f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f.

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1 TEMA 5: FUNCIONES ELEMENTALES. 5. Función real de variable real. 5. Operaciones con funciones: composición e inversa. 5.3 Construcción de gráficas de funciones elementales y sus transformaciones. 5.4 Interpolación lineal y cuadrática. 5. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL. Se define función real de variable real a una aplicación que a cada elemento del subconjunto D de IR le hace corresponder un único número real y llamado imagen. A se le llama variable independiente y a y = f() se le llama variable dependiente. f: D IR IR f() v. indep. v. dependiente, imagen de mediante f. Al conjunto de los números reales que tienen imagen por f se le llama dominio de f y se denota por Domf. Domf = { IR / y = f() IR}. Al conjunto de números reales que son imagen mediante f se le llama imagen de f o recorrido y se denota por Imf. Imf = { f() con Domf }. La gráfica de una función f está formada por los pares de puntos (, f()) con D(f). Para calcular el dominio de una función tendremos en cuenta: ) No podemos calcular un cociente si en el denominador tenemos 0. ) No podemos calcular la raíz de índice par de un número negativo. 3) No podemos calcular el logaritmo de 0 o de un número negativo. 4) Tendremos que tener en cuenta el conteto real en la que definimos la función. 5) La propia definición de la función. Ejercicio : Calcula el dominio de las siguientes funciones: a) f() = -+ b) c) f e) () f 3 4 ) d) f( ) ( f() 3 6 f) f() g) f() e h) f() i) f() Ln j) f() = Ln Ejercicio 3: Epresa mediante una función: a) El precio de una cierta cantidad de café que vale el kilo. b) El coste de una llamada telefónica, si el establecimiento de llamada es de 0 y la tarifa por un minuto es de 0.

2 c) La relación entre la altura y la base de un triángulo cualquiera de 6 cm de área, si la base es la variable dependiente. d) El área de un cuadrado en función de su diagonal. Voluntarios: página 46, ejercicios 40, 4, 43 y 44. Hay un tipo de funciones llamadas funciones a trozos. Ejemplo: Un mayorista vende cada caja de tomates a 0 si el comerciante le compra hasta 0 cajas, a 8 si le compra más de 0 cajas pero menos de 30 y a 4 si compra más de 30 cajas. Epresa dichos precios mediante epresión algebraica. Recuerda que en la unidad 3 aprendisteis a pasar de una función valor absoluto a una función a trozos. Ejercicio 4: Epresa como una función definida a trozos: f() = Ejercicio 5: Epresa la epresión algebraica que representa a las siguientes gráficas. Ejercicio 6: Dada las funciones a trozos: si 6 3 si f () g( ) si si a) Calcula la imagen de =, 0, -, -5 mediante f y g. b) De quién es imagen 9 mediante f? De quién es imagen mediante g? c) Calcula el dominio de las siguientes funciones a trozos. Ejercicio 7: Encuentra las epresiones analíticas de las funciones cuyas gráficas son las siguientes: Voluntarios, página 46, ejercicios: 45, 46, OPERACIONES CON FUNCIONES. Ya sabemos cómo sumar, multiplicar o dividir funciones, aunque es necesario conocer la notación de forma adecuada: (f+g) () = f() + g(), (fg) () = f() g() y (f:g) () = f() : g() 4 Ejercicio 8: Dadas las funciones f() =, g() =, h() = y i() =. 4 Calcula y observa sus dominios: (f - g)(), (g. h)(), (g : i)() y () f Una operación entre funciones muy importante es la composición de funciones, que consiste en obtener una función a partir de la aplicación de dos o más funciones de forma sucesiva: Dadas dos funciones f y g definimos la función f compuesta con g como la función que asigna a cada del dominio de f el número g[f()]. Dicha función se denota por gof. f: D IR IR g: D IR IR f() g() gof : D IR IR gof() = g[f()].

3 Propiedades de la composición de funciones: a) Propiedad asociativa: h o (g o f) = (h o g) o f b) No tiene la propiedad conmutativa: g o f f o g. Ejemplos. Ejercicio 9: Calcula f o g y g o f, siendo: a) f() = y g() =. b) f() = y g() =. Calcula g(f(4)) c) f() = y g() =. d) f() = y g() =. e) f() = 3 6 y g() = 3 6. Otra operación entre funciones muy importante es el cálculo de la función inversa respecto de la composición. Cuando tenemos una función que nos ayuda a predecir el número de habitantes de un país, podemos hacernos la pregunta contraria, cuánto tiempo ha de pasar para tener habitantes? Para contestar a dicha pregunta necesitamos conocer la función inversa respecto de la composición de dicha función. Qué observas en el apartado e del ejercicio9? De la definición de composición de funciones podemos obtener la siguiente definición, la inversa de f respecto de la composición es otra función, que se denota por f -, que verifica que (fof - )() = (f - of)() = Id() =. Para calcular la inversa de una función debemos seguir el proceso siguiente: ) Escribir la función de la forma y =, ) cambiar por y, 3) despejar y, la función resultante será nuestra función inversa. **Nota: A partir de ahora solo la llamaremos inversa, pero no debes confundir f con f -. Ejercicio 0: Calcula la inversa respecto de la composición de las siguientes funciones: a) f() = b) g() = c) h() = d) i() = e) j() = f) k() 4 g) l() = Ln h) m() = e + Voluntarios: página 46, ejercicios 48, 49, 5, CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Y SUS TRANSFORMACIONES. Este apartado lo realizaremos a modo resumen. En una hoja cuadriculada nueva dibujaras las siguientes líneas: Recta horizontal f() = k Representación de funciones elementales Recta creciente f() = m + n m > 0 3

4 Recta decreciente f() = m + n m < 0 Parábola f() = a + b + c a > 0 Proporcionalidad inversa f() f() = Parábola f() = a + b + c a < 0 Función racional (numerador y denominador de grado ) a b f() c d Representación de funciones elementales Función eponencial Función eponencial f() = a con a > y g() = e Función logarítmica f() = log a a > y g() = Ln Función valor absoluto f() Función a trozos si 6 3 f () si f() = a con a < Función logarítmica f() = log a a < Función radical de f() Parte entera y = E() = n si n n + **Nota: Dibuja en dos colores distintos f() = Ln y g() = respecto de la recta y =, por ser funciones inversas e, observa sus gráficas. Son simétricas Dada la función y = puedes saber cómo es la gráfica de y =? Y de y = 4? Y de y = -? Y de y = +? Y de y = (+)? A esto llamamos transformaciones de una función. A partir de representaciones sencillas, podemos obtener otro tipo de funciones que son transformaciones de la primera. Para ello debemos de tener en cuenta los distintos tipos de transformaciones: a) Dilatación y = a f() si a > la gráfica se estrecha. b) Dilatación y = a f() si a < la gráfica se ensancha. c) Traslación vertical y = f() + a con a > 0, la gráfica sube a unidades. d) Traslación vertical y = f() - a con a > 0, la gráfica baja a unidades. e) Traslación horizontal y = f( + a) con a > 0, la gráfica se traslada a unidades a la izquierda. f) Traslación horizontal y = f( - a) con a > 0, la gráfica se traslada a unidades a la derecha. Ejercicio : Representa las siguientes funciones como transformaciones de una función elemental: a) y = 5 b) y = - 3 c) y = + d) y = e) y = f) y = g) y = 3 + h) y = i) y = j) y = k) y = l) y = 4 Ejercicio : Representa las siguientes funciones racionales cuyo numerador y denominador son polinomios de grado : a) y = b) y = c) y = d) y = 3 4

5 Ejercicio 3: Representa las siguientes funciones a trozos: a) y = si si si b) y= 3 si c) y = 3 si 0 si 0 4 si 4 d) y = si 0,3 4 si [ 3,0) si (3,7) Voluntarios, página 46, ejercicios 45, 46 e) y = si si Ejercicio 4: Representa las siguientes funciones con valor absoluto: a) y = 5 4 b) y = 4,5 d) y = 3 e) y = c) y = 4 5 f) y = 3 g) y = - 3 h) y = - 4 i) y = - Voluntarios, página 46, ejercicios 55, INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN. En ocasiones un fenómeno económico, médico, etc es conocido por algunos valores y tratamos de calcular una función matemática que se ajuste a dichos valores. A dicho proceso se le llama interpolar, interpolar es calcular el valor aproimado de una función para un valor dado de la variable independiente cuando este se encuentra en el intervalo de valores tabulados (conocidos). Cuando el valor de la variable independiente está fuera de valores tabulados, al proceso se le llama etrapolar. Nosotros estudiaremos la interpolación lineal y cuadrática. Comencemos con la interpolación lineal, la ecuación de una recta que pasa por dos y y0 puntos conocidos A( 0,y 0 ) y B(,y ) es de la forma y = m( 0 ) + y 0 siendo m =. Aunque también podemos hacerlo de la siguiente forma: Ejercicio 5: Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos A = (,) y B = (4,-). 0 Ejercicio 6: Por un recibo de gas en el que se han consumido 0 m 3 se han pagado 50 y por 6 m 3 se han pagado 7. Cuánto habrá que pagar por un consumo de gas de 5 m 3? Y por 8 m 3? En primer lugar identificamos la variable independiente, en este ejercicio es la cantidad de m 3 que hemos consumido. De la cantidad que consumimos depende el coste. Por tanto y es el coste en. En segundo lugar, calculamos la recta que pasa por (0, 50) y (6, 7). Para ello tendremos en cuenta que las funciones lineales (rectas) son de la forma f() = m + n (0, 50) 50 = m 0 + n 0 m + n = 50 resolvemos el sistema obteniendo m =7/ y n = 5 (6, 7) 7 = m 6 + n 6 m + n = 7 5

6 Es decir, f() = 7 + 5, por tanto para saber cuánto costaran 5 m 3, 7 35 sustituimos en la función, f(5) = =. Es Interpolación ya que 5 está dentro el intervalo (0, 5). Para saber cuánto costaran 8 m 3, sustituimos en la función, f(8) = = 43. Por tanto 8 m 3 costarán 43. Es etrapolación ya que 8 está fuera del intervalo (0, 5). Ejercicio 7: El consumo de gasolina de cierto automóvil, por cada 00 km, depende de la velocidad a la que va. A 60 km/h consume 5 7 l, a 80 km/h consume 6 l y a 90 km/h consume 7 l. Estima cuánto consumirá si recorre 00 km a 70km/h. Y a 00 km/h? Voluntarios, página 46, ejercicios 60, 6, usa la calculadora si quieres. Si queremos interpolar un valor intermedio a partir de tres datos no alineados, buscaremos una función polinómica de segundo grado (ya que tenemos tres datos), a este proceso se le llama interpolación cuadrática. Ejercicio 8: Los precios de ciertas parcelas cuadradas varían en función de la longitud de su lado, una parcela de 5 m cuesta 5 mil euros (en la función pondremos 5), de 0 m cuesta 00 mil euros, de 0 m cuesta 380 mil euros. Cuánto valdrá un terreno de m de lado? **Nota: Para decidir si se trata de interpolación cuadrática o lineal, representamos los puntos en los ejes de coordenadas y observamos si forman una línea (función lineal) o una curva (función cuadrática). En primer lugar identificamos la variable independiente, en este ejercicio es la cantidad de m que mide el lado de la parcela. Del lado depende el coste de la parcela. Por tanto y es el coste en miles de. En segundo lugar, calculamos los coeficientes de la parábola que es de la forma f() = a + b + c, para ello necesitamos tres datos: (5, 5), (0, 00) y (0, 380). (5, 5) 5 = a5 + b5 + c 5 a + 5 b + c = 5 (0, 00) 00 = a0 + b0 + c 00 a + 0 b + c = 00 (0, 380) 380 = a0 + b0 + c 400 a + 0 b + c = 380 Resolvemos el sistema por el método de Gauss, obteniendo a =, b = - y c = 0. Es decir, f() = - + 0, por tanto para saber cuánto costará una parcela de m de lado, sustituimos en la función, f() = + 0, f() = 40. Es Interpolación ya que está dentro el intervalo (5, 0). Ejercicio 9: Una gran superficie comercial vendió en enero 8 millones de euros, en febrero 7 millones y en marzo 5 millones. Encuentra la función cuadrática que se ajusta a estos tres datos. Qué ventas se esperan en abril? 6

7 Voluntarios, página 46, ejercicios 65, 66 usa la calculadora si lo consideras necesario. Entrega de estos ejercicios en trabajo en grupo: página 46, ejercicios 63, 65, 8, 85, 88, 89, 90. 7