RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES

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1 RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES Actividades iniciales. En las siguientes funciones estudia las características: dominio, los puntos de corte con los ejes, las simetrías, la periodicidad, las asíntotas, la monotonía, los etremos relativos, el tipo de concavidad y la eistencia o no de puntos de infleión: a) y = 8 b) y = a) f() = 8 Puntos de corte con el eje OX: y = 8 y = Puntos de corte con el eje OY: y = 8 y = P (, ) = Simetrías: f() = 8 f( ) = ( ) 8 ( ) = + 8 f() f( ) f no es simétrica respecto al eje OY. f() f( ) f no es simétrica respecto al origen de coordenadas. Periodicidad: f no es periódica. Asíntotas: No tiene asíntotas. Monotonía: f'() = 8 Estudiamos el signo de f'(). f'() < en (-, ) f'() > en (, + ) f es estrictamente decreciente en (, ) f es estrictamente creciente en (, + ) Etremos relativos: f'() = 8 = =. f''() = > f tiene un mínimo relativo en (, 8) Concavidad: f''() = > f es cóncava hacia las y positivas en todo R. No eisten puntos de infleión. 3 b) g() = {+, } Puntos de corte con el eje OX: y = 3 = P (, ) y = Puntos de corte con el eje OY: y = 3 = = = + y = P (, ) 3 P (, ) Q (, ) Simetrías: Como f() = +g( ) la función g es simétrica respecto al origen de coordenadas. Periodicidad: g no es periódica. Asíntotas: Asíntotas verticales: Las rectas de ecuaciones. = y =. Asíntotas horizontales: No eisten las asíntotas horizontales. Asíntotas oblicuas: Son de la forma y = m + b. La asíntota oblicua es la recta y =. Monotonía: + g'() > en, 3 3, + g es estrictamente creciente en, 3 3, + g'() < en 3, (, ) (, ), 3 g es estrictamente decreciente en 3, (, ) (, ), 3 Etremos relativos: g'' 3 g() = 3 ; g( ) = ( )3 ( ) = 3 lím - m = lím ± b = lím ± g'() = ( ) = ; lím - 3 ( ) = lím ± 3 = lím ± g'() = ( ) = = = ± 3 g''() = ( ) > g tiene mínimo relativo en el punto 3, 3 3 g'' - 3 < g tiene máimo relativo en el punto 3, 3 3. Concavidad g''() = ( ) = = = ± 3 = = ± + 3 = + = = 3 6 G UÍA D IDÁCTICA

2 g''() < en (, ) (, +) g es cóncava hacia las y negativas en (, ) (, +). g''() > en (, ) (, + ) g es cóncava hacia las y positivas en (, ) (, + ). Puntos de infleión: g''() = ( ) 3 ; = = g'''() = ( ) g'''() Eiste un punto de infleión en el punto (, ). Actividades de Enseñanza-Aprendizaje Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y = ( + ) ( ) b) y = c) y = d) y= + 3 e) y = f) y = 8 a) y = ( + ) ( ) = f() Simetrías y periodicidad: Es simétrica respecto al Origen y no es periódica. (, ) (, ) (, ) Asíntotas y ramas infinitas: No tiene asíntotas. Etremos relativos: Mínimo 3, 6 33 Máimo 3, 6 33 Puntos de infleión: (, ) f es negativa en (, ) (, ) f es positiva en (, ) (, ) b) y = = f() Simetrías y periodicidad: Es simétrica respecto al eje de ordenadas y no es periódica.,,, Asíntotas y ramas infinitas: No tiene. Etremos relativos: Máimo (, ) Mínimos en (, ) y (, ) Puntos de infleión: 3, 5 9 3, f es negativa en,, f es positiva en,, + c) y = = f() Simetrías y periodicidad: Ni es simétrica ni periódica. Puntos de corte con los ejes (, ) (,6; ) ( 3,; ) Asíntotas y ramas infinitas: No tiene. Etremos relativos: Máimo (, ) Puntos de infleión: 5 6 ; 5, Mínimo 3, 9 7 f es negativa en ( ; 3,) (;,6) f es positiva en ( 3,; ) (,6; + ) G UÍA D IDÁCTICA 6

3 d) y = si o 3 f() = + 3 si < < 3 Etremos relativos: Máimo (, 8) Mínimos (, 9) y (, 9) Puntos de infleión: 3, , 77 9 Intervalos de signo constante f es positiva en (, ) (, + ) f es negativa en (, ) 3 e) y = 3 f() 6 Simetrías y periodicidad: Es simétrica respecto al origen de coordenadas y no es periódica., 6, 6, Asíntotas y ramas infinitas: no tiene. Etremos relativos: Máimo, Mínimo 3 Puntos de infleión: (, ) f es positiva en, 6, + 6, 3 Representa gráficamente las siguientes funciones: a) = b) y = + c) y = 8 curva de d) y = + Agnesi + e) f) y = 3 + y = g) y = + h) y = ( + ) ( + 3) ( + ) + i) = ( + ) ( + ) ( ) ( + 3) 8 9 f es negativa en 6, + 6, + a) y = = f() {+, } Simetrías y periodicidad: Simétrica respecto OY y no periódica. (, ) Asíntotas: = +; = - ; y = Etremos relativos: Máimo (, ) f es positiva en (, ) (, + ) f es negativa en (, ) f) y = 8 = f() Simetrías y periodicidad: Es simétrica respecto al eje de ordenadas y no es periódica. (, 8) (, ) (, ) Asíntotas y ramas infinitas: No tiene. 6 G UÍA D IDÁCTICA

4 b) y = + = f() Simetrías y periodicidad: Simétrica respecto al origen y no periódica. (, ) Asíntotas: y = Etremos relativos: Máimo (, ; Mínimo (, ) ) f es negativa en (, ) f es positiva en (, + ) f es negativa en (, ). f es positiva en (, ) (, + ). 8 e) y = = f() {, } Simetrías y periodicidad: Ni simétrica, ni periódica.,, Asíntotas: = ; = ; y = + La curva corta a la asíntota oblicua y = + c) y = 8 + = f() Simetrías y periodicidad: Simétrica respecto a OY y no periódica. (, ) Asíntotas: y = Etremos relativos: Máimo (, ). f es positiva en todo su dominio. en el punto 7 8, 5 8 Etremos relativos: No se pueden hallar fácilmente. f es positiva en (, ) (, + ) f es negativa en (, ) (, ). 7/8 d) y = + = f() {} Simetrías y periodicidad: no es simétrica, ni periódica. (, ) Asíntotas: = ; y =. Etremos relativos: Mínimo (, ); Máimo (, 8). f) y = = f() {, } Simetrías y periodicidad: No es simétrica, ni periódica. (, ) (, ) (, ) Asíntotas: = ; = ; y = Etremos relativos: Mínimo,,3 ; Máimo, 3 G UÍA D IDÁCTICA 63

5 f es negativa en (, ) (-, ) (, + ) f es negativa en (, ) (, ). f) y = ( + ) ( + ) = f() ( ) ( + 3) {, 3} Simetrías y periodicidad: No es simétrica, ni periódica. Cortes con los ejes: (, ) (, ) (, ) Asíntotas: = ; = 3; y = + La curva corte a la asíntota oblicua en (, ) Etremos relativos: Pueden verse en la gráfica. f es negativa en (, 3) (, ) (, ) f es positiva en ( 3, ) (, ) (, + ) g) y = + ( + ) ( + 3) ( + ) = f() {, 3, } Simetrías y periodicidad: No es simétrica, ni periódica., (, ) Asíntotas: = ; = 3; = ; y =. Etremos relativos: La curva presenta dos máimos relativos y un mínimo, como observamos en la gráfica. f es positiva en (, ) ( 3, ) (, + ) f es negativa en (, 3) (, ) 3 3 Representa gráficamente las siguientes funciones: a) = b) y = c) = d) y = ± + 3 e) = ± f) y = 3 h) y = + = f() f() = + si si < a) y = + = f() Dominio: Dom f = (, ] [+, + ) Simetrías y periodicidad: Es simétrica respecto al eje OY y no es periódica. (, ) (, ) Asíntotas: y = ; y =. Etremos relativos: no tiene. f es positiva en todo su dominio G UÍA D IDÁCTICA

6 3 b) y = = f(). Simetrías y periodicidad: Es simétrica respecto a OY y no es periódica. (, ) Asíntotas: no tiene. Etremos relativos: no tiene. f es positiva en todo su dominio. e) y = ± = f() Dominio: Dom f = (, ) (, + ) Simetrías y periodicidad: Simétrica respecto a OY y no periódica. (, ) no eiste. Asíntotas: = +; = ; y = ; y = Etremos relativos: Mínimos Máimos 8, 8, 8, 8, 3 c) y = f(). + Dominio: Dom f = (, +] Simétricas y periodicidad: no es simétrica ni periódica. (, ) (, ). Asíntotas: =. Etremos relativos: no tiene. f es negativa en todo su dominio. f) y = 3 - y = ± 3 = f() Dominio: Dom f = [, 3) Simetrías y periodicidad: No tiene (, ) Asíntotas: = 3 Etremos relativos: no tiene. d) y = ± = f() Dominio: Dom f =, [, + ) Simetrías y periodicidad: No eisten. (, ) (, ) Asíntotas: = ; y = 3 6 ; y = 3 6 Etremos relativos: no tiene. 3 Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y = ln ( ) b) y = e c) y = e d) y = ln ( 5 + ) e) y = ln f) y = ln + g) y = ln + h) y = e e i) y = e G UÍA D IDÁCTICA 65

7 a) y = ln ( ) = f() Dominio : Dom f = (, + ) Simetrías y periodicidad: ni simétrica ni periódica. (3, ) Asíntotas: = Etremos relativos: no tiene. f es positiva en (3, + ) f es negativa en (, 3) f es negativa en (, ) f es positiva en (, + ) e b) y = = f() Dominio : Dom f = R {} no tiene. Asíntotas: = pues lím e = +. + y = pues lím e = y lím e = Etremos relativos: no tiene. f es positiva en (, ) (, + ) d) y = ln ( 5 + ) = f() Dominio: Dom f = (-, ) (, + ) (, ln ) (,; ) (,8; ) Asíntotas: =, pues = pues lím ln ( 5 + ) = ln ( 5 + ) = lím Etremos relativos: no tiene. f es positiva en (- ;,8) (,; + ) f es negativa en (,8; ) (;,) c) y = e = f() (, ) Asíntotas: y =, pues lím e =. - Etremos relativos: Mínimo, e e) y = ln = f(). Dominio: Dom f = (, + ) (, ) Asíntotas: =, pues lím ln = + y = o, pues lím ln = + Etremos relativos: Máimo e, e 66 G UÍA D IDÁCTICA

8 f es negativa en (, ) f es positiva en (, + ) f) y = ln + = f() f() = e ln ( + ) si > ln ( ) si < { } (, ) (, ) Asíntotas: =. Etremos relativos: no tiene. f es positiva en (-, -) (, + ) f es negativa en ( -, ) (, ) e h) y = = f() e {} no tiene. Asíntotas: = y =, pues lím e + e = y =, pues lím e + e = Etremos relativos: no tiene. f es negativa en (, ) f es positiva en (, + ) g) y = ln + = ln ( + ) = f() Simetrías y periodicidad: Es simétrica respecto al eje de ordenadas (OY) y no es periódica. (, ln) Asíntotas: no tiene. Etremos relativos: Mínimo (, ln). f es positiva en todo su dominio. e i) y = = f(). {} no tiene. Asíntotas: = y = pues lím e - = Etremos relativos: Mínimo, e f es negativa en (, ) f es positiva en (, + ) e / 5 A partir de las gráficas de las respectivas funciones, demuestra que: ( ) ln > ; > + G UÍA D IDÁCTICA 67

9 Dominio: Dom g = R Simetrías y periodicidad: Es simétrica respecto al origen de coordenadas y no es periódica., KΠ, Π + KΠ, con K Z Con los datos obtenidos y dando valores, representamos gráficamente la función dada: En la gráfica está representada en trazo continúa la función ( ) y = ln y en discontinmuo la función y =. + Claramente se observa que a partir de > se verifica la desigualdad. 6 Representa gráficamente las siguientes funciones: f() = g() = + si si = sen si si = f() = {} (, ) (, ) Asíntotas: no tiene. Con los datos obtenidos y haciendo una tabla de valores encontramos la gráfica de la función dada: 3 + si si = 3 Actividades propuestas en pruebas de acceso a la Universidad 7 Consideramos la función f() = Se pide: a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Etremos relativos. b) Intervalos de concavidad y conveidad. Puntos de infleión. c) Asíntotas. a) f() = f'() = ( ) Estudiamos el signo de f'() + + f es creciente en (, ) (, + ) f es decreciente en (, ) (, ) f'() = = = = ( ) f''() = ( ) 3 f''() < f tiene un máimo en (, ) f''() < f tiene un mínimo en (, ) b) Estudiemos el signo de f''(). g() = sen si si = f es cóncava hacia las y positivas en (, + ) y f es cóncava hacia las y negativas en (, ) f no tiene puntos de infleión. c) Asíntotas verticales: = Asíntotas horizontales: no tiene, pues: lím + = lím + = 68 G UÍA D IDÁCTICA

10 Asíntotas oblicuas: m = lím ± b = lím ± La asíntota oblicua es la recta de ecuación y = +. lím = lím = 8 Puntos de corte con los ejes o ceros: (, ) (, ) Asíntotas: Verticales: no tiene. Horizontales: y = 8 Intervalos de crecimiento y decrecimiento: f'() = 8 + (8 + ) Estudiamos el signo de f'() f es creciente en = = 8 Halla el dominio de definición, los límites cuando + y cuando, los ceros, las asíntotas, y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f() = 8 + Dibuja luego un esquema sencillo de su gráfica. + +,, + f es decreciente en, Etremos relativos: f tiene un máimo relativo en, y un mínimo relativo en., 8 Su gráfica es: Nota: Utiliza las gráficas de las funciones: f() = e y g() = La ecuación dada + e ( ) = se puede transformar en: e = ( ) Por tanto, las soluciones de esta ecuación serán los valores de las abscisas de los puntos de intersección de las curvas: f() = y = e ; g() = y = ( ) Las representamos gráficamente: y = g() A partir de la representación gráfica observamos que las funciones f() y g() se cortan en dos puntos; uno de ellos entre (, ) y otro (, ). Representa gráficamente la función y = 3 y = 3 = f() Dominio = Dom f = R {+, } Simetrías y periodicidad: es simétrica respecto al origen de coordenadas y no es periódica. (, ) Asíntotas: = + ; = ; y = Etremos relativos: Mínimo relativo 3, 3 3 ; Máimo relativo 3, 3 3 Punto de infleión: (, ) f es positiva en (, ) (, + ) f es negativa en (, ) (, ) 3 ( ) y = f() Demuestra que la ecuación + e ( ) = tiene únicamente dos soluciones. Podrías decir entre qué dos números enteros consecutivos está cada una de las soluciones? G UÍA D IDÁCTICA 69

11 Representa gráficamente la función f() = calculando, en su caso, el dominio de definición, máimos, mínimos, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento y puntos de corte con los ejes. e y = = f() {} Simetrías y periodicidad: no es simétrica ni periódica. (, ) Asíntotas: = e y = o, pues lím =. - Etremos relativos: Máimo relativo (, e ) Intervalos de crecimiento y decrecimiento Creciente (, ) (, ) Decreciente (, + ) f es positiva en (, ) f es negativa en (, + ) e 3 Estudia y representa gráficamente la función f: R R definida así: ( + ) si < f() = si = lo g e si > ( + ) a) y = ( < ) Dominio: R Simetrías: No simétrica. Periodicidad: no periódica. Cortes con los ejes: (, ) Asíntotas: = ; y = + Etremos relativos: Máimo (, ) b) y = ln ( > ) Dominio: R Simetrías: no tiene. Periodicidad: no periódica. Cortes con los ejes: (, ) Asíntotas: = ; y = lím ln = - ; lím ln = + Etremos relativos: Máimo e, e A partir del estudio anterior, obtenemos la gráfica de la función dada: e 7 8 Dibuja la región del plano comprendida entre las curvas: y = 6 = (y ) e e y = 6 = (y ) Éste es el esquema que representa el gráfico de la función y = f() + La zona rayada es la región de plano comprendida entre las curvas. 7 G UÍA D IDÁCTICA

12 a) Haz otro esquema que represente el gráfico de la función y = f(). b) Haz otro esquema que represente conjuntamente las gráficas de y = f() e y = f(). Eplica el fundamento para la construcción de estos esquemas. b) El gráfico de la función y = f() se obtiene duplicando las ordenadas correspondientes a cada valor de la abscisa en la gráfica de la función y = f(). a) El gráfico de la función y = f() se obtiene al aplicar al gráfico de la función y = f() una simetría de eje el eje de abscisas. y = f() y = f() y = f() y = f() G UÍA D IDÁCTICA 7