M a t e m á t i c a s I I 1

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1 Matemáticas II

2 Matemáticas II

3 CASTILLA Y LEÓN CONVOCATORIA JUNIO 009 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCESO AUTOR: José Luis Pérez Sanz Prueba A Problemas a) Calculamos previamente los vectores directores de las rectas: Recta r Pasa por los puntos A(,, ) y B(3,, ), luego el vector director es: v AB B A (3,, ) (,, ) (, 0, ) r Recta s Con el producto vectorial de los vectores característicos de los planos que la forman: i j k 0 vs 0 (, 0, ) 0 Como los vectores directores son iguales, las rectas coinciden o son paralelas. Tomamos un punto cualquiera de una de las rectas y comprobamos si cumple las ecuaciones de la otra. Por ejemplo, si el punto A(,, ) que pertenece a r lo sustituimos en las ecuaciones de la recta s, vemos que no las cumple. Se deduce, pues, que las rectas no coinciden, sino que son paralelas. b) Como en el apartado anterior hemos averiguado que las rectas son paralelas, es evidente que no se cortan, por lo que no existe punto de intersección entre ellas. c) Cuando dos rectas son paralelas, existe un único plano que las contiene. Representamos a continuación la situación planteada en el enunciado: P r P r P s Para calcular dicho plano necesitamos el vector común a ellas, v r v s (, 0, ), otro vector que vaya de un punto de r a uno de s, P r P s, y un punto cualquiera de alguna de las rectas por ejemplo A(,, ). P s v r π s r Para construir el vector P r P s, necesitamos Pr A(,, ) y P s. Para calcular P s tomamos las ecuaciones de la recta s y damos a z, por ejemplo, el valor 0. Obtenemos, así, el punto P s (,, 0). Construimos ahora el vector: P r P s (,, 0) (,, ) (0,, ) Ya tenemos lo necesario para calcular el plano: x 0 y 0 0 z Al desarrollar el determinante obtenemos la ecuación del plano: x y z 3 0 a) Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de esta función, así como los de concavidad y convexidad, necesitamos expresarla como una función a trozos. Para ello, hallamos dónde se anula el valor absoluto: x x 0 x x 0 x, x Según estos valores dividimos la recta real (el dominio de la función es ) en tres intervalos: En (, ), f(x) x x 0 En (, ), f(x) x x 0 En (, ), f(x) x x 0 Por consiguiente, tenemos que cambiar el signo de la expresión afectada por el valor absoluto en el intervalo (, ), con lo que la función queda: x f(x) x si x x x si x x x si x Debemos tener presente que en este tipo de funciones se producen puntos angulosos donde la gráfica corta al eje OX; en dichos puntos cambia la monotonía y la curvatura de la función. La derivada de esta función a trozos es la siguiente: x si x x si x f (x) x si x Si igualamos cada una de las expresiones a cero para hallar los puntos críticos obtenemos lo siguiente: x 0 x /. Pero x / no pertenece al primer ni al tercer intervalo; por lo tanto, no se anula en estos intervalos. 3

4 CASTILLA Y LEÓN CONVOCATORIA JUNIO 009 x 0 x /, que sí pertenece al intervalo central, luego los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función son: Decreciente: (, ) (/, ), ya que f 0. Creciente: (, /) (, ), ya que f 0. Para los intervalos de concavidad y convexidad calculamos la segunda derivada: si x si x f (x) si x No hay ningún número que anule la derivada segunda; por lo tanto, los intervalos de curvatura se forman teniendo en cuenta solamente los puntos angulosos: Cóncava: (, ) (, ), ya que f 0. Convexa: (, ), ya que f 0. Con los datos que nos proporcionan los intervalos de monotonía y sabiendo que el máximo local está en (/, f(/)) (/, 9/4), la gráfica de la función tiene el siguiente aspecto: b) Utilizando la función derivada del apartado anterior calculamos las derivadas laterales en el punto x = : f () lim f (x) lim (x ) 3 x f () lim f (x) lim (x ) 3 x Como las derivadas laterales no coinciden entre sí, la función f(x) no es derivable en x. c) Entre x y x0 la función corta al eje X en x. En el intervalo [, ] la función es f (x) = x x. En [, 0] la función es f (x)x x. Por ello, el área solicitada se calcula de la siguiente manera: 0 A x x dx ( x x ) dx x x 4 O x3 x x3 0 x 3 x 3 x Y u X 3 El área se representa en la siguiente figura: Cuestiones Cada vez que una fila o columna de una matriz se multiplica por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número. Si una matriz A se multiplica por, el determinante queda multiplicado por tantas veces como filas o columnas, es decir, como el orden que tenga este determinante. Por tanto: det (A) () n det (A) donde n es el orden de la matriz A. Si sustituimos en la igualdad los datos del enunciado, tenemos: 3 () n () 3 () n Esta ecuación exponencial se cumple cuando n vale 5. En consecuencia, el orden de la matriz A es 5 y está formada por elementos. Para despejar la ecuación matricial AX BB t, multiplicamos por la inversa de A a la izquierda de ambas expresiones: A AX A BB t X A BB t Calculamos A : A 437 Adj (A) 3 (Adj (A)) t 3 (Adj(A)) t A - A Calculamos ahora B t. 0 A continuación: X A BB t O Y f(x) X

5 CASTILLA Y LEÓN CONVOCATORIA JUNIO 009 Para calcular la distancia de un punto P a una recta s se utiliza la siguiente fórmula: v spp s d(p, s) v s El vector director de la recta s es: v s (3,, ). Un punto de la recta s es P s (,, ). PP s P s P (,, ) (, 3, ) (, 4, 3) A continuación calculamos el producto vectorial y el módulo de v s PP i j k 3 v s s 3 (5,, 3) 4 v s PP s (5) () (3) 35 v s 3 () 4 Por tanto: v spp s 35 d(p, s) 45 u v s 4 Para calcular esta integral indefinida se comprueba que el denominador de esta fracción algebraica tiene dos raíces: x y x. Para ello, se descompone la fracción en fracciones simples de la siguiente manera: A A Ax B Bx x B x x x A B ( A B)x x Al igualar los numeradores, obtenemos: A B (A B)x De esta igualdad obtenemos el siguiente sistema: AB AB0 La solución del sistema es A / y B /, por lo que la integral quedaría de la siguiente forma: dx x x dx x dx Las dos integrales son de tipo logarítmico: dx x x C x ln ln Prueba B Problemas a) La matriz de coeficientes asociada al sistema es: 0 A 0 0 Cuyo determinante es A ; por lo tanto se anula para el valor. Si, se cumple que rango (A) rango (A*) 3 n.º de incógnitas. Luego, el sistema es compatible determinado. Si A* A Se cumple entonces rango (A) 3 rango (A*). Luego, el sistema es incompatible. b) El sistema es compatible determinado si / y no hay ningún caso en el que sea compatible indeterminado. Para resolverlo aplicamos las fórmulas de Cramer: x y z

6 CASTILLA Y LEÓN CONVOCATORIA JUNIO 009 Para resolver este problema de optimización, llamamos l a la zona recta de la pista de atletismo y R al radio, según la siguiente figura: De acuerdo con esto tenemos que maximizar la zona rectangular, es decir, construir la función área, que depende de las variables R y l: A(R, l) R l Como el perímetro del campo es 400 m, la relación entre las variables es R l 400. Si despejamos l en la relación entre variables, obtenemos: l 00 R A continuación, sustituimos en la función del área la variable l por 00 Ry obtenemos: A(R) R (00 R) 400R R Para encontrar el máximo de esta función calculamos su función derivada: A (R) 400 4R Igualamos a cero y obtenemos: R 0 R Este ha de ser el valor del radio que maximice el área de la parte rectangular. Lo comprobamos con el criterio de la derivada segunda: A (R) 4 A Así, este valor del radio maximiza la función área. Calculamos ahora el valor de la variable l: 00 l 00 R Por tanto, l 00 m y R 3,83 m. Cuestiones Para calcular la distancia entre las rectas debemos conocer previamente su posición relativa. Como la recta r está en forma general, hallamos su vector director multiplicando vectorialmente los vectores característicos de sus planos: l v s (, 3, 4) Puesto que los vectores directores de las rectas no son proporcionales, estas se cortan o se cruzan. Vamos a comprobarlo. R v i j k r 3 0 (, 3, 7) 7 0 Necesitamos un punto de cada recta para construir un tercer vector. En las ecuaciones de r sustituimos la x, por ejemplo, por 0 y obtenemos P r (0,, 4). Un punto de s es P s (,, 3). Así, el vector buscado es: P r Ps P s P r (,, ). Construimos ahora el determinante: [v r, v s, P r Ps] Luego las rectas se cruzan. La fórmula que hay que aplicar para hallar la distancia entre las dos rectas es: [v r, v s, P r Ps] d(r, s) v r v s Calculamos ahora el producto vectorial de los vectores directores de las rectas: v r v i j k 4 s 3 7 (9, 3, 0) 3 El módulo del producto vectorial es: v r v s ( 9) Por lo tanto: [v r, v s, P r Ps] d(r, s) v r v s Podemos hallar el determinante: u por la regla de Sarrus, pero resulta más laborioso. Para reducirlo a uno de orden, proponemos transformar los elementos de la siguiente manera:.ª col..ª col..ª fila +.ª fila x x x x x x x x x Desarrollamos por la primera columna y obtenemos: x x (x ) (x ) x 3x x x Igualamos a cero y despejamos: x x x x 0 x x x x 0 x x 0 x x 3x 0 x 3 6

7 CASTILLA Y LEÓN CONVOCATORIA JUNIO 009 Para calcular el dominio de f(x) cuenta lo siguiente: tenemos en La expresión ln x solo admite números estrictamente positivos. El denominador x no puede valer cero, pero el cero no pertenece al anterior conjunto. Por tanto, Dom f (0, ). Derivamos para hallar sus puntos críticos o singulares: f (x) x x ln x x ln x x ln x x f (x) 0 ln x 0 ln x x e Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) son: Creciente: (0, e), ya que f 0. Decreciente: (e, ), ya que f 0. Para resolver este ejercicio calculamos primero los puntos de corte de la función con el eje OX, igualando esta a cero: x a 4 0 x a 4 x a 4 a Tenemos dos puntos de corte con el eje OX, x a y x a. Entre estos puntos de corte la parábola es positiva. A continuación se representa el área bajo la función: Y a 4 a a O El área a la que se refiere el enunciado se calcula con esta integral definida: a a x3 A ( x a 4 )dx 3 a4 x a a a 6 4a a 6 a a a 6 56 Igualamos a y obtenemos Resolvemos: 4a a 64 a, a Observación: También podíamos haber planteado el área por simetría respecto al eje OY (véase la figura) de esta manera: A a 0 X (x a 4 ) dx 7