TEMA 0 FUNCIONES ***************

Transcripción

1 TEMA 0. Definición y terminología.. Funciones conocidas. 3. Operaciones con funciones. 4. Funciones inversas. FUNCIONES ***************. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que todos los elementos de D tengan una imagen en R y solo una". Lo escribimos: f: D R * Los elementos del primer conjunto D, los representamos por la variable independiente, "". * Los elementos del segundo conjunto que son imagen de algún elemento de D, los representamos por la variable dependiente, "y". Para que una función quede bien determinada es preciso conocer: a) El criterio o ley "f" que nos permite efectuar la correspondencia. Este criterio puede venir dado por Una fórmula matemática; Una gráfica o Una tabla de valores. b) El dominio (o dominio de eistencia o campo de definición de la función). "Es el conjunto de números reales, D, que tienen imagen por la función" D = Dom ( f ) = R / f() R Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: * Las funciones polinómicas tienen de dominio R. * Las funciones racionales tienen de dominio todo R menos los números que anulan el denominador. * Las funciones irracionales de índice par, tienen como dominio el conjunto de números reales que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. * Las funciones irracionales de índice impar tienen como dominio R.. Determinar el dominio de las funciones dadas por las guientes epreones: f () = f ()= + 4 ; f 3 ()= ; f 4 () = 3 ; f5 () = ; f 6 4 ; 3 c) El recorrido (o conjunto imagen) "Es el conjunto de valores de R que son imágenes por la función, de algún elemento del Dominio". Recorrido = Im ( f ) = y R / y = f(), Dom ( f ) Determina el dominio y el recorrido de la función dada por: f() = + 3. Gráfica de una función.

2 Es la representación sobre unos ejes carteanos, de los pares de números reales,, f(), relacionados por la función..3 Igualdad de funciones. Para que dos funciones sean iguales es preciso que tengan: Igual criterio o ley matemática; Igual dominio; Igual recorrido. Es decir f() = g(), para todo Dom ( f ) = Dom ( g ). Notas.. Di razonadamente las funciones: f : Df R dada por la epreón f() = + ; g : Dg ambas. R dada por la epreón - 4 g() = - ; son funciones iguales. Dibuja las gráficas de a) La mayor parte de las funciones que manejaremos este curso vendrán dadas por una fórmula matemática, que llamaremos epreón analítica de la función. b) Aunque para que la función quede bien definida es preciso conocer el criterio, el Dominio y el Recorrido, la mayor parte de las veces no se especifican estos últimos y tendremos que deducirlo nosotros a partir de la epreón analítica o de la gráfica.. FUNCIONES CONOCIDAS.. Funciones constantes. Son de la forma f() = K. K = constante R; Dom(f) = R; Im(f) ={K} La gráfica es una recta paralela al eje de abscisas, que pasa por los puntos (0,K), (,K), (,K)... En el caso particular f() = 0, la gráfica es el mismo eje de abscisas.. Funciones lineales. Tienen la forma f() = m; m R-{0}; Dom(f) = R; Im(f) = R Las gráficas son rectas que pasan por el origen de coordenadas. Al numero m se le llama pendiente de la recta o constante de proporcionalidad. Si m es potivo la grafica es creciente. Si m es negativo la grafica es decreciente. En el caso particular m =, se obtiene la función identidad f() =, cuya gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante..3 Funciones afines. Son de la forma f() = a + b; a, b R-{0}; Dom(f) = R; Im(f) = R Las gráficas son rectas que no pasan por el origen. Al numero a se le llama pendiente de la recta. Al numero b se le llama ordenada en el origen. Si a es potivo la grafica es creciente. Si a es negativo la grafica es decreciente. Nota: A veces a los tres tipos de funciones anteriores se les llama lineales, ya que en los tres casos las graficas son líneas rectas. 3. Determina la epreón de una función afín, sabiendo que su gráfica pasa por los puntos A(,) y B(-,-7).

3 .4 Funciones lineales a trozos o definidas por intervalos. Son aquellas que vienen definidas por distintos criterios lineales o afines en distintos subintervalos de R. En estas funciones el Dominio viene especificado en cada caso y el recorrido lo debemos determinar una vez dibujada la gráfica. Las gráficas vienen dadas por segmentos rectilíneos o semirrectas. Por ejemplo: 4. Representa gráficamente e indica el dominio y el recorrido en la función: 3, < 0 3, f() = < g () ,5 4 5, Como casos particulares interesantes de este tipo, son las funciones que vamos a ver en los apartados guientes..5 Función valor absoluto. Viene dada por el criterio "a cada número real se le asocia como imagen su valor absoluto". Es decir: - < 0 f() = = 0 = 0 Dom(f) = R; Im(f)= R + {0}. Representa función valor absoluto. > 0 - g() g() < 0 Esta función nos rve para generalizarla al caso: f() = g() = 0 g() = 0 g() g() > 0 (En este caso el dominio, el recorrido y la gráfica dependen de la función "g" ) 5. Dibuja las graficas de las guientes funciones, e indica su dominio y recorrido: a. f() = + ; b. f () 3 ; c. 3 ; d. f() = Representar las gráficas de las guientes funciones indicando su dominio y recorrido: f () = ; f () = ; ( ) f ( ) 6. () 4 f 5 7. Di razonadamente las funciones dadas por las epreones funciones iguales. Dibuja las gráficas de ambas..6 Función parte entera. f ; 3 f() = ; g() = Es la función que "a cada número real,, le hace corresponder su parte entera, es decir el mayor entero menor o igual que ". (Esto quiere decir que un número,, no es entero, estará comprendido entre dos enteros consecutivos, y al menor de ellos se le llama parte entera de. Se escribe f() = E[] o mplemente f() = []; Dom(f) = R; Im(f) = Z < < 0 8. Si escribimos la función por intervalos queda: f() = [] = 0 0 < < < son 3

4 Representa gráficamente la función parte entera. 9. Representa gráficamente las guientes funciones: f ()= E() +; f ()= E() + ;.7 Funciones polinómicas de segundo grado: parábolas. a. Tienen como epreón analítica: f() = a + b + c ; a, b, c R, a 0 Dom(f)=R; Im(f ) y v,, y v a 0 a 0 b. La gráfica es una parábola convea, a > 0 La gráfica es una parábola cóncava, a < 0 endo y la ordenada del vértice de la parábola v c. Los puntos de corte con los ejes son importantes para dibujar la gráfica y se obtienen: Eje OY: Se hace = 0, y se calcula f(0) = c. El punto es (0, f(0)) Eje OX: Se hace y = 0, y se resuelve la ecuación : a +b+c=0. Las soluciones,,, de esta, nos dará las abscisas de los puntos de corte, que serán: (, 0) y (, 0). (En este eje, puede haber dos puntos de corte, uno o ninguno, según que la ecuación anterior tenga, dos, una o ninguna solución real). -b d. El vértice V tiene de coordenadas ( v, y v ): v = a ; y = f( ) v v (El vértice es el único punto de la parábola en el que la tangente es paralela al eje OX. Es un punto crítico y la función presenta en él, un máimo o un mínimo). e. Signo de la parábola: serán aquellos valores del dominio para los cuales la función será potiva o negativa. 0. Representar gráficamente las guientes funciones, determinando previamente los puntos de corte con los ejes, el vértice, la concavidad y el recorrido: f() = ; g() = Determinar el dominio de las funciones dadas por las guientes epreones: f () = 5 6 ; f () = ( 3)( ) ; f 3 () = 5 6. Representar las gráficas de las guientes funciones indicando el dominio y el recorrido: f ( ) ( ) ; f () = Representar la gráfica de la guiente función indicando el dominio y el recorrido: f ( ). Comprueba que f() coincide con la función f() = (+)(-). Define la propiedad que podemos aplicar al valor absoluto de un producto. 8. Representar la gráfica de la guiente función indicando el dominio y el recorrido: f ( ) 3 9. Aplica la propiedad del ejercicio anterior. 9. Representa gráficamente las guientes funciones: a) f () b) - f ( ) c) 8 6 f ( )

5 d) g) f ( ) - f ( ) - e) f () g) f ( ).8 Funciones trigonométricas o circulares. a. Función seno. Es de la forma: f() = sen f) f () 4 5 h) f () e (Recuerda que para dibujar esta función y todas las trigonométricas, tomas valores con la calculadora, tienes que tomar los números en radianes, y al tomar la escala en el eje de abscisas, señalamos π/, π, 3π/, etc) La gráfica es: 0 0 Esta función cumple: a. Dom(f) = R; Im (f) = [-,]. (Recuerda que: - sen ). a. La gráfica es continua en R. a.3 No tiene asíntotas. a.4 Es periódica de periodo π. (Recuerda que sen = sen (+Kπ) a.5 Punto de corte con el eje OY :(0, 0). Punto de corte con el eje OX : (kπ, 0); k Z. a.6 Tiene infinitos máimos en los puntos de abscisa: K endo KZ Comprueba que es cierto viendo que f'()=0 y f''()<0, en dichos puntos. a.7 3 Tiene infinitos mínimos en: K endo KZ Comprueba que es cierto viendo que f'()=0 y f''()>0, en dichos puntos). a.8 En los puntos de máimo y mínimo, la tangente a la gráfica es paralela al eje OX. b. Función coseno. 9. Dibuja la gráfica y estudia los mismos apartados que para f() = sen. c. Función tangente. c. Recuerda que sen tg = cos, a la hora de definir y ver las propiedades de la función tangente. c. Para f() = tg : Dom(f) = { R / cos 0 } = R - + k ; k Z ; Im (f) = R 5

6 c.3 La gráfica no es continua en R. Es continua en R - + k ; k Z c.4 Tiene infinitas asíntotas verticales en los puntos donde no está definida: = + k ; k Z c.5 Es periódica de periodo π. Recuerda que tag = tag + k c.6 Punto de corte con el eje OY :(0, 0). c.7 Puntos de corte con el eje OX : (kπ, 0); kz. c.8 No tiene máimos ni mínimos. Comprueba que es cierto viendo que f () 0 R c.9 La gráfica es:.9 Funciones eponenciales. Estas funciones vienen dadas por epreones de la forma f() = a. Y como en este caso la variable,, está en el eponente para no tener problemas en la definición, eigimos que la base, a, sea empre potiva, y distinta de. Es decir: f() = a ; endo a > 0 y a Para hacer la gráfica distinguimos dos casos: a > ; y 0< a <. Sus gráficas correspondientes son: 6

7 Las características más importantes son: a. Dom(f) = R; Im(f)= (0, +) b. La gráfica es continua en R. c. Tiene asíntota horizontal a la izquierda para a > cuando - y a la derecha para 0 < a < cuando +. En ambos casos la asíntota es la recta y = 0 (Eje de abscisas). d. Punto de corte con el eje de ordenadas: (0, ). Punto de corte con el eje de abscisas: No tiene. e. No tiene puntos ngulares (máimo ni mínimo relativos). Ya que f ( ) a ln a 0 ; R. f. Es creciente en todo R cuando a > y decreciente cuando 0 < a <. Por el hecho de ser estrictamente crecientes / decrecientes, estas funciones son inyectivas. 3. OPERACIONES CON FUNCIONES. Con las funciones conocidas podemos realizar una serie de operaciones que ya conoces, solo nos vamos a detener en la última (la compoción) por ser de especial interés y ser una operación específica de las funciones. "Dadas dos funciones reales de variable real: f : Df R y g : Dg R definimos: Suma: (f + g)() = f() + g(); Dom(f + g)=d f D g. Diferencia: (f-g)() = f() - g(); Dom(f-g)=D f D g. Producto: (f.g)() = f(). g(); Dom(f.g)=D f D g. Cociente: (f/g)() = f() / g(); Dom(f/g)=D f D g -{R/ g()=0} Compoción: "Se llama función compuesta de f y g y se escribe g o f, a una nueva función h definida así: h() = (g o f)() = g[f()] de manera que g actúa sobre las imágenes obtenidas por f En esquema sería: f() g[f()] h = g o f (Lo leemos "f compuesta con g", ya que la que actúa primero es la función f, y sobre el resultado actúa la g). Dominio (g o f)= {Dom(f) / f()dom(g)} Para poder realizar la compoción de f y g es preciso que: Im (f) Dom (g) (Si esto no ocurre debemos tomar una restricción de f, para aquellos Dom(f), tales que f() Dom(g) ) 0. Dadas las funciones f() = + 3 y g() = - 4: a) Determina el dominio y el recorrido de f() y g() b) Es poble definir la función g o f? En caso afirmativo determina dicha función g o f. Haz un esquema donde epliques dicha compoción. c) Es poble definir la función f o g? En caso afirmativo determina dicha función f o g. Haz un esquema donde epliques dicha compoción. d) Comprueba que g o f f o g.. Dada las funciones f y g, definida por los criterios, f() = +; g() = e. Repite el ejercicio anterior para dichas funciones 7

8 4. Funciones inversas. 4. Funciones inversas respecto del producto. Función de proporcionalidad inversa Esta función viene dada por una epreón de la forma f() = k, donde k es una constante. Para hacer la gráfica distinguimos dos casos: k > 0; y k < 0. Sus gráficas correspondientes son: Propiedades Dominio. Dom(f) = R - {0} Recorrido. Im(f) = R - {0} Monotonía. Estas funciones son estrictamente crecientes en todo su dominio k es potivo y son estrictamente decrecientes k es negativo Etremos relativos. Carecen de ellos. Acotación. Estas funciones no están acotadas inferior ni superiormente. Simetrías. Sus gráficas son métricas respecto del origen de coordenadas. Ramas infinitas y asíntotas. Estas funciones tienen dos ramas infinitas verticales y dos ramas infinitas verticales. La asíntota vertical es el eje de ordenadas ( = 0) y la asíntota horizontal es el eje de abscisas (y = 0). Cortes con los ejes. No corta a ninguno de los ejes (son asíntotas). 4. Función recíproca (o inversa) de una dada respecto de la compoción. Sea f una función real de variable real f : Df Im(f) "Se llama correspondencia recíproca o inversa de f -y escribimos f -- - a la correspondencia que pasa del conjunto Imagen (f) al Dominio (f), haciendo corresponder a cada imagen, y, su original ". En esquema: f Dominio (f) Imagen(f) f -- Es decir "f" relaciona un original "" con su imagen "y", "f -- " pasa de la imagen "y" al original "". Observaciones importantes.. La correspondencia recíproca f -- no empre es una función. Para que f -- sea una función, es necesario que la función inicial f sea inyectiva o "uno a uno". La función f es inyectiva para cualquier par de elementos,, del Dominio, al ser f( ) = f( ) obliga a que =. Luego: f( )=f( ) =. Es decir, elementos distintos tienen imágenes distintas. (Por ejemplo la función f() = no es inyectiva en R, porque f()=4 y f(-)=4) 8

9 . En el caso de que f no sea inyectiva, para definir la función recíproca f -, conderaremos restricciones de f, a las partes del dominio donde f sea inyectiva. Tomamos: (Por ejemplo f() =, no es inyectiva en R. () = ; ]-, 0] () = ; [0, + [ f f parábola desde el vértice, y ya son inyectivas. 3. Evidentemente se cumple: Dom (f -- ) = Im(f); Im (f -- ) = Dom(f). Estas dos funciones corresponden a las dos ramas de la 4. La compoción de ambas funciones es la función identidad (definida sobre el dominio de la primera función que interviene en la compoción). (f -- o f)() = ; Dom(f) (f o f -- )() = ; Dom(f - ) 5. Teniendo en cuenta la definición de f -- : Si el par ( 0 ; y 0 ) Gráfica de f, entonces el par (y 0 ; 0 ) Gráfica de f. - Es decir, dibujamos las gráficas en una referencia ortonormal: Las gráficas de dos funciones recíprocas son métricas respecto de la bisectriz del er y 3 er cuadrante. 6. Epreón analítica. Para determinar la epreón analítica y basándonos en la misma definición, podemos cambiar las variables " por y", e "y por ", y despejar después "y". Obtenemos así la epreón de f --.. Determinar la función recíproca de y. 3. Idem para la función f() = 4.3 Funciones recíprocas importantes: logarítmica, arco seno, arco coseno, arco tangente. Las vamos a construir como funciones recíprocas, respectivamente, de las funciones eponencial, seno, coseno y tangente a. Función logarítmica. Para obtener la función inversa de y =, cambiamos por y, tendríamos = y. Ahora despejamos la y; pero para bajar la y del eponente no hay ninguna función que permita este proceso. Por tanto se define la función logarítmica de base que es la que nos permite dicha operación L (es la función inversa de la eponencial. De igual forma se define las funciones log a de base a - con a > 0 - como inversas de las funciones a 4. Representa las funciones y = e y = log. 9

10 5. Representa y = e y = log 6. Dada las funciones f y g, definida por los criterios, f() = +; g() = ln. a) Determina el dominio y el recorrido de f() y g() b) Es poble definir la función g o f? En caso afirmativo determina dicha función g o f. Haz un esquema donde epliques dicha compoción. c) Es poble definir la función f o g? En caso afirmativo determina dicha función f o g. Haz un esquema donde epliques dicha compoción. d) Comprueba que g o f f o g. 7. Repite el ejercicio anterior para las funciones: f() = - y g() = ln 8. Dibujar la función f() = +. Determinar y dibujar también la función inversa o recíproca b. Función arcoseno. c. Función arcocoseno. 0

11 d. Función arcotangente.