MODELO DE EXAMEN MATEMÁTICAS II PRIMERA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018

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1 MODELO DE EXAMEN MATEMÁTICAS II PRIMERA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018 Límites de funciones. Continuidad Derivadas Aplicaciones de las derivadas Primitiva de una función Integral definida EJERCICIO 1. Dada f (x)= 2 x+2 si x 0 x+2 si x>0 a) Estudia la continuidad de f(x) b) Calcula

2 EJERCICIO 2. Dada la función: f(x)= x 2 +2x si x<0 x 2 +3x si x 0 a) Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función b) Determina los valores del número a para los cuales la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en x = a es m = -2. c) Calcula, para el valor de a obtenido, la recta tangente a la gráfica de f(x) en x = a.

3 EJERCICIO 3. Dada la función f(x) = x 2 + 2x 8, calcula: a) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x 0 = 1 b) El área de la región limitada por la gráfica de f(x), el eje de abscisas y las rectas x = -1 y x = 5 a) y y 0 = m (x x 0 ) m = f'(x 0 ) = f'(1) ; f'(x) = 2x + 2 m = f'(1) = 4; y 0 = f(x 0 ) = f(1) = -5 Por tanto, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x 0 = 1 es: y + 5 = 4 (x 1) b) Estudiamos el signo de f(x): f(x) = 0 x = 2 y x = -4 Área =.. u 2 EJERCICIO 4. Dada la función f (x)= 3x2 +3 x, a) Calcula el dominio y las asíntotas de f(x) b) Determina sus intervalos de crecimiento y decrecimiento a) Dom (f) = R -{0} ; A.V.: x = 0 ; A.H.: No hay ; A.O.: y = 3x b) EJERCICIO 5. La función B(x)= x2 +9x 16 representa, en miles de euros, el beneficio neto de un proceso x de venta, siendo x el número de artículos vendidios. a) Calcula el número de artículos que deben vederse para obtener el beneficio máximo. b) Determina dicho beneficio máximo a) Calculamos B'(x) para obtener los puntos extremos: B'(x )= 16 x2 B'(x)= 16 x2 =0 x =±4 Beneficio máximo para x = 4 x 2 b) B(4) = euros x 2

4 EJERCICIO 6. En un centro comercial cuyo horario de apertura es de diez horas diarias estima que el número de clientes en función del número de horas que lleva abierto es: N(t) = -15t t, 0 t 10 donde t es el nº de horas que lleva abierto. Se pide, justificando la respuesta: a) Hora de máxima clientela b) Número máximo de clientes c) Si queremos acudir al centro comercial cuando haya un nº de clientes inferior a 300, entre qué horas deberíamos ir? a) N(t) = -15t t N'(t) = -30t ; N'(t) = 0-30t t = 6 Hora de máxima clientela: 6 horas después de su apertura Para comprobar que t = 6 corresponde a un máximo, estudiar signo de N'(t): b) El nº máximo de clientes es el correspondiente a t = 6 N(6) = = 540 Nº máximo de clientes = 540 c) Queremos calcular los valores de t para los cuales N(t) < 300 N(t) 300 < 0-15t t < 0 Hay que resolver la inecuación de 2º grado -15t t < 0 I) Resolvemos la ecuación -15t t = 0 Simplificando: -t t - 20 = 0 t = 2 y t = 10 II) Estudiamos el signo de -t t - 20 : Es equivalente estudiar cuándo: N(t) < t t < 0 -t t - 20 < 0 Como 0 t 10 (el centro comercial abre 10 horas) solo interesa estudiar los valores de t en el intervalo (0,10). N(t) < 300 en (0,2)U(10, en adelante) y como para t=10 el centro está cerrado, la solución es t (0,2) Nota: Puesto que el enunciado no dice la hora de apertura, la solución es: Para asistir al centro comercial cuando el nº de clientes sea inferior a 300, debemos asistir durante las dos primeras horas desde su apertura.

5 EJERCICIO 7. DJustifica que la función f(x) = 3x 5 + 7x + 1 no puede cortar dos veces al eje horizontal. : Aclaración: Demostrar que la función f(x) = 3x 5 + 7x + 1 no puede cortar dos veces al eje horizontal significa demostrar que puede cortar al eje X una vez o ninguna. Es decir, hay que demostrar que la ecuación 3x 5 + 7x + 1 = 0 sólo tiene una solución. Recordar que: - Un polinomio de grado 2 puede tener 2 soluciones, 1 o ninguna - Un polinomio de grado 3 puede tener 3 soluciones, 2 o 1 - En general: Grado P(x) = 2n (par): puede tener desde 2n soluciones hasta ninguna solución Grado P(x) = 2n+1 (impar): puede tener desde 2n+1 soluciones hasta una solución 1º) Aplicando el teorema de Bolzano en el intervalo (,+ ) : 2º) Comprobamos que el valor de x para el cual f(x) = 0 es único: Estudiamos el signo de f (x) en (,+ ) : f (x) = 15x f'(x) > 0 en (,+ ) f(x) creciente en (,+ ) No existen extremos relativos (M/m) en (,+ ) f(x) = 3x 5 + 7x + 1 no puede cortar más de una vez al eje X en [-1, 1]. EJERCICIO 8. Demuestra que la ecuación 2x 5 30x + c = 0 no puede tener más de una solución en el intervalo [-1, 1] sea cual fuere el número c. Aclaración: Demostrar que la ecuación 2x 5 30x + c = 0 no puede tener más de una solución en el intervalo [-1, 1] significa demostrar que puede tener una solución o ninguna solución en [-1, 1]. 1º) Por el teorema de Bolzano aplicado al intervalo[-1, 1] comprobamos que existe como mucho un valor de x [ 1,1] donde f(x) = 0: Conclusión: En el intervalo [-1, 1] la ecuación 2x 5 30x + c = 0 puede no tener solución o tener sólo una solución. 2º) Estudiamos el signo de f (x) en [-1, 1]: f (x) = 10x 4 30 f'(x) 0 en [ 1,1] No existen extremos relativos (M/m) en [-1, 1] f(x) = 2x 5 30x + c no puede cortar más de una vez al eje X en [-1, 1].

6 En concreto: - Si c < -28: signo f(-1) = signo f(1) < 0 la gráfica de f(x) = 2x 5 30x + c queda negativa en [-1, 1], por lo que no corta en ningún punto al eje X - Si c > -28: signo f(-1) signo f(1) la gráfica de f(x) = 2x 5 30x + c corta al eje X en un valor x [ 1, 1] *Otra forma: f'(x) = 0 10x 4 30 = 0 x 4 = 3 x =± 3 4 ±1,32 signo f': f (x) < 0 en [-1, 1] f(x) es decreciente en [-1, 1] f(x) = 2x 5 30x + c no puede cortar más de una vez al eje X en [-1, 1]