M a t e m á t i c a s I I 1

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1 Matemáticas II

2 Matemáticas II

3 ARAGÓN CONVOCATORIA JUNIO 009 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCESO AUTOR: José Luis Pérez Sanz. Algebra Opción A a) Las matrices correspondientes son: A m m m m m m A* El determinante de la matriz A es el siguiente: A m m m m m m Si restamos a la tercera fila la segunda y desarrollamos por el adjunto A 3, tenemos: A 0 m 0 o m (m m )(m m) (m m) Si m 0 y m rango (A) rango (A*) 3, por lo que el sistema es compatible determinado. Para resolverlo aplicamos las reglas de Cramer: m m m m m 4 m 3 m m (m m) (m m) m(m )(m) m(m )(m) m (m m) m (m ) m m m m m y 0 (m m) m m m m m 3 m m z (m m) (m m) m m m m m m 0 m m m 0 m m m(m ) m (m ) m Si m 0 0 A A* rango (A) y rango (A*), por lo que el sistema es incompatible. Si m A A* rango (A) rango (A*), por lo que es compatible indeterminado con 3 grados de libertad. Para resolverlo nos quedamos con una sola ecuación, ya que todas ellas son iguales: y z Escribimos el conjunto de soluciones: y con, z b) Sacamos factor común a en la.ª columna: 0 a a 0 0 a a 0 a 0 a a 0 a a a a a Después, factor común a en la.ª fila: 0 a a 0 0 a 0 a 0 a a a 0 a a a a a Ahora, sacamos factor común a en la 3.ª fila: 0 a a 0 0 a 0 a 0 a a a a 0 a a a Por último, sacamos factor común a en la 3.ª columna: 0 a a a 0 a a a a a 0 a a El determinante que nos ha quedado es precisamente el que ofrece el enunciado, que vale, por el producto de los factores etraídos, que vale. Por tanto: 0 a a a 0 a a a 0 Oford University Press España, S. A. Matemáticas II 3

4 ARAGÓN CONVOCATORIA JUNIO 009 Opción B a) Calculamos la matriz A A A: A continuación, hallamos A 3 A A: Se observa fácilmente la regla de formación de la potencia de la matriz. Por tanto: A n Para calcular la inversa de A n hallamos previamente su determinante: A n. Adj (A n ) (Adj (A n )) t n n n Al dividir entre el determinante, que valía, nos queda la misma matriz por lo tanto: (A n ) 0 0 n b) Sustituimos en el polinomio proporcionando las condiciones que han de cumplirse: P(0) a P() 0 a b c 0 P() 0 a b c 0 Nos encontramos ante un sistema lineal donde las incógnitas son a, b y c. Calculamos su determinante: El rango de las matrices asociadas al sistema vale 3; luego nos encontramos ante un sistema compatible determinado, es decir, con solución única. Pero hay que observar que si = 0, el sistema sería homogéneo y tendría como solución la trivial (a b c 0). Si esta situación se produjera, obtendríamos un polinomio nulo. En conclusión, eiste un único polinomio que satisface las anteriores condiciones si 0.. Geometría Opción A a) u " (v " w " ) (,, 3) (, 0, 6) b) u " (v " w " ) (,, 3) ( 5, 4, 4) 8i " j " k " ( 8,, ) c) Si el plano es perpendicular al vector u ", el vector normal o característico del plano coincidirá con u ", por tanto: : y 3z D 0 Como pasa por el punto P(0, 0, ) sustituimos y despejamos D: D 0 D 3 Así, el plano buscado es : y 3z 3 0. d) El ángulo que forman u " y v " se calcula con la siguiente fórmula: cos (u ", v " " u " v ) u " v " cos (u ", v " ) 0, Hallamos el ángulo mediante el operador arco coseno: arc cos (0,00 503) 95,76 Opción B a) Discutimos el sistema formado por los planos: y z 0 y z 3 Las matrices de coeficientes y ampliada son: A A* 0 3 rango (A) rango (A*) Estamos ante un sistema compatible indeterminado con 3 grado de libertad, lo que geométricamente significa que los planos se cortan en una recta. b) Calculamos previamente el vector director de la recta r: v " r (, 3) (, 3, ) (8,, ) Usamos su opuesto (8,,) para construir la recta: y z 8 Si sustituimos P(6,, ) en estas ecuaciones, obtenemos igualdades que no son ciertas. Por tanto, P no pertenece a la recta paralela a r que pasa por O. Oford University Press España, S. A. Matemáticas II 4

5 ARAGÓN CONVOCATORIA JUNIO Análisis Opción A a) genera una indeterminación del tipo /. Esta indeterminación se puede resolver de varias formas pero proponemos, para facilitar los cálculos, transformar la función introduciendo una fracción en una sola raíz cuadrada: Dentro del radicando los grados coinciden, por lo que tenemos: (cos sen 0 )/ genera la indeterminación. Para resolver la indeterminación hallamos el límite del eponente multiplicado por (base ): 0 (cos + sen ) 0 ahora presenta la indeterminación 0/0. Resolvemos por la regla de L Hôpital: cos sen sen cos 0 0 Por último, el límite buscado es: (cos sen 0 )/ e e b) Calculamos primero la primitiva de la función: cos ( ) d cos ( ) d sen ( ) A continuación aplicamos la regla de Barrow: cos ( ) d sen () sen, que a) La función f() sen () no tiene asíntotas verticales pues no eiste ningún punto para el cual el límite valga o. Si calculamos [ sen ()], no nos proporciona un número real y lo mismo sucede con el límite [ sen ()]. Para saber si la función f() tiene asíntotas oblicuas hallamos el coeficiente de la : m 444 ( 7) sen () sen ( ) cos sen sen () Como el numerador de la fracción está acotado y el denominador tiende a infinito, hallamos: n [ sen () ] sen () Este último límite no eiste. Por tanto, la función f() sen () no tiene ningún tipo de asíntota. b) Calculamos la derivada de la función: f () cos () Igualamos a cero para hallar sus puntos críticos: cos () 0 cos () k k Los intervalos que se generan son infinitos, escribimos algunos de ellos:,,, 3 Para saber dónde crece o decrece la función tomamos representantes en cada intervalo y observamos lo siguiente: f () cos () 0 Tenemos, por tanto, una función creciente en todo su dominio. c) Para saber si los puntos de la forma k son de infleión, hallamos la derivada segunda: f () 4sen () Se puede observar que todos los puntos de la anterior forma se anulan en la derivada segunda: f (/ k) 4sen [(/ k)] 4sen (k) 0 Luego los puntos anteriormente descritos son puntos de infleión. La representación gráfica de la función viene dada en la siguiente figura: O Y π/ f() π X Oford University Press España, S. A. Matemáticas II 5

6 ARAGÓN CONVOCATORIA JUNIO 009 Opción B a) El denominador se anula para los valores 0 y ; así, el dominio de la función es {0, } b) La función será simétrica respecto del origen de coordenadas si es impar, es decir, si f() f() f( ) f() ( ) ( ) La función no posee, entonces, simetría respecto del origen de coordenadas. c) La función f() no corta al eje X y es positiva en el intervalo [/4, 3/4]. Por tanto, calculamos el área solicitada de la siguiente manera: A d Hallamos primero la primitiva de esta función. El denominador tiene como raíces 0 y, por lo que descomponemos la fracción. A B A A B (A B) A Igualamos entre sí los coeficientes del mismo grado en los denominadores y obtenemos el sistema: A B A, B A El integrando queda descompuesto de esta forma: d ln ln Aplicamos la regla de Barrow para calcular el área: A 3/4 /4 3/4 /4 d 9ln ln C ln 4 ln ln ln ln ln ln 3,97 u 4 4 a) Representamos la situación planteada: camino Y A 3/4 /4 f() /4 3/4 X La función que tenemos que maimizar es la del área del recinto rectangular, es decir: A(, y) y Como cada metro de la valla pegada al camino vale 5, la epresión 5y calcula su coste. El precio, por metro, del resto de valla es 0,65 ; por lo tanto, la epresión 0,65 0,65y calcula el coste de los otros lados. La relación entre las variables es: 5y 0,65 0,65y 800,5 5,65y 800 Despejamos, por ejemplo, la variable : 800 5,65y 440 4,5y,5 Ahora, sustituimos en la función que calcula el área: A(y) (440 4,5y) y 440y 4,5y Una vez construida la función, calculamos su derivada para buscar el máimo de la misma: A (y) 440 9y 440 Esta función se anula si y 60 9 Se comprueba que este número es un máimo pues la derivada segunda es A (y) 9 y devuelve un valor negativo para dicho número. El valor del otro lado de la valla es: 440 4, m Por tanto, el área del campo de mayor superficie que podemos cercar con 800 es: m b) Las tres funciones que componen esta función a trozos son continuas, pues se trata de polinomios; por consiguiente esta función debe ser continua en y. En f() 0 ( ) 0; (a ) a Para que f() sea continua en los límites laterales deben coincidir, por lo que establecemos la condición a 0. En f() (b ) (a ) a ; (b ) (b ) Para que f() sea continua, debe cumplirse la condición a + (b ). Resolvemos, pues, el sistema: a 0 a, b a (b ) y Oford University Press España, S. A. Matemáticas II 6