FUNCIONES ELEMENTALES

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1 FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES POLINÓMICAS.- Son aquellas cuya expresión algebraica es un polinomio. El grado del polinomio es el grado de la función polinómica. Ejemplos.- f ( x) = 3 g ( x) = x + 1 h ( x) = x + x + 1 j ( x) = x 3 1, son funciones polinómicas de grados o, 1, y 3 respectivamente. Todas las funciones polinómicas tienen por dominio: D(f)=R, son continuas en él y no tienen asíntotas. Entre estas funciones estudiaremos: 1. FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO MENOR O IGUAL QUE 1: RECTAS.- Su expresión algebraica es: f ( x) = mx + n ó y = mx + n con m y n R conocidos. Su gráfica es siempre una recta, que en general se dibuja así: El coeficiente m se llama pendiente de la recta, y es la variación constante que experimenta Ejemplo.- la variable y, cuando x aumenta 1 unidad: variación de la ordenada m = variación de abscisa Por cada unidad que aumente x, y varía (aumenta o disminuye) m unidades. 5 3 m = = = 0' (Por cada unidad que aumenta x, y aumenta 0 75 unidades). Si la recta pasa por los puntos: A(a,b) y B(a,b ), su pendiente m será: b' b m = a ' a Gráficamente la pendiente m es la tangente trigonométrica del ángulo, α, que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas:

2 b' b c. opuesto m = pendiente de larecta = = = tagα a' a c. contiguo m = tagα El coeficiente n se llama ordenada en el origen, debido a que para x = 0 y = m 0 + n y = n, y la recta pasa por el punto de coordenadas (0,n). Si m = 0 : La función se llama función constante. Su expresión analítica es: y = n. Su gráfica es siempre una recta paralela ( o coincidente) al eje de abscisas, por el punto (0,n). Si m = 0 : La función se llama función lineal o de proporcionalidad directa. Su expresión analítica es: y = mx. Su gráfica es una recta que pasa siempre por el origen de coordenadas (0,0). Si m 0 y n 0 : La función se llama función afín. Su fórmula es y = mx + n. Su gráfica es siempre una recta oblicua que no pasa por el origen de coordenadas. Según el signo de la pendiente m, el ángulo de inclinación de la recta sobre el eje de abscisas es agudo u obtuso:

3 m > 0 α agudo m < 0 α obtuso Para dibujar la recta (gráfica de esta función), sólo necesitamos dos puntos cualesquiera de ella.. FUNCIONES POLINÓMICAS DE ºGRADO: PARÁBOLAS.- Es la función polinómica de grado. Su fórmula es: f ( x) = ax + bx + c ó y = ax + bx + c. Se representan todas ellas mediante parábolas.cada una de estas parábolas es una curva en forma de horquilla ( ó ), que tiene un eje paralelo al eje de ordenadas, respecto del que es simétrica, llamado eje de la parábola. El punto común a la parábola y a su eje se le llama vértice de la parábola, que la divide en dos partes llamadas ramas de la parábola. Su forma (hacia arriba, hacia abajo, más ancha, más estrecha,...) depende del coeficiente principal, a ; de manera que si a>0, la parábola es: (con sus ramas hacia arriba o convexa), y si a<0, es (con sus ramas hacia abajo o cóncava). Cuanto mayor sea a, más estilizada es la parábola. a>0 a<0 Para representar cualquier parábola es conveniente seguir las pautas siguientes: x Calculamos las coordenadas del vértice: V ( x 0, y0 ), con y Calculamos los puntos de corte con los ejes coordenados 0 0 b = a = f ( x ) Fabricamos una tabla de valores con algunos valores de x elegidos a ambos lados de la abscisa del vértice. Llevamos todos los datos obtenidos sobre el sistema de ejes coordenados. La ecuación de su eje es: x = x0, con x o = abscisa del vértice. 0

4 La demostración de que x b =, es la abscisa del vértice, se puede hacer teniendo en cuenta a 0 que coincide con la abscisa del punto medio de un segmento cuyos extremos sean dos puntos simétricos respecto de su eje cualesquiera, por ejemplo: los dos puntos de ordenada c, cuyas abscisas calculamos: y = c y = ax ax + bx + c + bx + c = c ax + bx = 0 x( ax + b) x = 0 = 0 x = b a luego la abscisa del punto medio será : Si b = 0 : Su fórmula: y = ax + c x b 0 + a b = = c.q.d. a 0. La parábola tiene como eje, el eje de ordenadas. Si c = 0 : Su fórmula: y = ax + bx. La parábola pasa por el origen de coordenadas. 3. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA: HIPÉRBOLA.- Relaciona magnitudes inversamente proporcionales. Su expresión algebraica es de la forma: k y = con k R conocido y k 0. x Su gráfica es siempre una hipérbola, que es una curva formada por dos ramas, simétricas respecto del origen de coordenadas, que tiene el siguiente aspecto: Sus principales características son: k>0 k<0

5 Su dominio es D ( f ) = R { 0}. Su imagen es Im( ) = R { 0} Es continua en: { 0} R. f. Tiene dos asíntotas que son los ejes de coordenadas: A.V.: x = 0 A.H.: y = 0 Las coordenadas del centro de simetría son: C (0,0) Es una función impar. 3.1 FUNCIÓNES RELACIONADAS CON LA DE PROPORCIONALIDAD INVERSA: HIPÉRBOLAS.- ax + b ax + b Su expresión algebraica es de la forma: f ( x) = ó y = con c 0 y a y b no nulos a la cx + d cx + d vez. Su gráfica es una hipérbola. Cada hipérbola es una curva con dos asíntotas (una vertical y otra horizontal), que está formada por dos ramas, y que es simétrica respecto del punto de corte de sus asíntotas, llamado centro de simetría de la hipérbola. Sus asíntotas dividen al plano en 4 cuadrantes, y las ramas de la hipérbola están colocadas en el 1º y 3º, ó en el º y 4º de estos cuadrantes. La hipérbola tiene la siguiente forma: Para representar cualquier hipérbola, es conveniente seguir las siguientes pautas: Calculamos su dominio. Calculamos sus dos asíntotas: d AV..: x = c a A. H.: y = c Calculamos los puntos de corte con los ejes. ( cx + d = 0) Fabricamos una tabla de valores con algunos valores de x elegidos a ambos lados de la asíntota vertical.

6 Llevamos todos los datos obtenidos sobre el sistema de ejes coordenados. Las coordenadas del centro de simetría son: d a C,. c c La función de proporcionalidad inversa, no es más que un caso particular de estas. 4. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO DE GRADO 1: RAMA DE PARÁBOLA DE EJE HORIZONTAL.- Su expresión algebraica es de la forma: f ( x) k ax + b + h = con a, b, h, k R ; y k, a 0. Su gráfica tiene la forma de una rama de parábola de eje horizontal, cuyo vértice es el punto de corte de la curva con su eje. La gráfica toma la siguiente forma: k>0 y a>0 k>0 y a<0 k<0 y a>0 k<0 y a<0 Para representar cualquiera de estas gráficas es conveniente seguir el siguiente esquema: Calculamos su dominio. b Calculamos las coordenadas de su vértice: V, k a Calculamos los puntos de corte con los ejes. Fabricamos una tabla de valores con algunos valores de x elegidos en su dominio. Llevamos todos los datos obtenidos sobre el sistema de ejes coordenados. La ecuación de su eje es: y = k.

7 5. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS: SU GRÁFICA.- Son funciones que no están definidas por una única fórmula sino que presentan una expresión algebraica diferente en cada parte de su dominio. Ejemplo: x + 4; si : x < 1 f ( x) = x; si : 1 x < ; si : x > Para calcular la imagen de un valor x D( f ), observamos a que trozo del dominio pertenece y lo sustituimos en la expresión algebraica correspondiente a dicho trozo: Para hacer su gráfica, construimos una tabla de valores en la que aparezcan los puntos límite de cada trozo del dominio: x y entra ( ) no entra ( o ) no entra ( o ) no entra ( o ) Su gráfica está formada por los trozos de gráfica correspondientes a cada parte de su dominio: Ejercicio: Calcula: a) la imagen de : 5, 1 y 0. b) los originales de 1, 0 y FUNCIÓN EXPONENCIAL: SU GRÁFICA.- Su fórmula: x ( x) a ó f = a + a y a 1. x y = a con R ( > 0) Para hacer su gráfica construimos su tabla de valores, y obtenemos las gráficas siguientes: Si a>1 Si 0<x<1 Relación entre ambas.

8 Las propiedades de la función exponencial en base a son: Su dominio es R, en el que es continua. Su recorrido es ( ) = ( 0,+ ) estrictamente positivos. Im f, es decir, el conjunto de todos los números reales Corta al eje de ordenadas en el punto: ( 0,1). Si a>1, es estrictamente creciente ; y si 0<a<1, es estrictamente decreciente. Si a>1, el eje de abscisas es asíntota horizontal por la izquierda ; y si 0<a<1, por la derecha. 7. FUNCIÓN LOGARÍTMICA: SU GRÁFICA.- Su expresión algebraica es: f ( x) = log x ó y = log x con a > 0 y a 1 a a Su Gráfica presenta el siguiente aspecto: a>1 0<a<1 ambas Observando su gráfica podemos estudiar sus propiedades: Las de la función logarítmica en base a: Su dominio es ( f ) = ( 0,+ ) Su recorrido es: Im ( f ) = R. D, en el que es continua Corta al eje de abscisas en el punto (1,0). Si a>1, es estrictamente creciente ; y si 0<a<1, es estrictamente decreciente. El eje de ordenadas es asíntota vertical. 8. MOVIMIENTOS EN EL PLANO.- Si se aplican algunas transformaciones a las gráficas de las funciones elementales que se han descrito en los apartados anteriores, se pueden construir las gráficas de muchas otras funciones. 1. TRASLACIONES: Conocida la gráfica de la función f ( x) y = :

9 y dado un número k>0, la gráfica de: 1.1.-Traslación vertical: y = f ( x) ± k. Por ejemplo: g ( x) = f ( x) + 1, ó ( x) = f ( x) 1 h : 1.1.-Traslación horizontal: y = f ( x ± k). Por ejemplo: g ( x) = f ( x +1), ó ( x) = f ( x 1) h :. DILATACIONES: Conocida la gráfica de la función f ( x) y = anterior, y dado un número k>0, la gráfica de:.1.-dilatación vertical: y = k f ( x). Por ejemplo: g( x) = f ( x), ó h x) f ( x) 1 ( = :..-Dilatación horizontal: y = f ( k x). Por ejemplo: g( x) f ( x) 1 =, ó h( x) = f x :

10 3. OPUESTA Y VALOR ABSOLUTO: Conocida la gráfica de la función f ( x) opuesta de f: y = f ( x) y valor absoluto de f: y = f ( x) y = anterior, se pueden dibujar las gráficas de las funciones:, que son de la siguiente forma: También se puede representar la función: y = f ( x ), de la forma siguiente: Esta última función resulta muy curiosa, ya que hace par a la función f.