Código: /2010 Titulación: INGENIERO INDUSTRIAL Curso: 1º (1er C)

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1 ASIGNATURA: CÁLCULO Código: /2010 Titulación: INGENIERO INDUSTRIAL Curso: 1º (1er C) Profesor responsable: - ROQUE MOLINA LEGAZ - ANTONIO ESCUDERO VERGARA Departamento: MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA Tipo (T/Ob/Op): TRONCAL Créditos (T+P): 5T +2,5 P Descriptores de la asignatura según el Plan de Estudios: Cálculo Infinitesimal e Integral. Objetivos de la asignatura: Conocer los principios fundamentales del Cálculo Infinitesimal en una y varias variables. 1. Conocer y saber aplicar los principios fundamentales y las técnicas de Cálculo Integral en una variable. Capacitar a los alumnos para que puedan usar, correctamente, el programa Mathematica, y sus aplicaciones al Cálculo Infinitesimal e Integral. Materias relacionadas con esta asignatura: - Las propias del bachillerato. Programa de la asignatura A. Programa de Teoría: 1. ESPACIOS MÉTRICOS. SUCESIONES EN UN ESPACIO MÉTRICO: 1.1. Definiciones previas Espacios métricos: Definición y ejemplos Entornos, conjuntos abiertos y conjuntos cerrados Puntos interiores, exteriores y frontera Adherencia y conjunto derivado Conjuntos compactos Sucesiones en un espacio métrico Norma de un vector. Espacio vectorial normado Sucesiones de números reales: Definiciones Límites finitos e infinitos. Propiedades.

2 Operaciones con límites finitos e infinitos. Indeterminaciones Cálculo de límites. Criterio de Stolz Series de números reales: Definiciones y propiedades Series de términos no negativos: Propiedades y criterios de convergencia Series de términos cualesquiera Suma de series. 2. LÍMITES Y CONTINUIDAD EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: 2.1. Funciones entre espacios métricos. Definiciones y ejemplos Límites de funciones reales de una variable real. Repaso de conceptos Límites de funciones de varias variables: Definiciones y propiedades Límites direccionales, iterados y cambio a coordenadas polares Continuidad de funciones reales de una variable real. Repaso de conceptos Continuidad de funciones de varias variables: Definiciones y propiedades Continuidad uniforme. 3. DERIVABILIDAD Y DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES REALES: 3.1. Derivación de funciones reales de una variable real. Repaso de conceptos Derivación de funciones reales de varias variables: Derivada direccional. Derivada parcial Diferencial de una función en un punto El teorema del valor medio en varias variables. 4. LA FÓRMULA DE TAYLOR: APLICACIONES: 4.1. Introducción La fórmula de Taylor en una variable: Fórmula de Taylor Acotación del resto. Cálculo aproximado de expresiones numéricas Aplicación de la fórmula de Taylor a la determinación de extremos relativos Desarrollos limitados. Aplicación al cálculo de límites Representación de curvas en coordenadas explícitas La fórmula de Taylor en varias variables: Fórmula de Taylor Cálculo de extremos relativos Cálculo de extremos condicionados. 5. TRANSFORMACIONES: 5.1. Definiciones Teorema de la función compuesta Teorema de la función inversa Teorema de la función implícita Funciones homogéneas. 6. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN UNA VARIABLE: 6.1. Introducción: El problema del área Integral de Riemann. Definición Propiedades de las funciones integrables.

3 6.4. El teorema de la media integral Función integral. Regla de Barrow Métodos elementales de integración: Integración por partes y por cambio de variable. 7. CÁLCULO DE PRIMITIVAS: 7.1. Introducción. Tabla de primitivas inmediatas Métodos elementales de integración Integrales por reducción Integración de funciones racionales Integración de funciones de tipo trigonométrico Integración de funciones irracionales Otros tipos de integrales. 8. INTEGRALES IMPROPIAS Y PARAMÉTRICAS: 8.1. Introducción Integrales impropias: Integrales impropias de 1ª especie. Criterios de convergencia Integrales impropias de 2ª especie. Criterios de convergencia Integrales paramétricas: Definición. Funciones definidas por integrales Continuidad de la integral paramétrica Integrabilidad de la integral paramétrica Derivabilidad de la integral paramétrica Aplicación al cálculo de integrales definidas Integrales paramétricas impropias. Integrales eulerianas. 9. APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL: 9.1. Introducción Cálculo de áreas de recintos planos Cálculo de volúmenes de revolución Cálculo del volumen de un sólido por secciones planas Cálculo de la longitud de un arco de curva Cálculo del área de una superficie de revolución Otras aplicaciones. 10. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES. SERIES DE POTENCIAS. SERIES DE FOURIER: Introducción Sucesiones de funciones: Definiciones y propiedades Series de funciones: Definiciones y propiedades Series de potencias: Definiciones, propiedades y desarrollos Introducción a las series trigonométricas.

4 B. Programa de Prácticas (resumido): Las prácticas serán de dos tipos: 1. Prácticas en el aula (clases de problemas dirigidos en grupos reducidos): 1,5 créditos. 2. Prácticas de Laboratorio (Aula de informática): 1 crédito. Denominación de la práctica Duración (h) Tipo de práctica (Aula, laboratorio, informática) Ubicación física (sede Dpto., aula informática...) Espacios métricos 1 h. Res. de problemas Aula Sucesiones y series numéricas 2 h. Resol. de problemas Aula Cal. Dif. 1 variable 3 h. Resol. de problemas Aula Cal. Dif. varias variables 4 h. Resol. de problemas Aula Cal. Integral 1 variable 3 h. Resol. de problemas Aula Sucesiones y series de funciones. 2 h. Resol. de problemas Aula Series de potencias Introducción a Mathematica 1 h. Informática Aula Informática Operaciones numéricas con 1 h. Informática Aula Informática Mathematica Variables y ficheros en 2 h. Informática Aula Informática Mathematica. Operadores relacionales y lógicos. Funciones Gráficas con Mathematica 2 h. Informática Aula Informática Matemática simbólica con Mathematica 4 h. Informática Aula Informática C. Bibliografía básica: 1. FRANCO, M., MARTINEZ, F. y MOLINA, R.: Cálculo I. PPU, GARCIA, A., LOPEZ, A,... y DE LA VILLA, A.: Cálculo I y II. Ed. los autores. 3. GRANERO, F.: Ejercicios y Problemas de Análisis Matemático (Vol. 1 y 2). Ed. McGraw- Hill. 4. BURGOS, J.: Cálculo Infinitesimal en una variable. Ed. McGraw-Hill. 5. BURGOS, J.: Cálculo Infinitesimal en varias variables. Ed. McGraw-Hill. D. Evaluación del alumno: Composición de los exámenes: Teoría: Preguntas del programa de teoría (enunciados y demostraciones); cuestiones y/o ejercicios de aplicación de la teoría. Duración 1 h. Se realizará sin ningún tipo de ayuda. Problemas: Cuatro problemas. Duración 2 h. Durante la realización de los problemas, el alumno podrá disponer de calculadora no programable. Evaluación: La nota final de la asignatura será la media ponderada de la nota de teoría y la de problemas. La nota de teoría es el 30% y la nota media de los problemas el 70%. Las prácticas no puntúan, aunque la asistencia a las mismas y la entrega de una memoria es imprescindible para poder presentarse al examen.

5 E. Observaciones: