RESUMEN DE FUNCIONES. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I

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1 RESUMEN DE FUNCIONES. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I 1.- INTRODUCCIÓN Definición: Una función real de variable real es una aplicación entre dos subconjuntos de los números reales, de modo que a cada elemento del primer conjunto se le asigna otro del segundo conjunto. Se denota de la forma siguiente f: D R x y = f(x) Cada valor x D se denomina variable independiente, el conjunto D se denomina dominio de la función Cada valor y R se denomina variable dependiente, el conjunto R se denomina recorrido de la función. f es la regla que permite asociar a cada elemento de D un elemento de R. Esta asignación puede ser una tabla, una gráfica, un enunciado verbal o, lo más frecuente en matemáticas es que sea una expresión algebraica. Por ejemplo f(x) = x 2 x + 5 que significa que para un valor de x D, por ejemplo x=2 se le asigna un valor de y R y = = 7 Como se ha indicado antes una función puede venir dada por una gráfica, pero nosotros utilizaremos las herramientas que iremos viendo para obtener la información necesaria de una función que permita representarla gráficamente. La gráfica se representa en unos ejes de coordenadas, que son dos rectas perpendiculares, en la recta horizontal se representa la variable independiente, se denomina eje X, o eje de abscisas. En la recta vertical se representa la variable dependiente, se denomina eje de ordenadas o eje Y. La gráfica de una función es importante porque permite visualizar sus propiedades de una forma rápida. El dominio de una función depende de la expresión algebraica que la define. Las funciones polinómicas tienen por dominio al conjunto de los números reales:r. Para las funciones racionales (cociente de polinomios) el dominio está restringido para aquellos números que no anulen el denominador (no se puede dividir por cero).por ejemplo Dom [f(x) = x 5 ] = R {3, 3} x 2 9

2 n Para las funciones con radicales como f(x) = g(x), el dominio depende de si n es impar en cuyo caso Dom f = Dom g. Si n es par Dom f = {x R /g(x) 0} Para una función logarítmica Dom log a x = (0, + ) El dominio de una función puede venir dado por el contexto (significado de la variable independiente). Por ejemplo la función que da el área de un cuadradoa(x) = x 2 donde x es el lado tiene DomA = (0, + ) porque el lado no puede medir un número negativo. También puede venir dado por quien crea la función. Por ejemplo f(x) = x 3 3 con x [ 2,6] solo puede tomar valores entre -2 y 6 porque así lo he decidido yo. Ejemplos f(x) = 4x x 2,al ser una función polinómica se tiene Domf(x) = R Para ver el recorrido la representamos gráficamente, primero hallamos el vértice x y x v = b 2a = 4 2 = 2 Observamos que Recf(x) = (, 4]

3 g(x) = 1 x Para la función g(x) = 1/x, el dominio viene definido por donde se anula el denominador, el recorrido lo vemos en la gráfica. Se tiene Dom g(x) = R {0}, Rec g(x) = R {0} El ejemplo es la gráfica de h(x) = 2x 4 Para hallar el dominio vemos donde el radicando es positivo (por ser una raíz cuadrada) 2x 4 0 x 2 Dom h(x) = [2, + ). El recorrido lo vemos en la gráfica Rec h(x) = [0, + )

4 Por último, estudiamos la función k(x) = 4 x 2 El dominio lo averiguamos resolviendo la inecuación 4 x 2 0, cuya solución es el intervalo [ 2,2]. Por lo tanto, Dom k(x) = [ 2,2], el recorrido es Rec k(x) = [0,2], según se ve en la gráfica 2.- FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Son funciones que tiene diferente expresión matemática en diferentes tramos (intervalos). Por ejemplo: x + 3 x < 1 1 2x x < 2 f(x) = { x 2 4x x 2 ; g(x) = { 2 1 x 3 2x + 8 x > 3 Como podéis ver sus dominio, continuidad, crecimiento y decrecimiento y máximos y mínimos dependen de las expresiones que formen las funciones. Para representarlas se representa cada función en el tramo correspondiente

5 3.- FUNCIONES VALOR ABSOLUTO Son funciones cuya forma es f(x) = g(x). Por ejemplo f(x) = x 2 4x Como se puede ver con el ejemplo la gráfica de f(x) = g(x) puede hacerse a partir de la de g(x) y después, toda la parte de la gráfica que está por debajo del eje X se sustituye por su simétrica respecto al eje X. La parte punteada corresponde a la función sin valor absoluto g(x) = x 2 4x y la parte de color es la gráfica de f(x) = x 2 4x

6 Las gráficas de las funciones valor absoluto también pueden ponerse como funciones definidas a trozos, en este caso x 2 4x x < 0 f(x) = { (x 2 4x) 0 x 4 x 2 4x x > 4 Esto se debe a que para x<0 y x>4 la función g(x) es positiva, por lo tanto da lo mismo que haya o no valor absoluto. Para 0 x 4 la función es negativa, el valor absoluto la convierte en positiva y esto lo hacemos poniendo el signo - delante. 4.- COMPOSICIÓN DE FUNCIONES La composición de funciones es una operación entre dos funciones que consiste en hacer actuar una de ellas y después la otra. x x f f(x) g g[f(x)] g f g[f(x)] g f(x) = g[f(x)]se lee f compuesta con g, se lee primero f porque actúa en primer lugar. En general g f(x) = g[f(x)] f g(x) = f[g(x)] Lo vemos con un ejemplo. La función h(x) = x 2 1 tiene que ver con dos funciones f(x) = x 2 1, g(x) = x. Es h(x) = g f(x) = g[f(x)] Para un valor x=3 por ejemplo g f(3) = g[f(3)] = g(3 2 1) = g(8) = 8 h(3) = = 8 Para un valor x cualquiera g f(x) = g[f(x)] = g(x 2 1) = x 2 1 = h(x). Sin embargo f g(x) = f[g(x)] = f( x) = ( x) 2 1 = x La función recíproca de una función Vamos a componer las funciones f(x) = x 3 3 8, g(x) = x + 8 g f(x) = g[f(x)] = g(x 3 3 8) = x f g(x) = f[g(x)] = f( x = x ) = ( x + 8) 3 8 = x Las funciones f y g son recíprocas una de otra (o inversas respecto a la composición de funciones) porque después de aplicarlas consecutivamente obtenemos el valor de partida x. Esto lo puedes observar en las siguientes tablas de valores

7 x y=f(x) x y=g(x) La función recíproca de una función f(x) se escribe f 1 (x) De estas tablas se puede obtener la relación entre las gráficas de dos funciones recíprocas, como podéis ver en la imagen siguiente las gráficas son simétricas respecto a la recta y=x Para obtener la función recíproca de una función dada se intercambian las variables x e y, después se despeja la y, esa es la función recíproca. Ejemplo: f(x) = y = x 2 5 x = y 2 5 y 2 = x + 5 y = ± x + 5 La función recíproca es f 1 (x) = + x + 5 ; f 1 (x) = x + 5 La primera es para la parte creciente de la parábola y la segunda para la parte decreciente 5.- LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Son funciones cuya expresión matemática es f(x) = a x, donde a es un número real positivo y diferente de 1. Son funciones que aparecen al estudiar el crecimiento de poblaciones, si este crecimiento es muy rápido se denomina crecimiento exponencial.

8 Su dominio son todos los números reales. Son continuas en todo el dominio y pasan por los puntos (0,1) y (1,a) Si a>1 las funciones son crecientes, más creciente cuanto mayor sea a. En este caso la recta y=0 es asíntota horizontal hacia Si 0<a<1 la función es decreciente y la recta y=0 es asíntota horizontal hacia + Son funciones siempre positivas La función exponencial más importante es f(x) = e x donde e=2, también son funciones exponenciales las el tipo f(x) = a kx Vamos a representar las funciones f(x) = 2 x, g(x) = ( 1 2 )x, h(x) = 3 x Hacemos una tabla de valores x y=f(x) 0,25 0, x y=g(x) ,5 0,25 Las gráficas son Observar que todas las gráficas pasan por el punto (0,1), que las gráficas de f(x) = 2 x, g(x) = ( 1 2 )x = 2 x,son simétricas respecto al eje Y y que la gráfica de h(x) = 3 x crece más rápido que la de f(x) = 2 x

9 6.- LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA La función f(x) = log a x es la función recíproca de g(x) = a x por ello sus gráficas son simétricas respecto a la recta y=x. Pero vamos a representarla a partir de una tabla de valores Su dominio es el intervalo (0, + ) ya que no existe el logaritmo de los números negativos. Recordad la definición de logaritmo, es el exponente al que hay que elevar la base para obtener un número, pero al elevar a un número a>0 siempre se obtiene un número positivo (ver gráfica de la función exponencial). Por ello sólo existen logaritmos para números positivos. En su dominio siempre son continuas y pasan por los puntos (1,0) y (a,1), empiezan en la asíntota vertical x=0 Son funciones crecientes si a>1 y decrecientes si 0<a<1, su crecimiento o n decrecimiento es muy lento, mucho más que cualquier función f(x) = x La función logarítmica más importante es f(x) = lnx = Lx que es la función recíproca de la función exponencial g(x) = e x Representamos f(x) = log 2 x ; g(x) = f 1 (x) = 2 x x 0,25 0, y=f(x) x y=g(x) 0,25 0,

10 Representamos f(x) = log 2 x ; g(x) = log 1 2 x, h(x) = ln x Observa que todas empiezan en la asíntota vertical x=0 (eje Y), que pasan por el punto (1,0) y que f(x) = log 2 x ; g(x) = log 1 2 x son simétricas respecto al eje X 7.- FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Son funciones cuya expresión matemática es una razón trigonométrica, en la imagen siguiente representamos f(x) = senx, g(x) = cosx, h(x) = tgx

11 8.- PROPIEDADES GENERALES DE LAS FUNCIONES Puntos de corte con los ejes Los puntos de corte con el eje X de una función se obtienen resolviendo la ecuación f(x) = 0, ya que este eje es la recta y = 0 y lo que obtenemos al resolver la ecuación son los valores de x anulan la función, es decir que se obtiene y=0. Ejemplo: para hallar los puntos de corte con el eje X de la función f(x) = x 3 4x resolvemos x = 0 x 3 4x = 0 x(x 2 4) = 0 { x 2 4 = 0 { x = 2 x = 2 Su gráfica es El punto de corte con el eje Y se obtiene calculando f(0) ya que ese eje es la recta x=0 Por ejemplo, la función f(x) = x 2 4 corta al eje Y en y=-4 ya que f(0) = = 4

12 8.2.- Funciones simétricas Cuando se va a representar una función es interesante saber si la gráfica es simétrica. Hay dos tipos de simetrías que son fácilmente detectables. Una función es simétrica respecto al eje Y si verifica que f( x) = f(x). Una función que es simétrica respecto al eje Y se denomina función par. Ejemplos: son funciones pares f(x) = x 4 4x 2, g(x) = x2 x 2 +1 tiene f( x) = ( x) 4 4( x) 2 = x 4 4x 2 = f(x), g(x) = al elevar un número negativo a una potencia par da positivo. Sus gráficas son ya que al sustituir x por -x se ( x)2 ( x) 2 +1 = x2 x 2 +1 = g(x) ya que Una función es simétrica respecto al origen de coordenadas si verifica que f( x) = f(x). Una función que es simétrica respecto al origen se denomina función impar. Son funciones impares f(x) = x 3 4x, g(x) = 6x x 2 +1 ya que al sustituir x por -x se tiene

13 f( x) = ( x) 3 4( x) = x 3 + 4x = f(x), g(x) = 6( x) ( x) = 6x x = g(x) ya que al elevar un número negativo a una potencia par da positivo y a una impar da negativo. Sus gráficas son Monotonía, máximos y mínimos La monotonía consiste en conocer como varía una función a medida que cambia la variable independiente. Esta información se obtiene de la función derivada.

14 Una función es estrictamente creciente en un intervalo si dados dos valores cualquiera x 0, x1 x x f x f x x f x f se dice que es de ese intervalo, si. Si estrictamente decreciente x x1 Una función f x tiene un máximo relativo en x=a si existe un entorno de a: a h, a h en el que para todo x a h, a h se verifica f x f a y presenta un mínimo relativo si f x f a para todo x a h, a h. Observamos que en un máximo relativo la función pasa de ser creciente a decreciente y en un mínimo de decreciente a creciente. Como ejemplos nos pueden servir funciones anteriores como f(x) = x 3 4x, g(x) = de la primera observamos que es creciente en los intervalos (, 1) (1, + ), es decreciente en el intervalo ( 1,1), tiene un máximo en x=-1 y un mínimo en x=1 x2 x 2 +1, La segunda es decreciente en el intervalo (, 0), creciente en (0, + ) y tiene un mínimo en x=0 Más adelante estudiaremos las herramientas necesarias que nos permitirán obtener los máximos y mínimos y los intervalos donde una función es creciente o decreciente.