ELEMENTOS DE LA MATEMATICA

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1 ELEMENTOS DE LA MATEMATICA SEMESTRE: Primero CODIGO ANTERIOR: 22G7 CODIGO: 8101 REQUISITOS: No tiene CREDITOS: 6 HORAS DE TEORIA: 4 HORAS DE PRACTICA : 4 TEMA 1: Lógica simbólica. Las conectivas lógicas. Tablas de verdad. Tautologías. Proposiciones del tipo a b, a b, a b, a b y negación de estas proposiciones. Cuantificadores universal y existencial. Ejemplos de proposiciones que involucran estos cuantificadores. Problemas planteados con palabras, incluyendo ejemplos surgidos de la Matemática. TEMA 2: Teoría de conjuntos. Idea de conjunto. La paradoja de Russell y el esquema axiomático de separación. Inclusión de conjuntos. Unión, intersección, diferencia, complemento, leyes de De Morgan. Representación de conjuntos mediante diagramas de Venn. Problemas planteados con palabras que se resuelven usando diagramas de Venn. Uniones e intersecciones infinitas. TEMA 3: Relaciones y funciones. Producto cartesiano de conjuntos. Relaciones binarias. Distintos tipos de relaciones. Relaciones de equivalencia, clases de equivalencia y conjunto cociente. Inversa de una relación. Concepto de función.

2 ELEMENTOS DE LA MATEMATICA 2 Ejemplos. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Función inversa. TEMA 4: Los números naturales y los números enteros. Los números naturales. El principio del mínimo entero. Deducción del principio de inducción. Aplicaciones sencillas del principio de inducción. Funciones con dominio los naturales. Concepto de sucesión. Los números enteros. Algoritmo de la división en los números enteros. Relación de equivalencia que determina un entero ( congruencia ). Divisibilidad. Concepto de número primo. Descomposición en factores primos. Reglas de divisibilidad. Se hará hincapié en la comprensión de la deducción de estas reglas y no en la memorización de las mismas. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Se deberá comprender la demostración de su existencia, se enseñará cómo calcularlo y se resolverán problemas relacionados. Demostración de que el máximo común divisor de los enteros a y b es de la forma ax+by, con x é y enteros, usando el principio del mínimo entero. Demostración de que el conjunto de los números primos es infinito. TEMA 5: Los números racionales. Los números racionales. Introducción al concepto de fracción. Reducción y simplificación de fracciones. Operaciones con fracciones: suma, resta, producto, cociente. Representación geométrica de los números racionales. Se deberá ver cómo es posible la construcción de un segmento cuya longitud es un número racional usando regla y compás.

3 ELEMENTOS DE LA MATEMATICA 3 TEMA 6: Los números reales. Los números reales. Construcción con regla y compás de un segmento de longitud 2. Demostración de que no existe ningún número racional cuyo cuadrado sea igual a 2. Existencia de otros segmentos cuya longitud no puede ser representada mediante un número racional. Introducción, en forma intuitiva, del conjunto de los números reales. Relación de orden en R y comparación de números reales. Valor absoluto de números reales. Operaciones con números reales: suma, resta, producto, división, potenciación. Relaciones entre estas operaciones. Propiedad de Arquímedes. Subconjuntos acotados de R. Noción de supremo e ínfimo. Representación decimal de los números reales y notación científica. Aproximación de un número real por un número racional, con errores por exceso y por defecto. Bases distintas a la base 10. Representación sexagesimal de los Babilonios. Representación binaria y terciaria. TEMA 7: Aplicaciones del principio de inducción, binomio de Newton y sucesiones. Ejemplos de resultados que se demuestran usando inducción. Teorema del binomio. Sucesiones, término general. Sucesiones crecientes y decrecientes. Sucesiones acotadas. Supremo e ínfimo de una sucesión. Progresiones aritméticas y geométricas. Fórmula para la suma de los términos. Problemas relacionados.

4 ELEMENTOS DE LA MATEMATICA 4 TEMA 8: Geometría y Trigonometría. Definición de las funciones trigonométricas, círculo trigonométrico, resolución de triángulos, identidades trigonométricas. Teoremas del seno y del coseno. Representación gráfica de las funciones trigonométricas. Funciones trigonométricas inversas. Problemas planteados con palabras. TEMA 9: Polinomios. Polinomios con coeficientes reales. Operaciones con polinomios: suma, resta, producto. Divisibilidad de polinomios. Algoritmo de la división en R[x]. Polinomios irreducibles. Descomposición de un polinomio en factores irreducibles. Raíces y factorización de un polinomio. Productos notables. Deducción de la fórmula para las raíces del polinomio de grado 2. Número de raíces de un polinomio. Funciones determinadas por polinomios y sus gráficas. TEMA 10: Los números complejos Introducción motivada del conjunto de los números complejos. Representación geométrica del conjunto de los números complejos. Valor absoluto y forma polar. Operaciones básicas: suma, resta, producto, cociente y su interpretación geométrica. Potenciación y radicación de números complejos. Raíces de la unidad de un orden dado y raíces primitivas de la unidad. Estudio de la naturaleza de las raíces de un polinomio. Enunciado del teorema fundamental del álgebra. Factorización en R de polinomios tales como x

5 ELEMENTOS DE LA MATEMATICA 5 TEMA 11: Introducción a la teoría combinatoria. Variaciones, combinaciones, permutaciones. Problemas planteados con palabras. Observación general: Se debe evitar el exceso de formalismo en los tres primeros temas. Sin embargo los conceptos básicos correspondientes a estos temas deben ser objeto de referencia constante a través de todo el curso. BIBLIOGRAFIA Gobran, A, Baldor, A. Baldor, A. Baldor, A Lehman Polya, G. Rada, S. Lightstone, A. H. Halmos, P. R. Álgebra Elemental Álgebra. Aritmética. Geometría y trigonometría. Álgebra. Cómo plantear y resolver problemas. Aritmética Simbolic logic and the real number system. Teoría intuitiva de los conjuntos.