REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

Transcripción

1 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN: Conjunto de puntos del plano (,y), en los que y = f(), es decir, conjunto de puntos del plano en los que la segunda coordenada es la imagen de la primera.

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3 ESTUDIO PREVIO 1.- DOMINIO DE DEFINICIÓN 2.- SIGNO DE LAS IMÁGENES 3.- PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES 4.- PARIDAD Y SIMETRÍAS 5.- PERIODICIDAD 6.- CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO Y EXTREMOS 7.- CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN 8.- RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS

4 1) CAMPO O DOMINIO DE DEFINICIÓN: Conjunto de números reales que tienen imagen a) Funciones polinómicas: y = p(), D = p() b) Funciones racionales: y =, D = q() c) Funciones irracionales: y = n p() D = si n es impar ; D = { / p() 0} / q() 0 d) Funciones logarítmicas: y = log a p(); D = { / p() 0} e) Funciones eponenciales, seno y coseno: D = Si n es par

5 D (, 2] [ 2, )

6 2) SIGNO DE LAS IMÁGENES: El signo de las imágenes determina las zonas del plano en el que está la gráfica de la función. y zona del plano donde estará la gráfica si f() > 0 0 a b zona del plano donde estará la gráfica si f() < 0

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8 3) PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES: Son puntos de la gráfica situados sobres los ejes de coordenadas. Puntos de corte con el eje de ordenadas (eje OY): = 0 y se halla el correspondiente valor de y. Puntos de corte con el eje de abscisas (eje OX): y = 0 y se hallan los correspondientes valores de. Ejemplo: y = Si = 0, y = 0; corta al eje 0Y en (0,0) Si y = 0, = 0, ( 1) ( + 1) ( 2) ( + 2) = 0, = 0, = 1, = 1, = 2, = 2; Puntos: (0, 0), (1, 0), ( 1, 0), (2, 0) y ( 2, 0)

9 y , y ( 1)( 1)( 2)( 2)

10 4) PARIDAD Y SIMETRÍAS: Funciones pares: f( ) = f(). Simétricas respecto del eje OY. Funciones impares: f( ) = f(). Simétricas respecto del origen de coordenadas (0,0). Función Par, simétrica respecto del eje OY f() = 4 2, es par porque f(-) = (-) 4 (-) 2 = 4 2

11 Función Impar, simétrica respecto del ORIGEN de coordenadas Ejemplo: La función y = es impar pues f( ) = ( ) 5 5( ) 3 + 4( ) = = f() Las funciones pares y las impares sólo es necesario estudiarlas para 0, pues por simetría se obtiene el resto de la gráfica.

12 5) PERIODICIDAD: Se dice que una función f() es periódica de periodo T si D, f(+t) = f().

13 6) INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. EXTREMOS RELATIVOS: a) Se halla f (). b) Se estudia su signo. c) Si en (a, b) f () > 0 entonces f() es creciente en (a, b) d) Si en (a, b) f () < 0 entonces f() es decreciente en (a, b). e) En los puntos en los que f() pase de decrecer a crecer hay un mínimo. f) En los puntos en los que f() pase de crecer a decrecer hay un Máimo. g) También se pueden hallar los etremos teniendo en cuenta que si f ( 0 ) = 0 y f ( 0 ) > 0 entonces en 0 hay mínimo y si f ( 0 ) < 0 en 0 hay máimo.

14 Ejemplo: y = ; y = ; = 0, 2 = t, 4 = t 2, 5t 2 15t + 4 = 0, t 1 = 2 7, t 2 = 0 3, 1 = 1 64, 2 = 0 54, 3 = 0 54, 4 = 1 64 y = 5 ( )( )( 0 54)( 1 64) y = 0, 1 = 1 64, 2 = 0 54, 3 = 0 54, 4 = y y Crece Decrece Crece Decrece Crece En = En = 1 64 y en = 0 54 hay máimos y en = 1 64 hay mínimos.

15 y = Como f() es impar sólo habría que estudiar su comportamiento para > 0

16 7) INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. PUNTOS DE INFLEXIÓN: a) Se halla f (). b) Se estudia su signo. c) Si f () > 0 en (a,b) entonces en (a,b) f() es cóncava. d) Si f () < 0 en (a,b) entonces en (a,b) f() es convea. e) En los puntos en los que f() cambia su concavidad hay puntos de infleión. f) Si en f ( 0 ) = 0 y f ( 0 ) de infleión. 0 entonces en 0 hay punto

17 y = ; y = ; y = = 10(2 2 3); = 0, = 0, y =20 ( )( 1 22) y = 0, 10(2 2 3) = 0, 3 6, 1' y + + y Convea Cóncava Convea Cóncava En 1 = 1 22, 2 = 0 y 3 = 1 22 hay puntos de infleión.

18 y =

19 8) RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS: Asíntotas verticales: La recta = a es una asíntota vertical si a f () a f () a f ()

20 8) RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS: a f () a f ()

21 8) RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS: Asíntotas horizontales: La recta y = b es una asíntota si f () b f () b f () b

22 8) RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS: Asíntotas oblicuas: y = m + n es una asíntota si f () m ; n f () m [ ] Asíntota oblicua cuando tiende a Asíntota oblicua cuando tiende a

23 p() En las funciones racionales f() = q(), si al efectuar la división p() q() p() q() se obtiene m + n de cociente y R de resto, entonces R = m + n +, es decir, y = m + n es la asíntota oblicua. q() Si la gráfica de una función tiene asíntota horizontal cuando tiende a entonces no tiene asíntota oblicua cuando tiende a y viceversa. Lo mismo ocurre cuando tiende a.

24 La función y = no tiene asíntotas. Su gráfica es

25 EJEMPLO DE ASÍNTOTAS OBLICUAS 2 y = 1, como f( ) = f(), es par, simétrica respecto del eje OY m 2 f () n f () m Asíntotas y =, y =, por ser par

26 EJEMPLO DE ASÍNTOTA OBLICUA y = 2 2 2,m n f () Otra forma: 2 f () Asíntota y = 2 4