Convocatoria de Septiembre 9 de Septiembre de Nombre y Apellidos: (6 p.) 1) Se considera la función f : R R definida por

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1 Universidade de Vigo Departamento de Matemática Aplicada II E.T.S.I. Minas Cálculo I Convocatoria de Septiembre 9 de Septiembre de 26 Nombre y Apellidos: DNI: (6 p. Se considera la función f : R R definida por f(x = + e x. ( p. (a Hallar los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad de f. (.75 p. (b Calcular las asíntotas horizontales de la gráfica de f y representar de forma aproximada dicha gráfica. (.25 p. (c Probar que f tiene un único punto fijo y determinar un intervalo de longitud /2 que lo contenga. ( p. (d Hallar el polinomio de Taylor de grado menor o igual que 2 de f centrado en x = y utilizarlo para aproximar el valor de e. (2 p. (e Probar que la integral impropia sugiere hacer el cambio de variable e x = t. f(x dx converge y determinar su valor (se (2 p. 2 Determinar los extremos relativos de la función F : (, R definida por F (x = indicando si son máximos o mínimos. x 2 x ln(t t 2 dt, (2 p. 3 Estudiar para qué valores de x R converge la serie de potencias n= (x n 2 n +.

2 SOLUCIONES PROBLEMA. (a La función f es derivable en R y f (x = ex ( + e x 2 <, x R. En consecuencia, f es estrictamente decreciente en R. La segunda derivada de f es Por tanto, f (x = ex ( + e x 2 + e x 2e x ( + e x ( + e x 4 = ex ( + e x + 2e x e x ( + e x 3 = ex (e x ( + e x 3. f (x > e x > x > ; f (x < e x < x <. De aquí se deduce que f es cóncava en (, y convexa en (,. En x =, f tiene un punto de inflexión. (b Las asíntotas horizontales se obtienen calculando los límites de f(x cuando x tiende a y a +. Dado que lím x ex = y lím x + ex =, se obtiene directamente: lím f(x = x lím x + e x =. lím f(x = lím x x + e x =. Por tanto, las rectas y = e y = son asíntotas horizontales de f en + y respectivamente. Teniendo en cuenta el apartado anterior, la gráfica de f tiene aproximadamente la siguiente forma:.5 2

3 (c Como los puntos fijos de f son soluciones de la ecuación f(x = x, consideramos la función g(x = f(x x. De este modo, los puntos fijos de f coinciden con las raíces de g. En primer lugar, observemos que g (x = f (x < para todo x R. Por el teorema de Rolle, g tiene a lo sumo una raíz y por tanto f tiene a lo sumo un punto fijo en R. Para probar que existe un punto fijo, utilizamos el teorema de Bolzano: dado que g( = f( = 2 > ; g( = f( = + e <, existe un punto x (, tal que g(x =, o, lo que es lo mismo, f(x = x. En consecuencia, existe un punto fijo de f en el intervalo (,. Finalmente, para encontrar un intervalo de longitud /2 que contenga al punto fijo, calculamos g(/2. g(/2 = + e /2 2 <, ya que e /2 >. Aplicando de nuevo el teorema de Bolzano se deduce que el punto fijo de f está en el intervalo (, /2. (d El polinomio de Taylor de grado menor o igual que 2 de f centrado en x = viene dado por p 2 (x = f( + f (x + f ( x 2. 2! En el apartado (a ya hemos calculado las expresiones de f y f. Evaluando en x =, se obtiene: f( = /2, f ( = /4, f ( =. En consecuencia, p 2 (x = 2 4 x. Para aproximar el valor de e, observemos que Así pues, f(/2 = + e /2 = + e = + e = f(/2 = e = f(/2. e = f(/2 p 2 (/2 = 3/8 = 8 3 = 5 3 =, (e Para probar que la integral impropia es convergente, podemos usar el criterio de comparación. Como < f(x = + e x < e x = e x, x R, y e x dx es convergente, se deduce que f(xdx también converge. Para determinar el valor de la integral, hacemos el cambio de variable e x = t. e x = t = e x dx = dt = dx = dt e x = dt t. Por otra parte, los límites de integración varían de la siguiente manera: x = = t = e = ; x = t = e x. 3

4 Así pues, f(xdx = + e x dx = dt + t t = Descomponemos la última fracción en dos fracciones simples: t( + t = A t + B + t A + (A + Bt =. t( + t t( + t dt. Igualando los numeradores, se obtiene que A = y A + B =, de donde B =. Por tanto, ( A f(xdx = t( + t dt = t + B ( dt = + t t dt + t = lím b b ( t ( b = lím ln b + b + t ln dt = lím ( + ] b (ln(t ln( + t b = ln( ln ( = ln(2. 2 ( ] t b = lím ln b + t PROBLEMA 2. Denotemos por h(t = ln(t/t 2, g (x = x, g 2 (x = x 2, de tal forma que F (x = x 2 x ln(t t 2 dt = g2 (x g (x h(tdt. Aplicando el teorema fundamental del cálculo integral, se tiene que F es diferenciable y además: F (x = h(g 2 (xg 2(x h(g (xg (x = 2x ln(x2 x 4 ln(x x 2 = 2 ln(x2 x ln(x (4 x ln(x x 3 = x 3. Los posibles extremos relativos se alcanzan en los puntos donde F (x =. En este caso, F (x = (4 x ln(x = x = 4 o x =. Para decidir si son extremos, calculamos la segunda derivada de F : F (x = [ ln(x + (4 x/x] x3 (4 x ln(x3x 2 x 6 Evaluando en x = y x = 4, obtenemos: = x ln(x + (4 x 3(4 x ln(x x 4. F ( = 3 >. Por tanto F alcanza en x = un mínimo relativo. F (4 = ln(4 4 3 <. Por tanto F alcanza en x = 4 un máximo relativo. 4

5 PROBLEMA 3. Se trata de una serie de potencias centrada en x = y con término general El radio de convergencia es a n = 2 n +. r = lím a n 2 n+ + + = lím a n+ 2 n + = lím ( 2 n+ 3 + ( 2 n = /3 = 3, donde hemos dividido numerador y denominador por + y hemos tenido en cuenta que ( 2 n lím =. 3 En consecuencia, la serie converge absolutamente si x < 3, es decir en el intervalo ( 2, 4. Para x = 4, la serie es n= 2 n +. Como lím 2 n + = lím ( 2 3 n + =, la serie es divergente. (Recuérdese que una condición necesaria para que una serie sea convergente es que la sucesión que define su término general tenga límite. Para x = 2, la serie es Como n= ( 3 n 2 n + = ( 3 n 2 n +. 3n 2 n + y lím 2 n +, se deduce que la sucesión ( 3 n /(2 n + no puede tener límite cero y por tanto la serie tampoco es convergente. En resumen, la serie de potencias converge únicamente para x ( 2, 4. 5