EJERCICIOS. + 1 en el punto en que la abscisa es x = 2

Transcripción

1 EJERCICIOS,.Calcular las ecuaciones de la tangente y de la normal a la parábola y en el punto en que la abscisa es Punto de tangencia,, ' Tangente... y y y y y Normal... y y y 8.- Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva, en el punto de abscisa El punto de tangencia es [, ], y la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto es ; luego las rectas buscadas son : Tangente... y y Normal... y y.- Calcular cos sen Se trata de una indeterminación, por lo que aplicamos la regla de L Hôpital cos sen 4.- Calcular Ln sen sen cos cos sen sen Al intentar resolverlo nos aparece la indeterminación, luego: Ln sen sen cos sen cos que sigue dando una indeterminación - -

2 Ln sen sen cos sen cos sen cos cos sen 5.- Calcular Ln LnSen Ln ; así pues aplicamos la regla de L Hôpital: LnSen Ln sen cos LnSen cos cos cps sen sen.- Calcular el siguiente límite arc sen tg Se trata de una indeterminación de la orma, luego... arc sen tg cos 7.- Estudiar las zonas de crecimiento y decrecimiento, máimos y mínimos, concavidad y conveidad, así como los puntos de inleión de la unción y 9 y 9 se anula para y para ; En el intervalo, la unción es creciente ya que y >,, la unción es decreciente, pues y < En el intervalo En el intervalo,, la unción vuelve a ser creciente, Por todo ello, el punto, 9 de abscisa,, es un mínimo. 9 y se anula para es un máimo, mientras que el punto, luego - 4 -

3 el intervalo intervalo, es de concavidad negativa o convea,pues <, es de concavidad positiva o cóncava. 7, es un punto de inleión. 8 Por todo ello el punto 8.- Representar gráicamente la unción y -campo de eistencia : la unción eiste para R {} -simetrías : -asíntotas: -horizontales: no hay simetrías no hay asíntotas horizontales y, mientras que el -verticales: como hace la unción ininito, en ese punto hay asíntota vertical - posición de la curva respecto a esta asíntota: ε >, la unción está en la porte positiva del eje de ordenadas ε <, la unción está en la parte negativa del eje de ordenadas - oblicuas: y m n m Lím n Lím de donde - posición de la curva respecto a la asíntota oblicua: > < y es una asíntota oblicua si < la unción sobre la asíntota si > la unción está bajo la asintota - 5 -

4 -corte con los ejes: -crecimiento: y ±, luego pasa por, y,, psa también por como la derivada 4 y por, y es positiva para cualquier valor de, la unción es siempre creciente -máimos y mínimos: dado que y no tiene soluciones reales, no hay máimos ni mínimos - concavidad: 4 y que no se anula para ningún valor de, por lo que estudiamos el signo cerca del punto en que no eiste esta segunda derevada, ε > ε < -rapresentación de la unción: concavidad positiva concavidad negativa 9.- Representar la unción -Dominio: R {, } y -Simetría Es una unción impar, luego es simétrica respecto al origen -Asíntotas: -Verticales: y -Horizontales: no hay -Oblicuas de la orma y m n - -

5 asi m y es una sintota oblicua n [ ] -Posición respecto de las asintotas: -respecto a s -respecto a lo mismo que para -respecto a y > > > s > si ó > < - < > -, -puntos de máimos y mínimos: -derivando e igualando a cero obtenemos, - y -estudiando la variación de la unción a ambos lados de esos puntos es un punto de inleión, es un máimo relativo, es un mínimo relativo -rapresentación de la unción: - 7 -

6 .-Dada la unción º Delimitar en un sistema de ejes cartesianos, las regiones en que está deinida la unción oscureciendo las que no esté deinida La unción no está deinida para : por otra parte: > < > > > < < < º.- Es impar la unción? Por qué? Solución, luego la unción no es par ni impar º.-Encontrar las asíntotas -Asíntotas verticales Si entonces -Asíntotas horizontales: No hay pues no eiste el -Asíntotas oblicuas: m n [ ] y, luego luego y es una asíntota oblicua 4º.-Estudiar la posición de la gráica respecto a las asíntotas. -Respecto a es asíntota vertical - 8 -

7 respecto a y 9 d Si > entonces > d Si < entonces < d 5º.- Determinar los puntos de máimos y de mínimos En < es decreciente > es creciente En > es creciente - < es decreciente Por todo ellos podemos airmar que

8 en ; ; en ; hay un mínimo y ; hay un máimo de la unción. º.- Estudio de la curvatura 8 4 que no se anula para ningún valor de, luego: Si < entonces < por lo que tendrá curvatura hacia la parte negativa del las ordenadas Si > entonces > y su concavidad estará dirigida hacia la parte positiva del eje de ordenadas. 7º,.Representarla gráicamente: - 7 -

9 .- Con una cartulina cuadrada de cm de lado queremos construir una caja; para ello cortamos un cuadradillo en cada esquina para poder doblar las solapas, Cuánto debe medir el lado del cuadradillo a cortar para que el volumen de la caja sea máimo? Si llamamos a la longitud del lado del cuadrado a cortar, como indica la igura: La unción a maimizar es V de donde: V 88 9 que se anula para y 8 Analizando la segunda derivada, vemos que el valor nos da la valor máimo. Así pues, deberemos cortar un cuadradillo de cm de lado para obtener una caja de volumen máimo.- Tenemos un segmento de cm de longitud que dividimos en dos partes, con las que construimos dos rectángulos; el primero tiene una base doble que su altura y el segundo su base es la tercera parte de sus altura..calcular la longitud de cada corte para que el área de los rectángulos sea mínima. Si llamamos a la altura del primer rectángulo e y a la base del segundo rectángulo, sus perímetros serán: primer rectángulo... y el segundo rectángulo... y y y y 8y como dichos perímetros deben sumar la longitud del segmento: 8y De igual orma el área de cada rectángulo es: primer rectángulo... y el segundo rectángulo... y la unción a minimizar derivando S y y y y S 4 4 e igualando a cero nos da 8, que es un punto de mínimo ya que su segunda derivada es positiva

10 De esta orma loa dos segmentos será, de 8 cm y de 8 cm..-descomponer un segmento, de m de longitud, en cuatro partes para obtener el paralelogramo de mayor área posible. Si llamamos y ; luego e y a los lados del paralelogramo, el área buscada es S y y su perímetro S que derivando e igualando a cero obtenemos 5. Se trata de un cuadrado de lado 5 m 4.- Una máquina que produce cierto tipo de piezas trabaja cada día,5 horas. Sabemos el que el número de piezas abricadas en cada instante, y, es unción del tiempo de uncionamiento t, y está dado por: si t y t 9t 4t 5 si < t < 4,5 si t 4,5 Si el jueves pasado empezó a trabajar a las de la mañana a qué hora se obtuvo la máima producción? A qué hora la mínima producción? t y t 8t 4 t 4 para t t y < t y t 8 para t 4 y > t 4 es un máimo es un mínimo De donde deducimos que a las horas de trabajo, es decir a las horas, se obtuvo la máima producción y a las de la tarde la mínima producción