APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

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1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. Monotonía: Crecimiento y decrecimiento de una unción. Determinación de etremos relativos. Optimización de unciones. Curvatura: Concavidad o curvatura de una unción 5. Puntos de inleión. Aplicaciones de las derivadas al cálculo de límites. MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN Si es derivable, es estrictamente creciente en a, b si su derivada es positiva > es estrictamente decreciente en a, b si su derivada es negativa < Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento Ejemplo: = + Pasos:. Derivar la unción: ' =. Obtener los ceros de la derivada primera, para ello hacemos: ' =.. Formamos intervalos abiertos con los ceros de la derivada primera y los puntos de discontinuidad ceros del numerador y del denominador, si hubiese un cociente. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera. Del intervalo, tomamos = -, ' = > Del intervalo, tomamos =, ' = < Del intervalo, tomamos =, ' = > 5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento: Creciente en:,, Decreciente en:, CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas

2 CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas EJERCICIO RESUELTO:, Dom. Derivo la unción: '. Igualo a cero el numerador y el denominador para calcular los puntos donde cambia de signo el cociente: CEROS DEL NUMERADOR: CEROS DEL DENOMINADOR:. Divido la recta en intervalos: -. Estudio el signo de la derivada en cada intervalo: 5. Epreso los intervalos de crecimiento y decrecimiento: Creciente,,, Decreciente en,

3 . EXTREMOS RELATIVOS O LOCALES. Máimos locales la unción cambia de creciente a decreciente Si y ' son derivables en a, a es un máimo relativo o local si se cumple:. 'a =. ''a < Mínimos locales la unción cambia de decreciente a creciente Si y ' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:. 'a =. ''a > Cálculo de máimos y mínimos Ejemplo: = + Pasos:. Hallo la derivada primera y calculamos sus ceros: '. Realizo la ª derivada, y sustituimos los valores obtenidos en el paso : '' mínimo '' '' máimo. Sustituyo en la unción = + sin derivar para obtener la segunda coordenada de los puntos: Si = : = + = Mínimo, Si = -: = + = Máimo, EJERCICIO RESUELTO:, Dom. Derivo la unción e igualo a cero: ' CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas

4 CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas El denominador pasa a la derecha multiplicando a cero y desaparece:. Realizo la ª derivada, y sustituimos los valores obtenidos en el paso, o bien me ijo en el crecimiento de la unción para averiguar si son máimos o mínimos: Teniendo en cuenta la tabla: En = no hay etremo local no cambia la monotonía En = hay una asíntota es un cero del denominador de la unción En = hay un mínimo cambia de decreciente a creciente. Sustituyo en la unción para obtener la segunda coordenada de los puntos: En = no hay unción En = 7, 7 es un mínimo

5 . OPTIMIZACIÓN Pasos para la resolución de problemas de optimización. Se plantea la unción que hay que maimizar o minimizar.. Se plantea una ecuación que relacione las dos variables del problema, y se despeja una de ellas. Se sustituye en la unción de modo que nos quede una sola variable.. Se deriva la unción y se iguala a cero, para hallar los etremos locales. 5. Se realiza la ª derivada para comprobar si el resultado obtenido es un máimo o un mínimo, o se estudia la monotonía Ejemplo De todos los triángulos isósceles de m de perímetro, hallar los lados del que tome área máima.. Se plantea la unción que hay que maimizar en unción de las variables b h S b y h h y h y y S y y y S y y. Relacionamos las variables, utilizando el valor del perímetro: y y. Sustituimos en la unción: y y y y y y y y S y y y Podemos introducir la y que multiplica a la raíz para que la derivada sea más sencilla: S y y y y CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas 5

6 . Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces. 7 y y y 8 y S' 7 y y y y y y y y El denominador desaparece al pasarlo a la derecha multiplicando a cero y queda la ecuación: y y 8 y y 5. Comprobamos si es un máimo o un mínimo. Para ello realizamos la ª derivada y sustituimos por =, ya que la solución y = la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero. Sustituyo: Por lo que queda probado que en y = hay un máimo. La otra variable es: = y = La base y mide m y los lados oblicuos también miden m, por lo que el triangulo de área máima sería un triangulo equilátero. CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas

7 CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas 7. CURVATURA: CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. Si es derivable, es convea en a, b si su segunda derivada es positiva > es cóncava en a, b si su segunda derivada es negativa < Ejemplo: = + Pasos:. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces. ' = '' = = =. Formamos intervalos abiertos con los ceros de la segunda derivada y los puntos de discontinuidad ceros del numerador y del denominador, si hubiese un cociente. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda. Del intervalo, tomamos =, '' = < Cóncava. Del intervalo, tomamos =, '' = > Convea.. Escribimos los intervalos: Concavidad:, Conveidad:, EJERCICIOS RESUELTOS, Dom. Derivo la unción dos veces: DERIVADA PRIMERA ' '

8 CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas 8 DERIVADA SEGUNDA '' En el numerador se puede sacar actor común y simpliicarlo con un actor del denominador: ''. Igualo a cero el numerador y el denominador para calcular los puntos donde cambia de signo el cociente: CEROS DEL NUMERADOR: CEROS DEL DENOMINADOR:. Divido la recta en intervalos: -. Estudio el signo de la derivada segunda en cada intervalo: 5. Epreso los intervalos de curvatura: Convea en,, Cóncava en,

9 5. PUNTOS DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN. Son los puntos de la unción en los que cambia de curvatura Si y ' son derivables en a, a es un PUNTO DE INFLEXIÓN si se cumple:. 'a =. ''a Estudio de los puntos de inleión EJEMPLO: = + Pasos:. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus ceros: ' = '' = = =. Realizamos la derivada tercera, y sustituimos en ella los ceros de derivada segunda y si: ''' Tenemos un punto de inleión. ''' =, por tanto = será un punto de inleión.. Calculamos la imagen en la unción = + del punto de inleión. = + = Punto de inleión:,. TEOREMA DE L HÒPITAL Si eiste. Sean y g dos unciones derivables en = a, y sea g. ' ' a a g a a a. Sean y g dos unciones derivables en = a, y sea ' ' g. Si eiste a a a g a. Sean y g dos unciones derivables, y sea g. Si a eiste eiste ' ' g. Sean y g dos unciones derivables, y sea g. Si ' ' g CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas 9

10 Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la orma puede ser un número o ininito, y aparecer las indeterminaciones: a, donde a g EJEMPLOS. ln tg ln tg tg tg. sen sen cos sen. cos ln cos sen sen ln ln ln sen cos sen cos. cos cos cos sen sen sen cos cos CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas

11 INDETERMINACIÓN INFINITO MENOS INFINITO En la indeterminación ininito menos ininito, si son racciones, se ponen común denominador y se transorma en o EJEMPLO. cot g cos cos sen L' H sen sen cos sen cos sen cos sen sen cos sen cos cos cos sen L' H INDETERMINACIÓN CERO POR INFINITO La indeterminación cero por ininito, se transorma del siguiente modo: A A B a a B EJEMPLO ln ln ln L' H CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Aplicaciones de las derivadas