Para qué x de ese intervalo alcanza F su valor máximo? Y el valor mínimo?

Transcripción

1 Análisis I (A y B) febrero9 Consideremos f() = sen() arctg( 3 Calcular el límite de f cuando tiende a Sea la sucesión ) a n = cosn Es convergente? Determinar el límite, si eiste, de la sucesión {f(a n )} n Sea f() = cos + sen Es periódica? Estudiar su continuidad y derivabilidad Dibujar su gráfica 3 Sea f() = Estudiar sus simetrías y asíntotas y dibujarla a grandes rasgos 9 Estudiemos ahora la función F() = f(t)dt sobre el intervalo [,] Para qué de ese intervalo alcanza F su valor máimo? Y el valor mínimo? 4 Determinar si son convergentes las siguientes integrales imporpias: + Calcular el valor en caso de convergencia d 4 + ; d 4 + Análisis I (A) junio9 Sea f() = 4 3 a Determinar los valores máimo y mínimo que alcanza la función f en el intervalo [-3,3] b Eiste algún (, 3 ) para el que f()=? Hallar el valor del lím sen( ) n para todos los valores de n entero 3 Sea f() = a Dibujar la gráfica de f b Determinar si converge f() d log( ) si < 4 Sea f() = si < y sea F() = f(t) dt si 3 a Determinar para que del intervalo (,3) es F continua y para cuales es derivable b Hallar F(3) Análisis I (A y B) septiembre9 3 cosn n Considérese la sucesión a n = n Determinar un número natural N tal que los términos de la sucesión difieran de su límite menos de para todo n N Calcular el lím cos e a sen + log( ) para el único valor de a en que eiste 3 Sea f() = sen()+sen(3) Probar que eiste al menos un c (,π) tal que f'(c)= [ punto] 4 Sea f() = 3 e 6/ a) Determinar el signo de f(), las asíntotas, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los para los que f posee punto de infleión y con esos datos esquematizar la gráfica de f b) Probar que f()d converge y que su valor es menor que [5 puntos] 3 8

2 Análisis I (A y B) febrero9 Determinar si converge la serie n ( 3) n [ punto] n= Determinar si converge la integral impropia 3 log [ punto] 3 Probar que el error cometido al calcular e / mediante el polinomio de Taylor de e de orden 4 en = es menor que [ punto] 4 Dada f() = log(+3 ) 5/3, es posible definir f() para que f sea continua y derivable en =? [ punto] 5 Sea la función g() = 6 log Dibujar su gráfica [ayuda: determinar cuántos ceros posee la derivada analizando su numerador] 6 a Hallar el área de la región acotada entre el eje y la gráfica de la función f() = 3 b Si f es la función que acabamos de definir y F() = + f(t) dt, hallar F'() Análisis I (A y B) junio9 Determinar si converge la serie ( ) n n+4 [ punto] n= 5n Sea P () el polinomio de Taylor de orden de cos en = Determinar (sin tablas ni calculadora) si P ( ) es mayor o menor que cos( ) [ punto] 3 Sea f() = log(+4 ) Estudiar sus simetrías Determinar su límite cuando Estudiar su comportamiento en = Hallar sus puntos de infleión Probar que eiste un (,) para el que f'()= Dibujar su gráfica 4 Calcular (sin tablas) e 4 d Probar que 7 e d 3 5 Determinar para qué valor de se hace máima la integral + tdt t + [4 puntos] Análisis I (A y B) arctagn Determinar si converge la serie n= 4n 3 Calcular el lím [ sen 3 a ] para los valores de a que sea finito 3 Sea g() = 5 9 Probar que 4 4 Sea f() = septiembre9 [ punto] [ punto] Hallar, si eisten, los valores máimo y mínimo de g en el intervalo [,4] g()d < Calcular, sin utilizar tablas, dicha integral + 3 a Hallar dominio, asíntotas, analizar f' y f" y dibujar su gráfica Probar que no eiste lím [f()] b Determinar si converge la integral impropia f()d [5 puntos]

3 Análisis I (A) Determinar si converge la serie Sean h()= sen + sen 3 n n= 3+n! febrero9 [ punto] y L= lím h Determinar un M tal que h() L < si > M [ punto] 3 Considérese la parte de la grafica de g() = ( ) 3 contenida en el cuadrante, y Determinar los puntos de ese trozo de la gráfica para los que la recta tangente en ellos corte el eje y en el punto i) más alto, ii) más bajo 3 4 a Escribir los cuatro primeros términos del desarrollo de Taylor de +3 Sea la función f() = [ 3 +3 ] si, f()= b Precisar en qué puntos es f continua y derivable c Determinar la imagen de f [ {f(): R} ] d Comprobar, integrando paso a paso, que /3 f = 6 3 log3 π 3 e Encontrar un valor aproimado de esta integral utilizando el método de Simpson con h=/3 f Determinar si converge f g Si F()= f, hallar F'(3) [6 puntos= ] Análisis I (A) junio 9 Determinar, si eiste, un valor de la constante b tal que la función: f() = eb4 cosb tienda hacia cuando y tienda hacia cuando [5 puntos] Dibujar a grandes rasgos la curva 3y = + 4 y determinar los puntos de dicha curva situados a mayor y menor distancia del origen 3 a) Probar que n+ n= 3n+ = 8, precisando los para los que se da la igualdad b) Hallar el valor eacto de d 8 con h =, ii) sumando los dos primeros términos de algún desarrollo en serie y una fracción que aproime dicha integral: i) por Simpson [5 puntos] 4 a) Dibujar la gráfica de g() = 3 4 b) Hallar el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de g y la recta tangente a dicha gráfica en el punto de abscisa = [4 puntos] Análisis I(A) septiembre9 Precisar para que valores de converge la serie n π n n n= [5 puntos] Sea g() = sen si, g()= Determinar si eiste g'() Hallar, si eiste, el lím [5 puntos] 3 Calcular 4 ( +4 3 ) d [5 puntos] 4 Sea f() = e a) Determinar asíntotas, crecimiento y decrecimiento, concavidad y conveidad Dibujar la gráfica de f b) Hallar a, b y c tales que [f() (a+b+c )] tienda hacia cuando c) Si F() = log f, determinar el valor de [,e] que hace máima F() d) Estudiar si converge la integral impropia f [55 puntos] 3

4 Análisis I (C) febrero93 a) Determinar los para los que converge la serie Σ n= ( )n n y hallar su suma b) Precisar para i) =/4 y ii) = /4, cuántos términos de la serie se deberían sumar para aproimar el valor eacto de la suma con un error menor que 3 [ 5 puntos ] Sea C la curva +y = 4 y sea T la recta tangente a dicha curva en el punto (, 3 ) a) Hallar el punto de T más próimo al punto (,) b) Hallar, usando integrales, el área de la región acotada comprendida entre C, T y el eje [ 3 puntos ] 3 a) Dada g() = sen ( π ), evaluarla en = 4, n N, y esbozar su gráfica usando estos datos n b) Converge la sucesión {g(4/n)}? Posee alguna subsucesión convergente? Sea f() = sen ( π ) si, f()= c) Estudiar si es f continua y derivable en = d) Determinar el límite de f cuando e) Hallar los mínimos de f en > Estudiar concavidad y conveidad Dibujar la gráfica de f f) Probar que el máimo absoluto de f en todo R se alcanza en un del intervalo [,3] g) Aproimar 4 f por Simpson con h= (n=) h) Determinar si converge f [ 55 puntos ( e)= ptos, 5 los demás ) ] Análisis I (C) junio93 + sen n Determinar si converge la serie [ punto] +n n= Hallar (si eiste) un a tal que k() = 7/3 sea continua y no derivable en =a Hallar (si eiste) el valor mínimo de k en el intervalo [ 8, ] 3 Sea g() = log(+ ) log(+ ) arc tan( ) Hallar el límite de g cuando i), ii) [ punto] 4 Hallar el área de la región acotada limitada por los ejes y la gráfica de h() = tag( ) [ punto] 5 Sea f() = ( 3) e a) Dibujar la gráfica de f b) Hallar los valores a tales que la recta tangente a dicha gráfica en =a pase por (,) c) Hallar un racional que aproime f sumando 4 términos de un desarrollo en serie d) Determinar si converge f e) Si F() = log f, hallar F'() [5 puntos ( )] Análisis I (C) septiembre 93 n Sea la serie n= log n Hallar, razonadamente, un valor no nulo de para el que converja y otro para el que diverja [ punto ] Determinar, si eiste, el límite de [ cos ] cuando tiende a y a [ punto ] 3 Calcular con error menor que utilizando el desarrollo de (+) / [ punto ] 4 Hallar, si eisten, dos números reales positivos cuya suma sea 4 y tales que la suma de uno de ellos más la raíz cuadrada positiva del otro sea i) máima, ii) mínima 5 Hallar el área de una de las infinitas regiones iguales encerradas entre las gráficas de las funciones s()= sen y c()= cos 4 [5 puntos] [5 puntos] 6 Sea f()= + 4 arctag a) Hallar asíntotas, etremos, puntos de infleión y dibujar su gráfica b) Probar que π+ f π Determinar si converge f Hallar lím f [4 puntos (5+5)]

5 Análisis I (A) febrero95 n Determinar si converge la serie n= (n+) n [ punto ] Hallar todos los números reales tales que e log < 8 [ punto ] 3 Determinar si converge la integral impropia π/ + cos3 sen d [ punto ] 4 Hallar el área de la región acotada comprendida entre la curva y = 3 y la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa =a, a> [ 5 puntos ] 5 a) Precisar el número de raíces reales del polinomio P() = b) Determinar ( utilizando a) ) si el punto de la curva y = 3 más cercano al punto (,) está a la derecha o a la izquierda de =/ [ puntos ] 6 a) Sea f() = +9 4 Escribir los tres primeros términos no nulos de su desarrollo en serie de Taylor en torno a = b) Determinar para qué valores de b eiste el límite de f() b cuando: i) +, ii) c) Hallar aproimadamente la longitud L del tramo de la curva y = 3 comprendido entre el origen y el punto (/,/8) utilizando el método de los trapecios con n= Razonar si es posible utilizar desarrollos de Taylor para estimar L Probar que / < L < 9/6 [ 5 puntos ] Análisis I (A) Determinar si converge la serie 3 n cos n= log(+) Hallar, si eiste, el límite de g() = sen junio95 [ punto] si tiende a i), ii), iii) + 3a) Determinar cuántos ceros reales posee el polinomio P() = y precisar entre qué dos enteros consecutivos se encuentra cada uno de ellos [ punto] 3b) Dibujar la gráfica de la función f() = 4 + 3c) Sea la función f de 3b) i) Aproimar el valor de f utilizando Simpson con h=/ ii) Probar que converge f y que su valor es menor que π 8 iii) Sea F() = f con [,) Encontrar, si eisten, los en los que F() toma sus valores máimo y mínimo d Dato no necesario: 4 + = 8 log [arctan ( +)+arctan ( )] 4 4 Hallar el área de la región acotada encerrada entre el eje y la gráfica de h()=, integrando en coordenadas i) cartesianas, ii) polares Análisis I (A) Determinar si converge la serie n= (n+) n n n+ septiembre95 [ punto] Hallar, si eisten, los valores máimo y mínimo de f() = + cos en el intervalo [,π] Hallar un polinomio P() de segundo grado tal que f() P() cuando [5 puntos] 3 Sea g()= e / e Hallar sus límites en y ± Estudiar crecimiento y decrecimiento Precisar cuántos puntos de infleión posee Dibujar la gráfica Ver si converge g [35 puntos] 4 Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F() = t 4 dt en = 4 5 Hallar el valor aproimado del área de la región comprendida entre la gráfica de h() = arc tan ( ) y la recta y =π/4 con un error menor que 4 t 3 [ punto] 5

6 Análisis I (grupo residual) primer parcial junio 97 a) Determinar para qué valores de define una función f() la serie n= n n[ ] n b) Hallar f'( ) * Definamos una sucesión a,a,,a n,, a partir de un primer elemento a >, mediante la ley de recurencia: a n+ = 4a n+, n Calcular lím a n + a n n, si eiste, cuando a =3 Sea V(α) el volumen del sólido de revolución engendrado haciendo girar, en torno al eje, la porción de la gráfica de f() = ( ) 3 +α+ α comprendida entre = y = a) Esbozar la forma del sólido para α= b) Calcular el máimo y el mínimo valor de la función V(α) en el intervalo α 3 Discutir la convergencia de la integral impropia 3 3cos 3 ln d sen 4 a) Eiste el límite de g() = arctan( ) cuando? b) Misma cuestión cuando Análisis I (grupo residual) primer parcial septiembre 97 Si cada uno de los números k, k,, k n, satisface la desigualdad 6 k n 3, se puede [nkn ] asegurar, sin más información, que converge la serie n=3 n? +k n Un foco puntual de luz está situado en el punto de coordenadas (3,), próimo a una elipse opaca de ecuación +4y =4 El punto ( 3/, ), está iluminado o en sombra? 3 Hallar el valor mínimo, si eiste, de S(α) = 3 α d 4 Precisar si converge la integral impropia sen 4 d e 4 6