S-23: Extremos Locales

Transcripción

1 S-3: Extremos Locales P) Halla el máximo y el mínimo de f x = x x x, x > 0. Utilizaremos que: u = e ln (u) y que ln(v) r = rln v. f x = x x x = x x = e ln x x = e xln(x) Recuerda que para calcular los máximos y los mínimos de f x continua y derivable en X R: Encontramos los puntos críticos x i (los ceros de la ecuación f x = 0). Evaluamos cada uno de los puntos críticos x i en la segunda derivada y si: f x i > 0 x i es un mínimo local. f x < 0 x i es un máximo local. Entonces: f (x) = e xln x ln x + x x = x x ln x + Como x x > 0 hacemos: ln x + = 0 ln x = x = e x = Unicamente tenemos un punto crítico x = e, lo valoramos en e f x : f (x) = x x ln x + + x x x = x x ln x + + x

2 f x = x x ln x + + x f e = e e 0 + e > 0 En consecuencia el punto e es un mínimo.

3 P) Halla donde la grafica de f x = x x, x > 0, alcanza su mínimo. Para calcular la derivada de f(x) tomamos logaritmos*: f x = x x ln f x = ln x x ln f x = x ln x f x = e xln(x) Derivamos para hallar los puntos críticos: f (x) = e xln x ln x + x x = xx ln x + Como x x > 0 hacemos: ln x + = 0 ln x = x = e x = e Unicamente tenemos un punto crítico x = e, lo valoramos en f x : f (x) = x x ln x + + x x x = xx ln x + + x f e = e e 0 + e > 0. Hemos usado que ln e = ln ln e = 0. En consecuencia el punto es un mínimo, y el punto buscado es, e e e e = 0.36,0.69 *Podemos usar la fórmula f x g x = f x g x g x ln (f x ) + g x f x x x = x x ln x + f (x), con f x = x, g x = x:

4 P3) Halla donde la grafica de f x = x x, x > 0, alcanza su máximo. Para calcular la derivada de f(x) tomamos logaritmos*: Derivamos para hallar los puntos críticos: f x = e x f x = x x ln f x = ln x x ln f x = x ln x f x = e x ln (x) ln x ln x x + x = e ln x x ln x x = x x ln x x Como x x > 0, hacemos: ln x = 0 ln x = x = x e x 0 = e Unicamente tenemos un punto crítico x 0 = e, lo valoramos en f x : f x = x x ln x x + x x ln x x = x x ln x x + x x x ln (x) x x x 4 f x = x x f e = e e ln x x + x x 3+ln (x) x 3 = x x ln x 3 x + ln (x) x 3 x 3 ln e e 3 e 3 + ln (e) e 3 = e e 3 e 3 + e 3 = e e e 3 = e e e 3 < 0 *Podemos usar la fórmula f x g x = f x g x g g x x ln (f x ) + f (x), con f x = x, g x = : f x x x x = x x ln (x) x + x = xx ln (x) x

5 x = e es un máximo local o relativo de f. Finalmente, x 0 = e tiene que ser el máximo absoluto de f porque es el único extremo local. Así, el punto máximo de la gráfica es x 0, f x 0 = e, e e P4) Halla el máximo y el mínimo de f x = x Calculamos la derivada*: a x, con a > 0, a. f (x) = x a x = xax x a x a x = x x a x Igualamos a cero: x x a x = 0 x x ln a = 0 x xln a = 0 x = 0 x = Tenemos dos puntos críticos. Calculamos la segunda derivada para ver si son máximos o mínimos: * a x = a x ln a

6 f x = x x ln a a x = a x x ln a x x ln a a x ln a a x = 4xln a +x ln a a x f 0 = > 0 x = 0 es un mínimo local de f. f = 4 ln a + a ln a = 8+4 a = a Si hacemos r = a ln r = ln aln a = ln a = ln r = r = ln a e f = 4 ln a + a ln a = < 0 x e = es un Máximo local.

7 P) Prueba que f x = x e x es monótona creciente en R. Prueba también que f f < 0. e Se puede afirmar que f se anula una sola vez en el intervalo,? e Calculamos la derivada de f x : f x = + e x > 0 Es creciente en R f = e = e = 0.36 > 0, f e = e e e = e e e = < 0 Por el teorema de Bolzano, f tiene al menos un cero en e,. Por la aplicación del teorema de Rolle, si f no se anula, f tiene, a lo sumo, un cero en el intervalo e,. Por lo tanto, f se anula una sola vez en el intervalo e,.

8 P) Desarrolla los medios necesarios para proceder a la representación gráfica de: Dominio: f x = x+ex x e x Todo R, x e x nunca es cero, las graficas de x y de e x nunca se cortan. Cortes con el eje X: x + ex f x = 0: x e x = 0 x + ex = 0 x = e x x = Cortes con el eje Y: Asíntotas verticales: Asíntotas Horizontales: x = 0: y = 0 + e0 0 e 0 = No tiene. La función es continua, el denominador no se anula Hacemos x = e x, inicio con cualquiera, por ejemplo x = : Calculo x = e = Calculo x = e.783 = Calculo x = e x + e x + 0 lim f x = lim x x x ex = 0 + e x = L Hôpital = lim x e x = = ;

9 x + e x + + lim f x = lim x x x ex = + = lim e x e x x = lim x = ; + e x = L Hôpital = lim x e x = + = L Hôpital = Puntos críticos: f x = + ex x e x x + e x e x x e x = x ex + xe x e x x e x + xe x + e x x e x = ex + xe x x e x = ex x x ex = 0 x 0 =, es el único punto crítico, y es mínimo local pues f (x) es negativa si x < y positiva si x >.

10 P) Sea f x = x + 3 sen log x, x 0, f 0 = 0. Prueba que f es continua y monótona pero que f (0) no existe. Dónde puede tener la función puntos de discontinuidad? La función podría tener un punto de discontinuidad en x = 0 por el logaritmo: lim f(x) = lim x + x 0 x 0 3 sen log x = lim x x 0 lim + sen log x x 0 3 Dónde puede no ser diferenciable? lim f(x) = 0 función oscilante pero acotada = 0 x 0 La función es diferenciable en R\ 0, y su derivada vale: en R\ 0 : f x = + 3 sen log x + cos log x 3 f x > 0 x 0, pues para que f x = 0: sen log x y cos log x deberían valer a la vez, lo que es imposible. Por lo anterior f(x) es creciente en, 0 y en 0, + Existe f 0?

11 f 0 = lim h 0 f 0 + h f(0) h = lim h 0 h + sen log h 3 h = lim + sen log h h 0 3 NO EXISTE Porque oscila entre + 3 y 3 Para concluir. La función f(x) es creciente en todo R porque: Es creciente y negativa en, 0. f 0 = 0. Es creciente y positiva en 0, +.