Problemas Tema 1 Solución a problemas de Repaso de 1ºBachillerato - Hoja 01 - Todos resueltos

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1 Problemas Tema : Solución a problemas de Repaso de ºBacillerato - Hoja 0 - Todos resueltos página /9 Problemas Tema Solución a problemas de Repaso de ºBacillerato - Hoja 0 - Todos resueltos Hoja. Problema. Dados tres números reales cualesquiera r,r 2 y r 3 allar el número real que minimiza la función D )=r ) 2 +r 2 ) 2 +r 3 ) 2. Minimizar significa buscar candidatos a etremos relativos de la función dada y comprobar que son mínimos absolutos. Si nos pidieran maimizar, buscaríamos máimos absolutos. Recuerda que los etremos relativos presentan pendiente nula primera derivada igual a cero). Estos problemas se conocen, de forma general, como problemas de optimización. D )=r ) 2 +r 2 ) 2 +r 3 ) 2 Derivamos e igualamos a cero para obtener los candidatos a etremos relativos. D ' )= 2r ) 2r 2 ) 2r 3 )=6 2r +r 2 +r 3 ) D ' )=0 6 2r +r 2 +r 3 )=0 = r +r 2 +r 3 3 Es un mínimo? Podemos plantearlo de dos maneras. La primera es dar valores a la primera derivada, a ambos lados del candidato a etremo y comprobar que, si es un mínimo, a su izquierda la función decrece pendiente negativa) y a su dereca la función crece pendiente positiva). Otra opción es obtener la segunda derivada y evaluarla en el punto candidato a etremo. Y si el valor es positivo, estaremos ante un mínimo. Optamos por este segundo método. D ' ' )=6>0 = r +r 2 +r 3 3 es un mínimo absoluto de D )

2 Problemas Tema : Solución a problemas de Repaso de ºBacillerato - Hoja 0 - Todos resueltos página 2/9 Hoja. Problema 2 2. Sabiendo que a ln el logaritmo neperiano). ) es finito, calcula a y el valor del límite ln denota a ln )= ln a ) )= 0 )ln 0 Indeterminación 0 0 Aplicamos la regla de L'Hôpital f ) g ) )= f ' ) g ') ) ln a ) )= ln+ a )ln ln+ )= a 0 Las condiciones del enunciado marcan que el límite sea finito, por lo que al tener un cociente con denominador igual a 0, necesitamos que el numerador también sea nulo para que el límite no se dispare a infinito a= ln ln+ )= + )= 2 2 +) )= 2 Gráfica de f )= ln y de la recta orizontal y= 2

3 Problemas Tema : Solución a problemas de Repaso de ºBacillerato - Hoja 0 - Todos resueltos página 3/9 Hoja. Problema 3 3. Halla las dimensiones del rectángulo de área máima inscrito en un triángulo isósceles de 6 metros de base el lado desigual) y 4 metros de alto. Las incógnitas del problema son: base del rectángulo= altura del rectángulo= y Realicemos un dibujo que ilustre el problema. La función a maimizar es el área del rectángulo inscrito en el triángulo sombreado de color rojo). Área= y Para poder derivar y optimizar debemos epresar la función dependiendo de solo una variable. La relación entre ambas variables podemos obtenerla del enunciado, con ayuda del dibujo auiliar.

4 Problemas Tema : Solución a problemas de Repaso de ºBacillerato - Hoja 0 - Todos resueltos página 4/9 El triángulo rectángulo ABH es proporcional al triángulo de vértices ADF. Por lo tanto el ángulo del vértice A es idéntico en ambos triángulos. Y sus tangentes también el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo al vértice A). Es decir: Triángulo ABH tgâ )= 4 3 Triángulo ADF tg Â)= y 3 2 Igualamos. 4 3 = y 3 2 =6 3 2 y Sustituyendo el valor de en la función Área dejamos todo epresado en función de la variable y. A=6 3 2 y) y=6y 3 2 y2 Derivamos e igualamos a cero. A '=6 3y, A '=0 y=2 Para demostrar si es un máimo, calculamos la derivada segunda. A ' '= 3<0 y=2 es un máimo de la función Los valores que maimizan el área son: =base =3 m, y=altura =2 m.

5 Problemas Tema : Solución a problemas de Repaso de ºBacillerato - Hoja 0 - Todos resueltos página 5/9 Hoja. Problema 4 4. Sea la función definida por f )= e para, 0 : a) Calcula los límites laterales de la función en =0. b) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f ). a) e )=0 0=0 e )=0 e )= )e 2 2 e )= )= 0 + e =+ Indeterminación L'Hôpital. b) La función no es continua en =0 al no coincidir sus límites laterales. Además, el límite lateral por la dereca diverge a +. Por lo tanto =0 es una asíntota vertical para valores a la dereca >0 ). Para la asíntota orizontal comprobamos si converge a un valor finito alguno de los siguientes límites en el infinito: f )= y 0 ± Pero ambos límites divergen a infinito. Por lo tanto, no eisten asíntotas orizontales. En las asíntotas oblicuas y=m +n debe cumplirse: ± f ) =m 0 ± f ) m )=n ± ± e )= ± e )= e )= ± e ))= ± e )= 0 0

6 Problemas Tema : Solución a problemas de Repaso de ºBacillerato - Hoja 0 - Todos resueltos página 6/9 Aplicamos L'Hôpital en la indeterminación 0 0 numerador y el denominador. y calculamos el límite de la derivada del ± e = ± 2 e 2 = ± e )= Eiste asíntota oblícua f )= e. y= +, que representamos gráficamente junto a la función Función f )= e y asíntota oblicua y =+

7 Problemas Tema : Solución a problemas de Repaso de ºBacillerato - Hoja 0 - Todos resueltos página 7/9 Hoja. Problema 5 { sen) } 5. Sea f )= +2 si 0 k si =0 a) Hay algún valor de k para el cual f) sea continua en =0? b) Hay algún valor de k para el cual f) sea derivable en =0? c) Determinar sus asíntotas. a) Para que una función sea continua en = 0 deben satisfacerse tres condiciones: - Estar definida la función en el punto f 0 ) - Eistir los límites laterales, ser finitos y ser iguales 0 f )= 0+ - Coincidir el límite con el valor de la función en el punto f 0 )=L f )=L Aplicamos estas condiciones a nuestra función, con 0 =0. f 0)=k 0 f )= 0 sen) +2)= 0 sen)+2 )= 0 0 Indeterminación Aplicamos L'Hôpital en la indeterminación y derivamos numerador y denominador. 0 sen)+2 )= 0 cos)+2 )=3 Para el límite lateral dereco obtenemos idéntico resultado. Por lo tanto, para que la función sea continua en =0, debe cumplirse k =3.

8 Problemas Tema : Solución a problemas de Repaso de ºBacillerato - Hoja 0 - Todos resueltos página 8/9 b) Una función es derivable en = 0 si cumple: - La función es continua en = 0 las condiciones de continuidad las emos indicado en el apartado anterior del problema). - Las derivadas laterales coinciden 0 f +) f ) 0 0 )= 0+ f +) f ) 0 0 ) Para que sea continua ya emos demostrado que laterales. k =3. Calculemos las derivadas 0 f 0+) f 0) )= 0 sen) +2 3 ) 0 sen) 2 )= 0 0 Indeterminación Aplicamos L'Hôpital en la indeterminación. 0 cos) )= Indeterminación Volvemos a derivar, aplicando L'Hôpital. 0 sen) )=0 2 Para la derivada lateral dereca obtenemos idéntico resultado. Por lo tanto, la función es derivable en =0 si k =3. c) No eisten asíntotas verticales, ya que si k =3 la función es continua en =0. En caso contrario, tendríamos una discontinuidad evitable. Para las asíntotas orizontales evaluamos el límite de la función cuando tiende a infinito. sen ) +2)=2 y=2 es una asíntota orizontal. ±

9 Problemas Tema : Solución a problemas de Repaso de ºBacillerato - Hoja 0 - Todos resueltos página 9/9 Al eistir una asíntota orizontal, no eisten asíntotas oblícuas. Representamos la función f )= sen) +2 y la asíntota y=2. Función f )= sen) +2 y asíntota orizontal y=2