INTERVALO [0,1].. 18 GRÁFICO Nº 1.5 AREA DE UNA REGION BAJO LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN] GRÁFICO Nº 1.6 AREA DE UNA REGION COMPRENDIDA ENTRE DOS FUNCIONES. 20 GRÁFICO Nº 1.7 ÁREA DE LA REGION DEL EJEMPLO 1 21 GRÁFICO Nº 1.8 ÁREA: DE LA REGION DEL EJEMPLO 2 22 GRÁFICO Nº 1.9 ÁREA DE LA REGION DEL EJEMPLO 3 22 GRÁFICO Nº 1.10 ÁREA DE LA REGION DEL EJEMPLO GRÁFICO Nº 1.11 AREA DE LA REGION DEL EJEMPLO GRÁFICO Nº 1.12 METODO DEL DISCO GRÁFICO Nº 1.13 METODO EL ANILLO CIRCULAR GRÁFICO Nº 1.14 METODO DE LA CAPA CILINDRICA. 26 GRÁFICO Nº 1.15 VOLUMEN: GRÁFICO DEL EJEMPLO GRÁFICO Nº 1.16 VOLUMEN: GRÁFICO DEL EJEMPLO GRÁFICO Nº 1.17 VOLUMEN: GRÁFICO DEL EJEMPLO GRÁFICO Nº 1.18 VOLUMEN: GRÁFICO DEL EJEMPLO GRÁFICO Nº 1.19 VOLUMEN: GRÁFICO DEL EJEMPLO GRÁFICO Nº 2.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL GRÁFICO Nº 2.2 LA CIRCUNFERENCIA DE RADIO LA UNIDAD. 34 GRÁFICO Nº 2.3 LA ELIPSE 34 GRÁFICO Nº 2.4 SEGMENTO DE RECTA. 36 GRÁFICO Nº 2.5 PARABOLOIDE HIPERBÓLICO 38 GRÁFICO Nº 2.6 EL VECTOR TANGENTE T 58 GRÁFICO Nº 2.7 EL VECTOR NORMAL PRINCIPAL GRÁFICO Nº 2.8 GRÁFICA DE LA CURVA DEL EJEMPLO 5 63 GRÁFICO Nº 2.9 GRÁFICA DEL VECTOR CURVATURA GRÁFICO Nº 2.10 CENTRO DE CURVATURA.. 64 GRÁFICO Nº 3.1 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN F(X,Y)=X^2+Y^2. 75 GRÁFICO Nº 3.2 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN F(X,Y)= SQRT(X^2+Y^2).. 75 GRÁFICO Nº 3.3 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN F(X,Y)=SQRT(X^2-Y) 76 GRÁFICO Nº 3.4 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN F(X,Y)=SEN(X^2+Y^2).. 76 GRÁFICO Nº 3.5 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN F(X,Y)=X/(X^2+Y^2).. 76 GRÁFICO Nº 3.6 GRÁFICA DE LAS CURVAS DE NIVEL F(X,Y)=X^2+Y^2 77 GRÁFICO Nº 3.7 GRÁFICA DE LAS CURVAS DE NIVEL F(X,Y)=X^2-Y. 78 GRÁFICO Nº 3.8 GRÁFICA DE LA FUNCION F(X)=(X+Y)/(X^2+Y^2).. 88 GRÁFICO Nº 3.9 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN F(X)=Y/(X^2+Y^2)

7 GRÁFICO Nº 3.10 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN F(X,Y)=X/(X^2-Y)...89 GRÁFICO Nº 3.11 GRÁFICA DE LA FUNCION F(X)=X^2+Y GRÁFICO Nº 3.12 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN F(X,Y)=X^2+Y^2 EN UN ENTORNO DEL PUNTO (0,0) 111 GRÁFICO Nº 3.13 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN Y SU EXTREMO RELATIVO. 116 GRÁFICO Nº 3.14 GRÁFICA DE LA FUNCION Y SU EXTREMO RELATIVO. 116 GRÁFICO Nº 3.15 GRÁFICA DE LA FUNCION Y SU EXTREMO RELATIVO 117 GRÁFICO Nº 3.16 GRÁFICA DE LA FUNCION Y SU EXTREMO RELATIVO 118 GRÁFICO Nº 3.17 GRÁFICO DE LA FUNCION Y SUS EXTREMOS RELATIVOS 119 GRÁFICO Nº 4.1 GRÁFICA DE LA REGION DEL EJEMPLO GRÁFICO Nº 4.2 GRÁFICA DE LA REGION DEL EJEMPLO GRÁFICO Nº 4.3 GRÁFICA DE LA REGION DEL EJEMPLO GRÁFICO Nº 4.4 GRÁFICA DE LA REGION DEL EJEMPLO GRÁFICO Nº 4.5 GRÁFICA DE LA UBICACION DEL CENTROIDE. 144 GRÁFICO Nº 4.6 CAMPO DE VECTORES DEL EJEMPLO GRÁFICO Nº 4.7 CAMPO DE VECTORES DEL EJEMPLO GRÁFICO Nº 4.8 CAMPO DE VECTORES DEL EJEMPLO GRÁFICO Nº 4.9 CAMPO DE VECTORES DEL EJEMPLO GRÁFICO Nº 4.10 CAMPO CONSERVATIVO DEL EJEMPLO GRÁFICO Nº 4.11 CAMPO CONSERVATIVO DEL EJEMPLO GRÁFICO Nº 4.12 CAMPO CONSERVATIVO DEL EJEMPLO GRÁFICO Nº 4.13 CAMPO CONSERVATIVO DEL EJEMPLO GRÁFICO Nº 5.1 GRÁFICA DE LA SUPERFICIE CILÍNDRICA. 175 GRÁFICO Nº 5.2 GRÁFICA DE LA SUPERFICIE ESFERICA 175 GRÁFICO Nº 5.3 GRÁFICA DE LA SUPERFICIE CONICA 176 GRÁFICO Nº 5.4 GRÁFICA DE LA SUPERFICIE DE REVOLUCION DE Y=1/X 177 GRÁFICO Nº 5.5 GRÁFICA DE LA SUPERFICIE DE REVOLUCION DE Y=X^ GRÁFICO Nº 5.6 GRÁFICA DE LA SUPERFICIE DE REVOLUCION DE Y=SQRT(X). 178 GRÁFICO Nº 5.7 GRÁFICA DE LA CURVA Y DEL CONO. 181 GRÁFICO Nº 5.8 CAMPO DE VELOCIDADES 195 6

8 FIGURAS FIGURA Nº 5.1 FIGURA DE UNA SUPERCIECIE. 175 FIGURA Nº 5.2 SÓLIDO LIMITADO POR DOS Y TRES SUPERFICIES 189 FIGURA Nº 5.3 LA DIRECCION A LO LARGO DE LA CURVA C

9 II.-PRÓLOGO La Facultad de Ingeniería Química de la Universidad Nacional del Callao está pasando por cambios e innovaciones respecto a su currícula. Por ejemplo, con respecto al Plan de Estudios se han fusionado temas de los cursos de Matemática I con Matemática II y a su vez, temas de Matemática II con Matemática III. Años atrás, los cursos de Matemática I, II y III eran asignaturas independientes y se cursaban durante los ciclos I, II y III respectivamente. Debido a estas fusiones, tuve la necesidad de desarrollar el texto: Texto: Matemática II para estudiantes de Ingeniería Química adecuándose al Plan de Estudios vigente. Pongo a disposición del alumnado en general éste valioso texto, deseando que les sirva como una herramienta para que puedan ampliar sus conocimientos en las Matemáticas. Finalmente, quiero agradecer a la Universidad Nacional del Callao por el financiamiento de este Proyecto; así mismo, a mis colegas por las recomendaciones brindadas. Autor 8

10 III.INTRODUCCIÓN La presente investigación tiene como propósito la elaboración del texto Texto: Matemática II para estudiantes de Ingeniería Química, donde el estudiante encontrará la teoría básica y especializada para desarrollar sin problemas la asignatura de Matemática II, en virtud a que, en la actualidad no existe un texto que contenga todos los temas considerados en el sílabo de la mencionada asignatura. Este texto se ha desarrollado de una manera secuencial lógica y sistematizada por capítulos. El primer capítulo contiene los siguientes temas del Cálculo Integral: la integral definida, sus propiedades y aplicaciones. En el segundo capítulo se aborda temas del Cálculo Vectorial: funciones vectoriales, sus propiedades y la incidencia del cálculo diferencial e integral, así como las aplicaciones respectivas. El tercer capítulo contiene todo lo relacionado con las funciones de dos a más variables, sus propiedades y aplicaciones. En el cuatro capítulo presentamos el tema: Integrales Múltiples; éste como una generalización de las integrales definidas simples abordadas en el Capítulo I. Finalmente, en el quinto capítulo tratamos el tema de las superficies generadas por una función vectorial, así como el uso de las derivadas parciales e integrales de superficies en las resoluciones de problemas, cabe mencionar que, para GRÁFICAr la superficie se hicieron uso de diferentes programas matemáticos gratuitos,tales como, winplot, Graph, mathlab, etc. Con la presentación del Texto: Matemática II para estudiantes de Ingeniería Química, las personas que cursen la signatura de Matemática II, ya no tendrán problemas en el aprendizaje de dicha asignatura, pues es un texto básico, sencillo y único que se adecúa al silabo de Matemática II. Asimismo, a los profesores que quieran conocer algo más sobre Matemática II, les servirá de ayuda. 9