2-11 Elnúmero de elementos en un conjunto...

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1 r ÍNDICE ANALÍTICO -~ CAPÍTUIO 1. SISTEMAS DE NÚMEROS REAIES y COMPIEJOS 1-2 Introducción. Propiedades aritméticas de los números reales Propiedades de ordenación de los números reales Representación geométrica de los números reales Representación decimal de los números reales Números racionales Algunos números irracionales Algunas desigualdades fundamentales Extremos superior e inferior Números complejos Representación geométrica de los números complejos La unidad imaginaria Valor absoluto de un número complejo ' Imposibilidad de una ordenación de los números complejos Exponenciales complejas Argumento de un número complejo Potencias enteras y raices de números complejos Logaritmos complejos Potencias complejas Senos y cosenos complejos CAPÍTUIO 2. NOCIONES FUNDAMENTAIES DE IA TEORÍA DE CONJUNTOS 2-1 Primeras ideas de la teoria de conjuntos Notaciones Pares ordenados Producto cartesiano de dos conjuntos Relaciones y funciones en el plano Definición general de relación Definición general de Ílmción Funciones «uno a uno» e inversas Funciones compuestas Sucesiones Elnúmero de elementos en un conjunto Álgebra de conjuntos r".... CAPÍTUIO 3. EIEMENTOS DE IA TEORÍA DE CONJUNTOS DE PUNTOS Intervalos y conjuntos abiertos en El""" Estructura de los conjuntos abiertos en El" Puntos de acumulación y teorema de Bolzano-Weierstrass en El' Conjunto cerrado en El""'" Generalizaciones a varias dimensiones El teorema de recubrimiento de Reine-Borel Compacidad El infinito en el campo de los números reales El infinito en el plano complejo

2 530 JNDICE ANALlTICO CAPÍTULO 4. Los CONCEPTOS DE LÍMITE Y CONTINUIDAD 62 CAPÍTULO CAPÍTULO 5. CAPÍTULO 6. Definición de límite Algunos teoremas fundamentales sobre límites ::. :::::::::: ~a condición de Cauchy Algebra de límites Continuidad Ejemplos de funciones continuas Funciones continuas en conjuntos abiertos o cerrados Funciones continuas en conjuntos compactos... Aplicaciones topológicas Propiedades de las funciones reales continuas Continuidad uniforme Discontinuidades de funciones reales Funciones monótonas Condiciones necesarias y suficientes para la continuidad "..... DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL ~:~ ~;~fj~~ió%~ 'd~;i~~'ci~''.'.:: :::::: ::::::: ::::::::::::::::::::::::: 5-3 Álgebra de derivadas La regla de la cadena Derivadas laterales y derivadas infinitas" 5-6 Funciones con derivada no nula Funciones con derivada nula Teorema de Rolle El Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial" Teorema del valor intermedio para las derivadas Fórmula de Taylor con resto..... ' DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE v ARIAS VARIABLES ~~tr~~;:~~~~l'di;e~~i~~~i.'. " " : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Diferenciales de funciones de una variable real Diferenciales de las funciones de varias variables El vedor gradiente Diferenciales de las funciones compuestas y regla de la cadena..... Regla invariante de Cauchy El Teorema del Valor Medio para funciones de varias variables..... Una condición suficiente para la existencia de la diferencial..". Derivadas parciales de orden superior Fórmula de Taylor para funciones de varias variables Diferenciación de funciones de una variable compleja Las ecuaciones de Cauchy-Riemann." CAPÍTULO 7. APIICACIONES DE IADIFERENCIACIÓN PARCIAL Introducción ]acobianos Funciones con ]acobiano no nulo.." Teorema de la función inversa Teorema de la función implícita Problemas de extremos Condiciones suficientes para un extremo local Problemas de extremos condicionados ;. 8-1 Introducción..; 8-2 Propied?>des 8-3 Funciones de 8-4 Variación 8-5 Funciones 8-6 Curvas Equivalencia 8-8 Caminos" 8-9 Curvas rectifi 8-10 Propiedades de. j 8-11 Conexión Componentes 8-13 Regiones... ' 8-14 Teorema de la 9-1 Introducción." 9-2 Notaciones..". 9-3 Definición de la. 9-4 Propiedades lin 9-1> Integración por 9-6 Cambio de varia 9-7 Reducción a una 9-8 Funciones escal 9-9 Integradores cr 9-10 Condición deri 9-11 Integradores de 9-12 Condiciones sufici Stieltjes.... ' Condiciones Stieltjes.. n. ' Teoremas del Val 9-15 La integral como 9-16 Cambio de varia 9-17 Segundo Teorema 9-18 Integrales de Ri 9-19 Diferenciación bajoj 9-20 Inversión del orden: 9-21 Oscilación de una fi 9-22 Contenido ]ordan di 9-23 Una condición neces ción del contenie 9-24 Medida exterior de 9-25 Una condición neces ción de la medie c Integrales compleja! Integrales de cont01 El número de giros Orientación de las 4 Otros teoremas rela

3 IN DICE ANALITICO 531 CAPÍTUIO 8. FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA CURVAS RECTIFICABIES y CONJUNTOS CONExoS ll Propiedades de las funciones monótonas..... Funciones de variación acotada "..... " Variación total Funciones continuas de variación acotada Curvas Equivalencia de funciones vectoriales continuas Caminos dirigidos Curvas rectificables Propiedades de la longitud de un arco Conexión Componentes de un conjunto Regiones Teorema de la curva de Jordan y resultados con él relacionados CAPÍTUIO 9. TEORÍA DE IA INTEGRACIÓN DE RIEMANN-STIEITJES b ll Notaciones Definición de la integral de Riemann-Stieltjes Propiedades lineales Integración por partes Cambio de variable en una integral de Riemann-Stieltjes Reducción a una integral de Riemann Funciones escalonadas como integradores Integradores crecientes con monotonía. Integrales superior e inferior.. Condición de Riemann.... Integradores de variación acotada... Condiciones Stieltjes. suficientes para la existencia de las integrales de Riemann c Condiciones necesarias para la existencia de las integrales de Riemann- Stieltjes Teoremas del Valor Medio para las integrales de Riemann-Stieltjes La integral como función del intervalo Cambio de variable en una integral de Riemann Segundo Teorema del Valor Medio para integrales de Riemann Integrales de Riemann-Stieltjes dependientes de un parámetro Diferenciación bajo el signo integral Inversión del orden de derivación Oscilación de una función Contenido Jordan de conjuntos acotados en El" Una condición necesaria y suficiente de integrabilidad expresada en función del contenido Medida exterior de Lebesgue de subconjuntos de El' Una condición necesaria y suficiente de integrabilidad expresada en función de la medida Integrales complejas de Riemann-Stieltjes Integrales de contorno El número de giros Orientación de las curvas rectificables de Jordan Otros teoremas relativos a la medida exterior de Lebesgue

4 - 532 ll" DICE ANALlTICO CAPÍTULO ll CAPÍTULO 11. ll-l ll-2 ll ll-5 ll-6 ll-7 ll ll-10 ll-l1 ll-12 ll-13 ll-14 ll-15 ll ll CAPÍTULO INTEGRALES MÚLTIPLES E INTEGRALES DE LÍNEA La medida (o contenido) de conjuntos elementales en En.' Integración de Riemann de funciones acotadas definidas e.n intervalos de En""""""""""""""""""""""""""'" Contenido de J ordan de conjuntos acotados en En' Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de las integrales múltiples I Cálculo de una integral múltiple por integración reiterada Integración múltiple sobre conjuntos más generales Teorema del Valor Medio en las integrales múltiples Cambio de variable en una integral múltiple Integrales de línea Integrales de línea con respecto a la longitud de arco La integral de línea de un gradiente "..... Teorema de Green para rectángulos Teorema de Green para regiones limitadas por curvas rectificables de J ordan... Independencia del camino ANÁLISIS VECTORIAI Independencia lineal y bases en En Representación geométrica de vectores en E3" Representación geométrica del producto interior en E3' El producto exterior de vectores en E3' Producto escalar triple Derivadas de las funciones vectoriales Geometría diferencial elemental de curvas alabeadas Vector tangente de una curva... Valores normales curvatura torsión Campos vectoriales El campo gradiente en En El rotacional de un campo vectorial en E3" La divergencia de un campo vectorial en En' El operador laplaciana Superficies J).epresentación explícita de una superficie paramétrica Area de una superficie paramétrica Suma de superficies paramétricas Integrales de superficie Teorema de Stokes Orientación de superficies Teorema de Gauss (teorema de la divergencia) Transformaciones de coordenadas... SERIES y PRODUCTOS INFINITOS Sucesiones convergentes y divergentes Límite superior y límite inferior de una sucesión real Sucesiones monótonas de números reales Series Introducción y supresión de paréntesis Series alternadas Convergencia absoluta y condicional Parte real y par Criterios de con~ Criterios del coci Criterios de Dirit Reordenación de Sucesiones doble Series dobles Multiplicaciónd~ Sumabilidad de Productos infinit ' CAPÍTULO 13. SUCESIONEI 13-1 Introducción Ejemplos de suc 13-3 Definici?m de cp Una aplicación ~13-5 Convergencia un: 13-6 La condición de 13-7 Convergencia un 13-8 Curva que lleu.a 13-9 Aplicación a las Convergencia un 13-ll Convergencia un Condiciones sufi< Convergencia ac( "'" Convergencia en Series de potenc Multiplicación di El teorema de s Series reales de ] 3-19 Teorema de Ber: La serie bínómi< Teorema de Ab Teorema de Tau CAPÍTULO 14. INTEGRALE 14-1 Introducción Integrales infinit 14-3 Criterios de con' 14-4 Series e integral< 14-5 Integrales impro 14-6 Convergencia un 14-7 Propiedades de : 14-8 Integrales impro 14-9 Integración de s CAPÍTULO 15. SERIES DE. / Introducción Sistemas de fun< 15-3 Serie de Fourier 15-4 Aproximación n 15-5 Series trigonomé 15-6 Lema de Riema."" 15-7 Funciones absob 15-8 Integrales de Di

5 I indice ANALiTICO Parte real y parte imaginaria de una serie compleja Criterios de convergencia para series de términos positivos..... Criterios del cociente y de la raiz Criterios de Dirichlet y Abe! Reordenación de series Sucesiones dobles Series dobles Multiplicación de series Sumabilidad de Cesaro Productos infinitos ~t- ~ II I CAPÍTULO Ejemplos de sucesiones de funciones reales Definición de cpnvergencia uniforme Una aplicación a las sucesiones dobles Convergencia unif9rme y continuidad La condición de Cauchy para la convergencia uniforme Convergencia uniforme de series Curva que llera un espacio Aplicación a las series de series Convergencia uniforme e integración de Riemann-Stieltjes Convergencia uniforme y derivación Condiciones suficientes para la convergencia uniforme de una serie Convergencia acotada. Teorema de Arzela Convergencia en media Series de potencias Multiplicación de series de potencias El teorema de sustitución Series reales de potencias J 3-19 Teorema de Bemstein La serie binómica Teorema de Abe! Teorema de Tauber CAPÍTULO CAPÍTULO SUCESIONES DE FUNCIONES INTEGRALES IMPROPIAS DE RIEMANN-STIELTJES Integrales infinitas de Riemann-Stieltjes Criterios de convergencia de integrales infinitas Series e integrales infinitas Integrales impropias de segunda especie Convergencia uniforme de integrales impropias Propiedades de las funciones definidas mediante integrales impropias. Integrales impropias reiteradas Integración de series cuando se consideran integrales impropias..... SERIES DE FOURlER E INTEGRALES DE FOURIER Sistemas de funciones ortogonales Serie de. Fourier de una función relativa a un sistema ortonormal.... Aproximación media cuadrática Series trigonométricas de Fourier Lema de Riemann-Lebesgue Funciones absolutamente integrables Integrales de Dirichlet

6 534 ÍNDICE ANALÍTICO S Representación de las sumas parciales de una serie de Fourier por medio de integrales Teorema de localización de Riemann Condiciones suficientes para la convergencia de una serie de Fourier.. ;.. Sumabilidad Cesaro de las series de Fourier Consecuencias del teorema de Fejér Otras formas de series de Fourier Teorema de la integral de Fourier Forma expotrencial del teorema de la integral de Fourier Tránsformadas integrales Convolutiohes Teoremá :de convolución para transformadas de Fourier Transformada de Laplace Fórmula de inversión para transformadas de Taplace ; CAPÍTULO c TEOREMA DE CAUCHY y CÁLCUI.O DE RESIDUOS Funciones analiticas.... Teorema de la integral de Cauchy Deformación del contorno Fórmula de la integral de Cauchy Valor medio de una función analitica de un círculo Fórmula integral de Cauchy para la derivada de una función analitica Existencia de.lqs derivadas superiores de una función analítica..... Desarrollos en series de potencias para funciones analiticas. Ceros de las fum;:iones analiticas Teorema de identidad para funciones analiticas Desarrollo de Laurent para funciones analiticas en un anillo.... Singularidades aisladas Residuo de lma función en un punto singular aislado Teorema del residuo (Cauchy)... Diferencia entre el número de ceros y el número de polos en el interior de un contorno cerrado Cálculo de integrales reales mediante los residuos Aplicación del teorema del residuo a la fónnula de inversión para transformadas de Laplace Funciones analiticas uno a uno : Aplicaciones conformes ' índice DE SÍMBOLOS ESPECIAIES. r :..... ~ índice ALFABÉTICO ~. - ~- I..~