3.5 Continuidad y Derivabilidad (Teoremas)

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Vicenta Castilla Cano
hace 5 años
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1 3.5. CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD TEOREMAS) Sea fx) = 3x x 1 en el dominio D =1, 1), calcular f 1 x) fx) = 3x x 1 x 1)fx) =3x xfx) fx) =3x xfx) 3x = fx) xfx) 3) = fx) x = fx) fx) 3 En conclusión f 1 x) = x x Continuidad y Derivabilidad Teoremas) Problema Calcular p x 7 3 x 4 p x 7 3 x 4 p x = 7 3) p x 7 3) x 4) p = x 7 3) p x 7) 3 x 4) p x 7 3) = x 16 x 4) p x 7 3) = p x 4)x 4) = x 4) p x 7 3) = x 7 3 p 93 x 4 = 4 3. Encuentra los valores de k para los que la función x k si x < 1 fx) = kx es continua en todo R si x 1 Vamos a calcular los límites laterales fx) = x k )= k fx) = kx = k Reflexionando un poco llegaremos a la solución pedida. La función que tenemos en el enunciado es continua en todo R, salvo en el 1, mejor dicho, en el 1 es donde tenemos el problema; para que la función sea continua en ese punto es necesario que exista límite en ese punto, y que además el valor de la función en ese punto sea ese límite. Concluimos por tanto con que basta igualar estos límites laterales para obtener los valores que buscamos k = k k k =0 k =1 k =

2 16 CAPÍTULO 3. PROBLEMAS DE ANÁLISIS Problema Encuentra los valores de k para los que la función x k si x < 1 fx) = kx es continua en todo R si x 1 Vamos a calcular los límites laterales fx) = x k )= k fx) = kx = k Reflexionando un poco llegaremos a la solución pedida. La función que tenemos en el enunciado es continua en todo R, salvo en el 1, mejor dicho, en el 1 es donde tenemos el problema; para que la función sea continua en ese punto es necesario que exista límite en ese punto, y que además el valor de la función en ese punto sea ese límite. Concluimos por tanto con que basta igualar estos límites laterales para obtener los valores que buscamos k = k k k =0 k =1 k =. Estudiar la continuidad de la siguiente función fx) = si x< x 3 si apple x apple 0 5 si x = 0 x 3 si x> 0 en x =, y en x =0 Primero estudiamos en x = x! x! fx) = fx) = f ) = x! = x! 3 = x! fx) = fx) =f ) = x! Luego la función es continua en el punto x =. Ahora estudiamos en x =0 f0) = 5 fx) = fx) = 3 =3 x 3) = 3

3 3.5. CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD TEOREMAS) 169 fx) = fx) 6= f0) Luego la función no es continua en el punto x = 0. Problema 16 Halla los valores de a ydebpara que sea continua la función f R! R dada por x 3 si x<0 fx) = ax b si 0 apple x apple x 3 1 si x> En x = 0 < fx) =3 fx) =b b = 3 para que f sea continua en x =0. En x = < fx) =a b =a 3 x! fx) =7 x! a = para que f sea continua. en x =. En conclusión, f es continua si a =yb = 3 en todo R. Problema 17 Encuentra los valores de k para los que la función x k si x < 1 fx) = kx es continua en todo R si x 1 Vamos a calcular los límites laterales fx) = x k )= k fx) = kx = k Reflexionando un poco llegaremos a la solución pedida. La función que tenemos en el enunciado es continua en todo R, salvo en el 1, mejor dicho, en el 1 es donde tenemos el problema; para que la función sea continua en ese punto es necesario que exista límite en ese punto, y que además el valor de la función en ese punto sea ese límite. Concluimos por tanto con que basta igualar estos límites laterales para obtener los valores que buscamos k = k k k =0 k =1 k =

4 170 CAPÍTULO 3. PROBLEMAS DE ANÁLISIS Problema 1 Estudiar la continuidad de la siguiente función si x< x 3 si apple x apple 0 fx) = en x =, y en x =0 5 si x = 0 x 3 si x> 0 Primero estudiamos en x = fx) = x! fx) = x! f ) = x! = x! 3 = x! fx) = fx) =f ) = x! Luego la función es continua en el punto x =. Ahora estudiamos en x =0 f0) = 5 fx) = fx) = 3 =3 x 3) = 3 fx) = fx) 6= f0) Luego la función no es continua en el punto x = 0. Problema 19 Halla los valores de a y de b para que sea continua la función f R! R dada por x 3 si x<0 fx) = ax b si 0 apple x apple x 3 1 si x> En x = 0 < fx) =3 fx) =b b = 3 para que f sea continua en x =0.

5 3.5. CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD TEOREMAS) 171 En x = < fx) =a b =a 3 x! fx) =7 x! a = para que f sea continua. en x =. En conclusión, f es continua si a =yb = 3 en todo R. Problema 0 Calcular 1. Halla los valores de a y de b para que sea continua la función f R! R dada por x si x< 1 fx) = ax b si 1 apple x apple x 3 1 si x> En x = 1 < x! 1 fx) =3 ab = 3 para que f sea continua en x =0. fx) = a b x! 1 En x = < fx) =a b x! fx) =9 x! a b = 9 para que f sea continua. en x =. Tenemos el sistema a b = 3 a = a b = 9 b =5 En conclusión, f es continua si a =yb = 5 en todo R. Problema 1 Dada la función 3ax bx 1 si x apple fx) = ax 3 bx si x> Calcular los parámetros a y b, de manera que la función fx) sea continua y derivable en x =.

6 17 CAPÍTULO 3. PROBLEMAS DE ANÁLISIS Para que la función sea continua en x = x! 3ax fx) = x! bx 1=6a b 1 fx) = x! x! ax3 bx =a 4b 9 >= >; Para que sea derivable 6a b 1=a 4b a 6b 1=0 f 0 x) = 3ax b si x apple 3ax bx si x> Para que sea derivable se tiene que cumplir que f 0 )=f 0 ) 6a b = 1a 4b 6a 5b =0 Resolvemos el sistema a 6b 1=0 6a 5b =0 a = 5 6 b = 3 13 Problema Dada la función ax 1 bx 1 si x apple fx) = ax 3 bx 1 si x> Calcular los parámetros a y b, de manera que la función fx) sea continua y derivable en x =. Para que la función sea continua en x = x! ax 1 4a 4b 1 fx) = bx 1= x! fx) = x! x! ax3 bx 1=a 4b 1 9 >= >; 4a 4b 1 =a 4b 1 1a 4b 3=0

7 3.5. CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD TEOREMAS) 173 Para que sea derivable f 0 x) = ax b si x apple 3ax bx si x> Para que sea derivable se tiene que cumplir que f 0 )=f 0 ) a b = 1a 4b 10a 3b =0 Resolvemos el sistema 1a 4b 3=0 10a 3b =0 a = 9 4 b = 15 Problema 3 Dada la función ax bx 1 si x<1 fx) = ax 3 3x b si x 1 Calcular a y b de manera que fx) cumpla las condiciones del teorema del valor medio. Para que fx) sea continua fx) = ax bx 1) = a 3b fx) = ax3 3x b) =a b 1 Luego a b =0 Para que fx) sea derivable f 0 x) = 4ax b si x<1 3ax 3 si x 1 f 0 1 )=4a b, f 0 1 )=3a 3 a b 3=0 Como fx) tiene que ser continua y derivable a b =0 a b 3=0 a = 4 b = 1

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